Практическое занятие 2. Решение систем линейных уравнений методом гаусса

View

 


Данное практическое занятие посвящено системам линейных уравнений. На этом занятии мы постараемся отработать метод Гаусса, то есть метод последовательного исключения переменных с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим следующую систему. Напомню, что на лекции были рассмотрены различные примеры систем и простых, и посложнее. Сейчас на практике сразу же возьмем такую непростую систему. В ней четыре переменные и четыре уравнения.

Итак, постараемся отработать общий алгоритм. Как я уже сказал, вначале мы должны методом элементарных преобразований упростить данную систему, а именно привести ее к ступенчатому виду. Для этого мы вначале запишем матрицу из коэффициентов, чтобы отвлечься от обозначений неизвестных, а затем будем ее преобразовывать. Давайте аккуратно это сделаем, обращая внимание, что некоторые уравнения содержат не все переменные. Что это значит? А это означает, что при других переменных коэффициент равен нулю. Значит в массу пойдет число ноль. Итак, составим первую строчку расширенной матрицы 7, -2, я подпишу переменные, чтобы было понятно почему мы записали нолик, потому что перед x3 у нас коэффициент 0, перед x4 - 1 и свободный член – 2. Далее вторая строка – 0, 1, 0, 1, 1. Напоминаю, что последний столбец это столбец, составленный из свободных членов. Далее 0, 3, -2, 0, 6. И наконец четвёртая строчка  - 2, 2, 0, 5, 1. Итак, вот такая получилась матрица, которую называют расширенной матрицей именно потому, что мы учли столбец свободных членов. Теперь будем приводить к ступенчатому виду.

Нам надо, чтобы под семеркой были одни нолики два нуля уже есть, однако двоечка нам мешается. Что здесь плохого? Дело в том, что для того чтобы получить нолик, мы должны из четвертой строки вычесть две седьмых первых. И тогда у нас будет 2 минус 2/7*7, то есть 2 минус 2 - это будет 0. Но возникают дроби, что не очень удобно. На лекции был подобный пример, и там мы делали следующее преобразование. Мы выравнивали коэффициенты при данных уравнениях здесь можно домножить первую на 2, последнюю на 7. Получится здесь и здесь по 14. Однако можно применить другой прием. Можно получить единичку, вычтя из первой строки три четвертых. Вот 7 минус 6, то есть единица. Предлагаю это преобразование сделать. это из первой строки вычитаем три четвертых. Итак, я подпишу, мы вычитаем три четвертых. Получается матрица:

1, -2-6=-8, 0, 1-15=-14, 2-3=-1;

0, 1, 0, 1, 1;

0, 3, -2,0, 6;

2, 2, 0, 5, 1

Итак, вот нужная нам единичка. Ну, а теперь из четвертой строки вычитаем две первых. Получаем эквивалентную матрицу. Переписываем первые строки. Их мы пока никак не меняем. А теперь начинаем вычитать 0, 2+16=18, тут 0, 5+28=33, 1+22=23. Итак, вот ведущий элемент в первой строке - единичка. Во второй тоже единичка. Добиваемся нулей. Здесь уже все просто. Сразу же из третьей строки вычитаем три вторых (минус три вторых), а из последней вычитаем восемнадцать вторых. Большое число, но во второй строке стоят простые числа поэтому ничего страшного. А на будущее имейте ввиду, мы могли последнюю строчку проверить внутри. Тогда коэффициенты бы немножко упростились. Итак

1, -8, 0, -14, -1;

0, 1, 0, 1, 1;

Теперь вычитаем

0, 0, -2, -3, 6-3=3;

и последняя строка:

0, 0, а дальше считаем - здесь тоже 0, 33-18=15, если я не ошибаюсь, 3-18=-15.

Замечательно. Давайте посмотрим на систему. Вот ведущие элементы. Каждый следующий ведущий элемент располагается правее предыдущего. Имеем ступенчатую матрицу. Причем последнюю строку можно поделить на 15. Я не буду сейчас переписывать матрицу, а сразу запишу систему уравнений:

x1-8*x2-14*x4 (потому что при x3 стоит нолик) = -1

Так, второе уравнение:

x2+x4.

На первых порах, если сложно, может также подписывать над столбцами переменные, чтобы не ошибиться.

Третье уравнение:

-2*x3 – это у нас третий столбец

-2*x3 – 3*x4 = 3.

И, наконец, последнее уравнение. Причем я поделю на 15. Получу строку 1, -1, т.е.:

x4 = -1.

Так вот, первый этап с вами выполнили. Исходную систему метода преобразований привели к ступенчатому виду. Теперь второй этап. Теперь начинаем последовательно исключать неизвестное из последнего уравнения, постепенно поднимаясь все выше и выше.

x4 уже выражена. Я ее обведу.

