Математика. Материалы курса

 

Данное практическое занятие посвящено системам линейных уравнений. На этом занятии мы постараемся отработать метод Гаусса, то есть метод последовательного исключения переменных с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим следующую систему. Напомню, что на лекции были рассмотрены различные примеры систем и простых, и посложнее. Сейчас на практике сразу же возьмем такую непростую систему. В ней четыре переменные и четыре уравнения.

Итак, постараемся отработать общий алгоритм. Как я уже сказал, вначале мы должны методом элементарных преобразований упростить данную систему, а именно привести ее к ступенчатому виду. Для этого мы вначале запишем матрицу из коэффициентов, чтобы отвлечься от обозначений неизвестных, а затем будем ее преобразовывать. Давайте аккуратно это сделаем, обращая внимание, что некоторые уравнения содержат не все переменные. Что это значит? А это означает, что при других переменных коэффициент равен нулю. Значит в массу пойдет число ноль. Итак, составим первую строчку расширенной матрицы 7, -2, я подпишу переменные, чтобы было понятно почему мы записали нолик, потому что перед x3 у нас коэффициент 0, перед x4 - 1 и свободный член – 2. Далее вторая строка – 0, 1, 0, 1, 1. Напоминаю, что последний столбец это столбец, составленный из свободных членов. Далее 0, 3, -2, 0, 6. И наконец четвёртая строчка  - 2, 2, 0, 5, 1. Итак, вот такая получилась матрица, которую называют расширенной матрицей именно потому, что мы учли столбец свободных членов. Теперь будем приводить к ступенчатому виду.

Нам надо, чтобы под семеркой были одни нолики два нуля уже есть, однако двоечка нам мешается. Что здесь плохого? Дело в том, что для того чтобы получить нолик, мы должны из четвертой строки вычесть две седьмых первых. И тогда у нас будет 2 минус 2/7*7, то есть 2 минус 2 - это будет 0. Но возникают дроби, что не очень удобно. На лекции был подобный пример, и там мы делали следующее преобразование. Мы выравнивали коэффициенты при данных уравнениях здесь можно домножить первую на 2, последнюю на 7. Получится здесь и здесь по 14. Однако можно применить другой прием. Можно получить единичку, вычтя из первой строки три четвертых. Вот 7 минус 6, то есть единица. Предлагаю это преобразование сделать. это из первой строки вычитаем три четвертых. Итак, я подпишу, мы вычитаем три четвертых. Получается матрица:

1, -2-6=-8, 0, 1-15=-14, 2-3=-1;

0, 1, 0, 1, 1;

0, 3, -2,0, 6;

2, 2, 0, 5, 1

Итак, вот нужная нам единичка. Ну, а теперь из четвертой строки вычитаем две первых. Получаем эквивалентную матрицу. Переписываем первые строки. Их мы пока никак не меняем. А теперь начинаем вычитать 0, 2+16=18, тут 0, 5+28=33, 1+22=23. Итак, вот ведущий элемент в первой строке - единичка. Во второй тоже единичка. Добиваемся нулей. Здесь уже все просто. Сразу же из третьей строки вычитаем три вторых (минус три вторых), а из последней вычитаем восемнадцать вторых. Большое число, но во второй строке стоят простые числа поэтому ничего страшного. А на будущее имейте ввиду, мы могли последнюю строчку проверить внутри. Тогда коэффициенты бы немножко упростились. Итак

1, -8, 0, -14, -1;

0, 1, 0, 1, 1;

Теперь вычитаем

0, 0, -2, -3, 6-3=3;

и последняя строка:

0, 0, а дальше считаем - здесь тоже 0, 33-18=15, если я не ошибаюсь, 3-18=-15.

Замечательно. Давайте посмотрим на систему. Вот ведущие элементы. Каждый следующий ведущий элемент располагается правее предыдущего. Имеем ступенчатую матрицу. Причем последнюю строку можно поделить на 15. Я не буду сейчас переписывать матрицу, а сразу запишу систему уравнений:

x1-8*x2-14*x4 (потому что при x3 стоит нолик) = -1

Так, второе уравнение:

x2+x4.

На первых порах, если сложно, может также подписывать над столбцами переменные, чтобы не ошибиться.

Третье уравнение:

-2*x3 – это у нас третий столбец

-2*x3 – 3*x4 = 3.

И, наконец, последнее уравнение. Причем я поделю на 15. Получу строку 1, -1, т.е.:

x4 = -1.

Так вот, первый этап с вами выполнили. Исходную систему метода преобразований привели к ступенчатому виду. Теперь второй этап. Теперь начинаем последовательно исключать неизвестное из последнего уравнения, постепенно поднимаясь все выше и выше.

x4 уже выражена. Я ее обведу.

