Математика. Материалы курса

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Часть 1.

Мы продолжаем изучать системы линейных уравнений. Сейчас мы познакомимся с общим методом решения таких систем – методом Гаусса.

В начале, рассмотрим пример системы следующего вида. Обратите внимание, что в каждом следующем уравнении на одну переменную меньше. Поэтому, если мы начнем выражать переменную из последнего уравнения, то сразу же ее получим. Подставляем ее в предыдущие уравнения, выражаем переменную х₂ после этого сможем выразить переменную х₁. Тем самым получаем решение – тройку (0,1, 0). Подобную систему уравнений мы будем называть ступенчатой.

Дадим определение. Система называется ступенчатой, если она не содержит нулевых уравнений и для первых ненулевых коэффициент номера соответствующих неизвестных находятся в порядке возрастания.

Мы знаем, что каждой системе соответствует матрица ее коэффициентов, поэтому аналогичным способом можно внести понятие ступенчатой матрицы. Составим для нашего примера матрицу ее коэффициентов и введем понятие ведущего элемента. Ведущий элемент строки – это первое ненулевое число. На слайде ведущие элементы матрицы выделены красным цветом. Итак, матрицу называют ступенчатой, если в ней нет нулевых строк, и номера столбцов ведущих элементов образуют возрастающую последовательность.

Теперь рассмотрим еще некоторые примеры матриц и обсудим, какие из них будут ступенчатыми а какие нет.

Вот пример матрицы, в котором опять же ведущие элементы выделены красным цветом, здесь как видим, условие не выполняется – матрица не ступенчатая. Например, ведущий элемент третьей строки -3 располагается левее, чем ведущий элемент второй строки.

А вот такая матрица уже является ступенчатой. В первой строке ведущий элемент стоит на первом месте, во второй на втором, а в третьей на четвертой позиции. То есть получается, что ведущий элемент каждой последующей строке должен находиться правее ведущего элемента предыдущей строки. Визуально можно ступенчатую систему понимать вот в таком плане: если мы подчеркнем ведущие элементы линией, то у нас образуется такая ступенька, в том числе и для первого примера. Итак, на слайде мы имеем две ступенчатые матрицы.

Вспомним, в прошлый раз мы подробно рассматривали элементарные преобразования систем, а также связанных с ней матриц. Так вот как было сказано ранее элементарные преобразования позволяют получить систему равносильную исходной.

Просмотрим важную теорему. Любую ненулевую систему линейных уравнений с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду. То, что система не нулевая означает, что в ней не все коэффициенты равны нулю. Понятно, что если мы рассмотрим систему, в которой все коэффициенты нулевые, то получим тривиальный случай, который нам нет необходимости рассматривать, потому что если в системе все уравнения нулевые, то множество ее решений будет произвольно nk чисел. Итак, в дальнейшем рассмотрим именно ненулевую систему.

Возьмем пример: матрицу и постараемся привести ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. В начале, матрица  у нас не ступенчатая, как видно условия в ней не выполняются. Возьмем ведущий элемент первой строки и сделаем так, чтобы под ним все числа были раны нулю. Для этого к третьей строке прибавим две первых, в этом случае первые две строки не изменятся,  а третья строка поменяется. Как видите, после этого преобразования ведущий элемент остальных строк уже удовлетворяет нашему условию: 2, 6 и 12 -  каждый из них располагается правее предыдущих, т.е. сделав такое преобразование, мы сразу же получили ступенчатую систему. Конечно же, так бывает далеко не всегда, в некоторых вариантах нам придется сделать несколько преобразований, чтобы получить нужный вид. Итак, вот такая вот получается ступенька.

Теперь основная теорема о том, какие могут получиться случаи, если мы систему линейных уравнений приведем к ступенчатому виду.

Итак, пусть нам дана ступенчатая система. Если в ней имеется противоречивое уравнение, в этом случае система несовместна. Т. е.  у нее нет решений. Рассмотрим второй вариант, если в системе противоречивого уравнения нет, тогда возможны два подслучая. 1) Если число уравнений равно числу неизвестных, то система будет иметь ровно одно решение. 2) Если же число уравнений меньше чем число неизвестных, в этом случае система имеет бесконечно много решений. Итак, вот три возможных варианта. Повторюсь, либо система несовместна, либо имеет 1 решение, либо бесконечно много решений. Ничего другого быть не может.

Сейчас рассмотри примеры, иллюстрирующие некоторые пункты. А именно, рассмотрим примеры систем, которые имеет ровно одно решение. Приведем ее к ступенчатому виду и отыщем это решение. Составим матрицу из коэффициентов, и чтобы сделать ее ступенчатой, выполним некоторые преобразования. Давайте подумаем, что здесь можно сделать? У нас в первой строке ведущий элемент двоечка и чтобы под ней получить нолик мы конечно можем из второй строки вычесть ½ первой, в этом случае получается работа с дробями – это не очень удобно. Поэтому лучше поменяем строки местами для того чтобы первый элемент первой строки был равен единице. В этом случае вычитаем из второй строки две первых, получаем нужный нам нолик под единичкой, и тем самым получим ступенчатую систему. Возвращаемся к системе и теперь применяем описанный прием. