Математика. Материалы курса

 

Проведем еще одно практическое занятие, посвященное системам линейных уравнений. При этом на данном занятии рассмотрим пример – систему, которая имеет бесконечно много решений. На прошлом занятии мы подробно рассмотрели пример системы, которая имела ровно одно решение.

Итак, пусть дана следующая система линейных уравнений. Обратите внимание, в этой системе три уравнения и четыре переменных. Поэтому сразу можно сказать, что здесь возможны два случая. Либо система несовместна, если вдруг у нас в ступенчатой системе будет противоречивое уравнение. А если противоречивого уравнения не получится, то число уравнений наверняка меньше, чем переменных, а значит в этом случае получается бесконечно много решений. То есть единственное решение здесь получить никак не удастся.

Итак, вспоминаем, что мы делаем? Вначале мы записываем матрицу коэффициентов и приводим эту матрицу к ступенчатому виду. Я позволю сразу же записать матрицу, поменяв местами первое и третье уравнения. Зачем? А для того чтобы на первом месте поучить единичку. Мы уже с вами неоднократно видели, что единичка помогает нам легко выполнить преобразование, получить нолики под ведущим элементом. Итак, в первой строке я запишу коэффициенты последнего уравнения:

1 3 -2 1 7

Второе уравнение оставляем без изменений:

2 1 -2 1 4

И на последнее место записываю уравнение, которое было первым:

3 -1 -2 1 1

Теперь из второй строки вычитаем две первых. Из третьей - три первых. Получаем следующую матрицу. Первая строка не изменяется:

1 3 -2 1 7

Считаем вторую строчку:

0 1-6=-5 -2+4=2 1-2=-1 4-14=-10

Третья строка:

0 далее -1-9=-10 -2+6=4 1-3=-2 1-21=-20

Можно, конечно, последнее уравнение упростить, поделив на 2 все коэффициенты. Но это делать нам не нужно. Мы сразу можем из третьей строки вычесть две вторых, потому что вычитаю -5*(-2) получается +10, и под ведущим элементом -5 мы увидим нолик. Если сразу преобразование такое не получается, как я уже говорил, можно упрощать строки, сокращая их на общий множитель. Итак, к третьей строке, точнее из третьей строки вычитаем две вторых. Вот чего еще раз проверим, будет ли нолик. -10+10 будет 0. Получается первая строка не изменяется:

1 3 -2 1 7

Вторая строка тоже. Можно ее оставить. Я просто подумал о том, что много минусов. Можно на -1 умножить, но это здесь лишнее, сильно ничего не упростится. Итак, вторую строку оставляем:

0 -5 2 -1 -10

И вычисляем третью:

0 0 4-4=0 -2+2=0 -20+20=0

Что мы видим? Может кто-то это сразу заметил, что оказалось что последняя строка пропорциональна второй. Тем самым возникла нулевая строчка, которую можно вычеркнуть, потому что она соответствует нулевому уравнению. Все. В том плане, что ступенчатая система получено без нулевой строки. Значит, можно возвращаться к системе и записывать ее решение

x1+3*x2-2*x3+x4 = 7

     -5*x2+2*x3-x4 = -10

Я обведу переменные, которые соответствует ведущим элементам. Именно эти переменные можно считать главными. Тогда оставшиеся переменные будут являться свободными. То есть через них можно выразить все главные. Давайте это сделаем. Итак x3, x4 – свободные. Из последнего уравнения выражаем x2. Чтобы не ошибиться, это будем делать подробно.

-5*x2 вначале вынес. Перенесем все оставшееся в правую часть.

-5*x2=-2*x3+x4-10

Далее поделим на -5. Получится

x2 равно (2/5) на x3 (да, возникают дроби, но имейте ввиду что не всегда получаются целые числа, где-то и с дробями нужно поработать) далее минус 1/5 на x4 и плюс 2.

x2=(2/5)*x3-(1/5)*x4+2

Теперь из первого уравнения выражаем переменную x1:

7 минус 3 на x2, а x2 уже выражена, я подставлю (2/5)*x3-(1/5)*x4+2. Это у нас было x2, мы сразу его выразили из предыдущего равенств, точнее поставили. Далее плюс 2*x3, потому что мы перебросили в правую часть. Плюс 2*x3 минус x4. И не забываем про семерку, которая в правой части находится. А я ее уже выписал, она не нужна, все правильно. Так семерка у нас уже записана. Ну, теперь аккуратно преобразовываем. Так, чтобы не ошибиться перепишу. Умножаем троечку на каждое слагаемое в скобках:

7-6/5*x3+3/5*x4-6+2*x3-x4

Ну, теперь приводим подобные. Так 7 и минус 6 это 1. Далее x3: -6/5+2 случается +4/5 - коэффициент при x3. И, наконец, при x4: 3/5-1=-2/5, т.е. -2/5*x4.