Так, теперь что сделаем? Теперь поставим x4 во второе уравнение получим

-2*x3+3 = 3.

Отсюда видно, что x3 это 0.

Далее подставляем найденные значения во второе уравнение. Итак, теперь переходим ко второму уравнению, из него выражаем x2. Подставляю вместо x4 -1. x2 -1=1, значит x2=2.

Так идем снизу вверх. Ну и теперь подставляем в первую, в первое уравнение. Его я запишу пониже

x1-8*2 (т.е.-16) -14*(-1) (т.е. +14) = -1:

x1-16+14 = -1.

Отсюда выражаем x1. Так, слева получается -2, перебрасываем на правую часть - +2.

-1+2 = 1.

Все переменные найдены. Итак, данная система имеет единственное решение. Запишем это решение виде упорядоченной четверки чисел (1, 2, 0, -1). Итак, система решено.

Теперь предлагаю рассмотреть задачу, в которой снова фигурирует параметр. Нам не нужно полностью решать. Главное понять, при каких значениях параметра b указанная система совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение. В этой системе четыре уравнения и три неизвестных. Поступим по тому же самому алгоритму. Вначале приведем матрицу к ступенчатому виду, а затем вспомним одну теорему, о которой мы говорили на лекции. Она позволит нам разобраться, в каком же случае система будет совместна, а когда не совместна. Итак, составляем расширенную матрицу коэффициентов. В ней будет четыре строки и четыре столбца, учитывая столбец свободных членов.

1, 1, -3, -1

2, 1, -2, 1

1, 1, 1, 8

1, 2, -3, b

Приводим к ступенчатому виду. Из второй вычитаем две первых, из третьей – первую, из четвертой – тоже первую. Здесь у нас уже стоит единичка, нам это очень удобно. Получается равносильная система, более четко равносильная матрица. Итак, вычитаем, получаем следующие элементы: 0, -1, -2+6= 4, 1+2=3. Следующая строка – 0, 0, 4, 9. И, наконец, четвертая строка – 0, 1, 0 (потому что -3+3), а здесь b+1. b – это у нас параметр, какое-то фиксированное число, но нам неизвестное. Так, ведущий элемент первой строки – 1, ведущий элемент второй строки - -1. Добиваемся нулей под этим элементом. Для этого к четвертой строке прибавим вторую. Снова получим матрицу следующего вида:

1, 1, -3, -1 (так, первые три строки мы переписываем без изменений)

0, -1, 4, 3

0, 0, 4, 9

А теперь считаем:

0, 1-1=0, 0+4=4, и, наконец, b+1+3=b+4.

Так, что теперь? Теперь надо сделать так, чтобы под числом 4 стоял 0. А для этого из четвертой строки надо вычесть третью. Ну, что? Ступенчатая система почти нами получена. Однако из-за параметра нам придется еще некоторые исследования сделать. Итак, первые три строки переписал без изменений:

1, 1, -3, -1

0, -1, 4, 3

0, 0, 4, 9

Четвертую изменяем, учитывая наше преобразование:

0, 0, 0, b+4-5=b-5.

Ну что, почти ступенчатая система. Почему почти? Ну потому что, если у нас b равняется 5, получается нулевая строка, и мы должны ее вычеркнуть. Оставшаяся матрица будет ступенчатой. А если b не равняется 5, то мы получаем ступенчатую систему. Давайте вспомним, что мы ищем. Мы ищем значение параметра b, когда система совместна. Но система совместна тогда и только тогда, когда в соответствующей ступенчатой системе нет противоречивого уравнения. Очевидно, первые три уровня непротиворечивы, а вот последнее - оно как раз-таки может быть противоречивым, если выполняется какое-то условие. Давайте поймем, что это за условие. Для этого последнюю строку запишем в виде уравнения. Итак,

0 (я запишу подробно):

0*x1+0*x2+0*x3=b-5.

Когда уравнение противоречиво? Когда b равняется 5, точнее, если b равняется 5, то уравнение будет нулевым, а если b пяти не равняется, то будет противоречиво. Итак, делаем вывод: если b равно 5 (давайте я это уравнение обозначу звездочкой, через символ звездочка). Итак ,отметим, если b=5, то звездочка – нулевое. Его можно вычеркнуть. Система будет иметь решение, причем ровно одно, но нам главное, что она совместна. А вот есть ли же б не равняется пяти, то уравнение является противоречивым. Значит система несовместна. Имеет пустое множество решений. Таким образом, в ответ заносим b=5, именно при этом значении и только при этом значении система является совместной.