Так, теперь что сделаем? Теперь поставим x4 во второе уравнение получим

-2*x3+3 = 3.

Отсюда видно, что x3 это 0.

Далее подставляем найденные значения во второе уравнение. Итак, теперь переходим ко второму уравнению, из него выражаем x2. Подставляю вместо x4 -1. x2 -1=1, значит x2=2.

Так идем снизу вверх. Ну и теперь подставляем в первую, в первое уравнение. Его я запишу пониже

x1-8*2 (т.е.-16) -14*(-1) (т.е. +14) = -1:

x1-16+14 = -1.

Отсюда выражаем x1. Так, слева получается -2, перебрасываем на правую часть - +2.

-1+2 = 1.

Все переменные найдены. Итак, данная система имеет единственное решение. Запишем это решение виде упорядоченной четверки чисел (1, 2, 0, -1). Итак, система решено.

Теперь предлагаю рассмотреть задачу, в которой снова фигурирует параметр. Нам не нужно полностью решать. Главное понять, при каких значениях параметра b указанная система совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение. В этой системе четыре уравнения и три неизвестных. Поступим по тому же самому алгоритму. Вначале приведем матрицу к ступенчатому виду, а затем вспомним одну теорему, о которой мы говорили на лекции. Она позволит нам разобраться, в каком же случае система будет совместна, а когда не совместна. Итак, составляем расширенную матрицу коэффициентов. В ней будет четыре строки и четыре столбца, учитывая столбец свободных членов.

1, 1, -3, -1

2, 1, -2, 1

1, 1, 1, 8

1, 2, -3, b

Приводим к ступенчатому виду. Из второй вычитаем две первых, из третьей – первую, из четвертой – тоже первую. Здесь у нас уже стоит единичка, нам это очень удобно. Получается равносильная система, более четко равносильная матрица. Итак, вычитаем, получаем следующие элементы: 0, -1, -2+6= 4, 1+2=3. Следующая строка – 0, 0, 4, 9. И, наконец, четвертая строка – 0, 1, 0 (потому что -3+3), а здесь b+1. b – это у нас параметр, какое-то фиксированное число, но нам неизвестное. Так, ведущий элемент первой строки – 1, ведущий элемент второй строки - -1. Добиваемся нулей под этим элементом. Для этого к четвертой строке прибавим вторую. Снова получим матрицу следующего вида:

1, 1, -3, -1 (так, первые три строки мы переписываем без изменений)

0, -1, 4, 3

0, 0, 4, 9

А теперь считаем:

0, 1-1=0, 0+4=4, и, наконец, b+1+3=b+4.

Так, что теперь? Теперь надо сделать так, чтобы под числом 4 стоял 0. А для этого из четвертой строки надо вычесть третью. Ну, что? Ступенчатая система почти нами получена. Однако из-за параметра нам придется еще некоторые исследования сделать. Итак, первые три строки переписал без изменений:

1, 1, -3, -1

0, -1, 4, 3

0, 0, 4, 9

Четвертую изменяем, учитывая наше преобразование:

0, 0, 0, b+4-5=b-5.

Ну что, почти ступенчатая система. Почему почти? Ну потому что, если у нас b равняется 5, получается нулевая строка, и мы должны ее вычеркнуть. Оставшаяся матрица будет ступенчатой. А если b не равняется 5, то мы получаем ступенчатую систему. Давайте вспомним, что мы ищем. Мы ищем значение параметра b, когда система совместна. Но система совместна тогда и только тогда, когда в соответствующей ступенчатой системе нет противоречивого уравнения. Очевидно, первые три уровня непротиворечивы, а вот последнее - оно как раз-таки может быть противоречивым, если выполняется какое-то условие. Давайте поймем, что это за условие. Для этого последнюю строку запишем в виде уравнения. Итак,

0 (я запишу подробно):

0*x1+0*x2+0*x3=b-5.

Когда уравнение противоречиво? Когда b равняется 5, точнее, если b равняется 5, то уравнение будет нулевым, а если b пяти не равняется, то будет противоречиво. Итак, делаем вывод: если b равно 5 (давайте я это уравнение обозначу звездочкой, через символ звездочка). Итак ,отметим, если b=5, то звездочка – нулевое. Его можно вычеркнуть. Система будет иметь решение, причем ровно одно, но нам главное, что она совместна. А вот есть ли же б не равняется пяти, то уравнение является противоречивым. Значит система несовместна. Имеет пустое множество решений. Таким образом, в ответ заносим b=5, именно при этом значении и только при этом значении система является совместной.

Last modified: Четверг, 4 февраля 2021, 8:42