Итак, x1 найдена, точнее главную переменную x1 и главную перемену x2 мы выразили через две свободные переменные x3, x4. Теперь, чтобы записать ответ, придадим свободным переменным произвольные значения. Пусть x3 – это c, x4 – это d. c и d – это произвольные числа.

В этом случае ответ запишется следующим образом. Точнее запишем решение в виде четверки чисел:

первая координата – 1+4/5*с-2/5*d

вторая координата - x2 – 2/5*с-1/5*d+2

далее x3 – это c

x4 – это d.

(1+4/5*с-2/5*d; 2/5*с-1/5*d+2; c; d)

Итак, решением является четвёрка чисел указанного вида (1+4/5*с-2/5*d; 2/5*с-1/5*d+2; c; d).

Причем раз c и d – произвольные числа, мы получаем бесконечно много решений. То есть множество решений – это множество всевозможных вот таких четверок, где c и d, подчеркиваю, произвольные числа.

А теперь я предлагаю рассмотреть задачку, в которой присутствует параметр. И в зависимости от этого параметра мы получим разные варианты решений. Для каких-то значений параметра решений не будет, для каких-то оно будет одно, а в каких-то случаях будет бесконечно много. То есть одна такая система даст нам разные варианты множества решений.

Итак, с чего начнем? Начнем с того же самого. Приведем матрицу к ступенчатому виду. Единственная сложность - мы не знаем, чему равно k, то есть k – это какое-то фиксированное число, но оно может быть любым. Поэтому в некотором месте нам снова потребуется рассмотреть разные случаи. Но первый шаг он стандартный. Записываем матрицу из коэффициентов:

1 1 k 1

1 k 1 1

K 1 (2-k) 1

Так, из второй строки вычтем первую, из третьей вычтем k первых, где k - это число. Например, если k трем будет равно, вычитаем три первых. Но даже если k=0, все равно наше преобразование не изменяет множество решений. Просто если k=0, это означает, что мы ничего не вычитаем, сохраняем данное уравнение. Итак, выполним указанное преобразование получим следующую матрицу:

1 1 k 1

Я делаю интервал побольше, потому что из-за параметра у нас выражения будут длиннее. Вторая строка:

0 k-1 1-k 0

Третья строка:

0 1-k 2-k-k^2 (и последний элемент - 1-k, немножечко смещу последний столбец вправо) 1-k Обратите внимание, ведущие элементы последних строк противоположны. Значит если мы к третьей строке прибавим вторую, у нас получится нужный нам нолик. Сделаем такое преобразование:

1 1 k 1

Далее

0 k-1 1-k 0

Прибавляем:

0 0 (тут считаем аккуратно) 2+1 будет 3, -k+(-k)=-2*k и минус k^2, и, наконец, 1-k+0=1-k

0 0 3-2*k-k^2 1-k

Ну что, почти ступенчато матрица. Опять же нюансы могут быть из-за чего? Из-за того, что если при некотором k у нас обратиться в ноль какой-то коэффициент, то получится возможно нулевая строка. Давайте исследуем этот случай. Поймем, когда у нас коэффициент (3-2*k-k^2) равняется нулю. Такое сложное выражение. Однако, это квадратное, квадратный трехчлен. Чтобы найти его корни, можно применить формулу дискриминанта. Я домножу обе части на минус единицу, чтобы записать в красивой форме, чтобы было приведенное квадратное уравнение. Далее можно через дискриминант решить и если кто умеет пользоваться формулой Виета, можно корни подобрать. В общем разными способами. Давайте через дискриминант. 4+12=16. Я не буду расписывать дискриминант. Кто забыл как решается квадратное уравнение – вспомните. Тогда корни -2 плюс/минус 4 пополам. С плюсом получается единица, с минусом - -3. Я записал кратко, схематично. Итак, корни 1, -3. Также их можно было подобрать по формула Виета. Итак, теперь я предлагаю начать исследование с рассмотрения вот этих значений. Давайте рассмотрим первый вариант, когда k равняется единице. То есть проанализируем случай, когда вот этот элемент как бы ведущий, т.е. первый не нулевой. Хотя при некоторых k он, конечно будет равен нулю, когда вот этот элемент обратиться в ноль. Давайте исследуем этот вариант. Что мы сейчас делаем? Просто подставить единичку вместо k:

