Математика. Материалы курса

На данном занятии продолжаем работать с линейными уравнениями. Рассмотрим решение однородных уравнений и поговорим о связи между множеством решений неоднородной системы уравнений и однородной системы линейных уравнений. Параллельно отработаем понятие фундаментальной системы решений.

Вот такая задача. Даны три вектора (см. видео). Спрашивается, могут ли они являться фундаментальной системой решений некоторой однородной системы уравнений?

 Конечно, нужно вспомнить, что же такое фундаментальная система решений. Это базис на множестве всех решений однородной СЛУ. Как и известно, множество всех решений однородной системы является векторным пространством. Если это множество состоит из одного нулевого вектора, тогда базиса нет. Если же система имеет бесконечно много решений, тогда можно выделить базис.

Итак, вначале нужно понять, могут ли векторы a, b и c вообще образовывать базис. Для этого составим матрицу из их координат и выясним, являются ли векторы линейно независимыми, потому что базис необходимо линейно независимая подсистема. Приведем ее к ступенчатому виду. Вычтем из второй строки первую и из третьей – три первых. Получим следующую матрицу, первая строка не изменится, вторая – 0, -3, 3, третья строка 0, -3, -6+9=3. Как мы видим, строки пропорциональны, то есть вычитая из третьей строки вторую, мы получаем нулевую, которую можно вычеркнуть. Итак, ранг полученной ступенчатой системы равен 2. Значит, и ранг исходной системы векторов также равен 2. Получается, что наши векторы линейно зависимые, а, значит, базис они образовывать никак не могут. Итак, ответ отрицательный. Фундаментальную систему решений данные векторы образовывать не могут.

Возьмем только два вектора: а и b. И зададимся тем же самым вопросом: могут ли эти векторы образовывать фундаментальную систему решений? Данные векторы уже являются линейно независимыми, потому что их координаты не пропорциональны, а значит, требуемая система уравнений существует. Попытаемся ее отыскать. Для этого заметим, что координаты векторов (1, 2, -3) в сумме дают ноль. Аналогично для второго вектора: 1-1+0 это ноль. Значит, координаты этих векторов удовлетворяют вот такому уравнению (см. видео). То есть а и b – это два решения указанного уравнения. Причем решения – линейно независимые. Давайте вспомним, какова размерность пространства решений вот этого уравнения? Мы имеем одно уравнение, то есть можно сказать, что мы имеем систему, состоящую из одного уравнения. Три переменных, ранг 1, значит, пространство решений двумерно. То есть множество решений данного уравнения имеет базис из двух векторов. Коль скоро векторы а и b у нас линейно независимые, и значит, являются решениями, значит, они образуют базис. Итак, вот уравнение, для которого ФСР имеет указанный вид: векторы а и b.

Теперь продолжим исследование данной системы, только теперь уже найдем один вектор. Постараемся найти систему уравнений, для которой этот вектор будет являться базисом множеств его решений. В предыдущем случае для двух векторов мы обошлись одним уравнением, здесь уже одним уравнением нам не обойтись. Опять же мы видим, что сумма координат равна нулю. Тем не мнее, предлагаю записать общее решение требуемой системы уравнений. Рассмотрим произвольную n-ку, а именно, тройку чисел (х1, х2, х3), как решение некоторой системы. И так как, базис этой системы состоит из одного вектора, значит, любое решение пропорционально этому вектору. Запишем (k, 2k, -3k). Так, х1 это k, x2 это 2k, х3 это -3k, при этом k является произвольным числом, произвольный скаляр. Значит, на переменную х1 мы можем смотреть как на свободную переменную в некоторой системе, которая принимает произвольные значения. А переменные х2 и х3 через свободную выражаются. Так как k это х1, значит, х2 это 2х1, а х3 это -3х1, а х1 – свободная. Данная система может быть записана в таком виде, пишем в более красивом виде, перенесем все переменные в одну часть (см. видео). Получили вот такую однородную систему, состоящую из двух линейных уравнений. Можно проверить, что вектор а является решением. Если, опять же, подставить координаты, мы получим верное равенство. Так, вектор а – это решение, причем это базис а множестве всех решений полученной системы. А значит, вектор а является фундаментальной системой решений для указанной системы уравнений.

Теперь, используя результат данной задачи, ответим на вопрос. Итак, мы знаем, что для системы, которую мы получили, множество решений пропорционально вектору а. Учитывая этот факт, запишем общее решение вот такой системы уравнений (см. видео), которая не является однородной, однако, обратите внимание, левые части такие же точно, как у однородным систем. Вспомним о связи множеств решений, которую мы упоминали на лекции. Если мы берем какую-то неоднородную систему, обозначаем множество ее решений буквой М, для этой системы записываем соответствующую однородную систему, пространство ее решений – это V. Тогда множество решений исходной системы можно представить как сумму общего решения однородной системы и некоторого конкретного решения исходной системы. С – это решение исходной однородной системы. Коль скоро мы знаем, как выглядит V. V – это множество векторов, пропорциональных вектору (1, 2, -3). Чтобы записать множество М, нам необходим найти вектор с. Его можно сделать, например, подбором. Либо, чтобы совсем не гадать, давайте выразим х2 и х3 через х1. Х2 это 2х1-4, а х3 это 5-3х1. Сейчас вместо х1 можно подставить любое число и найти х2 и х3. Ну самый простой вариант – взять нолик, хотя можно 1, 2, 3 – не важно. Пусть х1=0, тогда х2=-4, х3=5. Итак, в качестве вектора с можно взять тройку (0, -4, 5). Это частное решение неоднородной системы запишется как сумма вектора, пропорционального (1, 2, -3) и вот этого конкретного решения (0, -4, 5). Тем самым получаем множество всех решений вот этой системы уравнений.