Математика. Материалы курса

Данная лекция посвящена алгоритму построения фундаментальной системы решений однородной системы уравнений.

Вспомним, что множество решений произвольный однородной системы уравнений образует векторное пространство. Обозначим это пространство буквой V. Рассмотрим основные определения. Во-первых, вспомним, что мы знаем понятие базиса. Базис на множестве решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Имеет место следующая теорема, о которой мы говорили на предыдущей лекции. Давайте ее вспомним. Пусть в нашей системе n переменных, если ранг этой однородной системы меньше числа переменных, то данная система линейных уравнений имеет фундаментальную систему решений, то есть базис на множестве решений, причем в этом базисе ровно n-r векторов. Если же параметры n и r равны, то в этом случае система имеет только одно нулевое решение, тогда базисы выделить нельзя.

Для того чтобы построить фундаментальную систему решений использую следующий алгоритм. В начале приводят систему уравнений к ступенчатому виду, выражают главные перемены через свободные, далее придают свободным переменным некоторое значение так, чтобы получить n-r решений данной системы, которые будут образовывать базис, для этого эти решения должны быть линейно независимы. Отметим, что если у нас параметр r и n равны, то в этом случае система имеет только одно нулевое решение, тогда ФСР строить нельзя.

Рассмотрим ряд примеров. Пусть нам дана вот такая однородная система линейных уравнений. Попытаемся понять, можно ли для неё построить фундаментальную систему, если можно, то как именно. Начнем приводить ее к ступенчатому виду. Для этого выполним стандартные элементарные преобразования: вычтем из второй и третьей строк первую, далее можно к третьей строке прибавить ½ второй и получить ступенчатую систему, однако, уже сейчас можно заметить, что так как у нас две последние строки не пропорциональны, то после указанного преобразования мы не получим нулевую строку, то есть в ступенчатой системе будет три независимые строчки. Значит, ранг системы равен 3, то есть ранг равен числу переменных, а значит данная система имеет только нулевое решение. Других решений не будет, значит базиса здесь мы выделить не сможем. Для нашего примера фундаментальную систему построить нельзя.

Рассмотрим следующий пример. В этой системе 3 уравнения и 4 неизвестных. Отметим, что здесь фундаментальная система решений точно существует, потому что ранг системы наверняка меньше чем 4, чем число переменных, так как в этой системе три уравнения. Построим базис на множестве решений этой системы. Записываем матрицу коэффициентов, при этом записали лишь основную матрицу, то есть столбец свободных членов, равных нулю, можно не записывать, так как все элементарные преобразования, которые мы выполняем над матрицей не будут изменять этот столбец, поэтому он просто нам не нужен (будет занимать только лишнее место). Записали основную матрицу и выполняем над ней указанные преобразования. Вычли из 3 строки первую, далее из третьей вычитаем 2 вторых, после этого получится необходимая нам ступенчатая система. Зафиксируем ее, отметим, что в этой системе 3 независимых вектора, то есть ранг однородной систему уравнений равен 3. Значит, так как система имеет 4 переменных, базис пространства решений состоит ровно из 1 вектора.

Найдем этот вектор. Для этого выпишем полученную ступенчатую систему уравнений и выразим главные переменные x₁, x₂, x₄, которая соответствует ведущим элементам матрицы через свободную переменную, в нашем случае свободная переменная – это x₃. Выражаем x₄=0, а переменные x₂ и x₁ выражаются через третью, то есть зависит от значения переменной x₃. Так как в базисе у нас только один вектор, значит, надо взять любое ненулевое решение. Для этого придадим переменной x₃ любое ненулевое значение, например, 1, и выразим через это значение оставшиеся переменные: x₁=-4, x₂=-1, x₄=0, независимо от x₃. Полученная строка дает нам единственный базисный вектор с координатами (-4, -1, 1, 0). Этот вектор и будет образовывать базис на множестве решений. Итак, фундаментальная система решений построена и состоит из одного вектора. Зная этот вектор, мы легко можем выразить произвольно решение. Получается, что любое решение исходной системы пропорционально полученному базисному вектору, то есть имеет указанный вид. Это решение можно записать таким образом, если умножить на коэффициент k все координаты базисного вектора (см. видео).

Рассмотрим ещё один пример. Возьмем более сложную систему уравнений и аккуратно проведем элементарные преобразования. Параллельно повторим метод Гаусса. Записываем матрицу из коэффициентов. Нулевой столбец свободных членов не учитываем. Выполняем элементарные преобразования. После преобразования трех строк получится матрица, которую вы видите на видео. Проверьте выполненные преобразования. Далее из третьей строки вычтем 3 вторых, к четвертой прибавим 2 вторых. Чтобы получить поменьше отрицательных чисел, вторую строку умножим на -1. В результате этого получится матрица, которую вы видите на экране. То есть вторая и третья строки обнулятся, но вторая строка после умножения на -1 приобретет следующий вид: 0 1 6 -5. Нулевые строки можно вычеркнуть, тем самым в ступенчатой матрице получается две строки. Значит ранг данной матрицы, следовательно, и данной системы уравнений равен 2, а поэтому множество решений системы уравнений имеет базис, в котором два вектора.

Найдем эти векторы. Построим фундаментальную систему решений. Здесь переменные x₁, x₂ – главные, x₃, x₄ – свободные. Снова выражаем главные переменные через свободные, придаем свободным переменным некоторые значения, чтобы получить ряд решений данной системы, причем нам надо получить два решения, которые будут образовывать базис. Так как мы знаем, что в базисе два вектора, значит, нам надо выбрать два линейно независимых решения.

В общем случае используют такую схему: рисуют указанную таблицу и в этой таблице свободным переменным придают некоторые значения так, чтобы получилось n-r линейно независимых строк. Проще всего это сделать следующим образом: подставить, так называемые, единичные строки, то есть на одной позиции стоит 1, а на остальных стоят 0. В нашем случае получается 2 единичные строки: 1 0 и 0 1. Для каждого такого набора значений вычисляем значение главных переменных. Для набора 1 0 получаем x₁=8, x₂=-6, для второго набора свободных переменных получаем следующее значение главных: -7 и 5. Первая строка дает нам первый базисный вектор (8, -6, 1, 0), вторая строка – второй вектор (-7, 5, 0, 1). Учитывая, что единичные строки образуют ступенчатую систему, полученные векторы линейно независимы, а значит образуют базис.

Подводим некоторые итоги. Для исходной системы уравнений базис на множестве решений имеет два вектора, которые составляют фундаментальную систему решений. В этом случае общее решение может быть записано в виде линейной комбинации базисных векторов, то есть в указанном на слайде виде. С другой стороны, это же самое решение можно записать по-другому. Задача решена, фундаментальная система решений построена.