1 1 1 1

0 0 0 0 и смотрите вторая строка обнулилось, а третья строка это:

0 0 0 0 - все обнуляется, то есть оказывается наша система равносильна одному уравнению - уравнению вида x1+x2+x3 = 1. x1 – главное, x2, x3 -  свободные. Выражаем главную через свободные и получаем множество решений. Причем множество бесконечное. Опять x2 - это t, x3 - это d, где c и d - произвольные числа. Тогда для данного случая множество решений имеет вид - это множество троек вида (1-c-d, c, d) - всевозможные тройки вот такого вида. Итак, k равняется единице, система имеет бесконечно много решений вот такого вида.

Итак, первая строка вот такая. Кстати, давайте обратим внимание, что первый случай k=1 мы рассмотрели. Сейчас мы разберем другие значения k. Поэтому вторую строку можно сократить на (k-1). Если бы мы это сразу сделали, мы бы упростили. Сейчас это увидим. Итак, у нас k-3. Смотрите, получается -4, а здесь – 4. -4 и 4, четвертое равняться нулю. И, наконец, последняя строка 0 0 0, а здесь 1+3=4. Итак, что же мы видим? Последняя строка на языке уравнений дает нам противоречивое уравнение, то есть равенство вида 0=4. Раз имеются противоречивые уравнения, система не совместна. Это мы рассмотрели случай, когда k=-3. Итак, система не совместна, множество ее решений пусто.

И, наконец, третий вариант, когда k не равняется 1 и k не равняется -3. В этом случае вторую строчку мы делим на (k-1), получаем: 1 -1, обратите внимание. Таким образом первая строка остается у нас

1 1 k 1

Вторая строка. Так может все-таки напишу подробно. Давайте напишу подробно:

0 k-1 1-k 0

И, наконец, третья строка:

0 0 3-2*k-k^2 1-k

Причем среди ведущих элементов уже нулевых нет. В этом случае система имеет единственное решение. Какое? Давайте запишем полученную ступенчатую систему.

x1+x2+k*x3=1

Да, как я сказал, второе уравнение делим на k-1, учитывая, что k не равняется единице. Получается

x2-x3=0

И последнее уравнение

(3-2*k-k^2)*x3=1-k

Сейчас у нас уже все преобразования есть, поэтому ответ уже близок (общий ответ). Что мы будем сейчас делать? Сейчас будем выражать x3. Потом подставляем и выражаем x2 и так далее. Но на самом деле здесь возникают громоздкие преобразования. Так только кажется. На самом деле все упрощается. Дело в том, что квадратный трехчлен с известными корнями легко раскладывается на множители, что известно опять же из школьного курса математики. Старший коэффициент -1, поэтому не забываем минус. А дальше, учитывая, что корни 1 и -3, получается (k-1)*(k+3). Вспомните из школьного курса математики, как мы получили такое произведение. Ну а дальше снова общий множитель, на который можно сократить. Тем самым получается x3 - это (1-k) деленное на (1-k)*(k+3) (внесу минус в первый множитель). Сокращаем. x3=1/(k+3), Достаточно  красивое выражение получилось. Из второго уравнения находим x2. Оно равно x3, то есть то же самое значение принимает. Ну, и наконец, из первого уравнения выражаем x1:

X1=1-x2-k*x3=

Подставляем:

=1-1/(k+3)-k/(k+3).

Приводим к общему знаменателю и вычисляем. Задачи с параметрами всегда и сложны тем, что здесь приходится аккуратно выполнять преобразования с буквами. k уничтожается. 3-1=2.

2/(k+3).

Все. Решение найдено. Можно записывать ответ. Итак, если k равняется единице, система имеет бесконечно много решений (я не буду это множество переписывать, могу только вам его показать еще раз. Вот оно). Если же k равняется -3, система не совместна - пустое множество решений. И, наконец, при остальных k, то есть при k, неравных ни 1, ни -3, система имеет ровно одно решение вида: первая координата: 2/(k+3) и две другие координаты – 1/(k+3) 1/(k+3).

Итак, ровно одна тройка (2/(k+3), 1/(k+3), 1/(k+3))

Вот такой пример. Достаточно сложный, зато он реализует все возможные варианты, которые могут произойти с системой линейных уравнений.

На этом цикл занятий по данной теме мы с вами заканчиваем.

Спасибо за внимание!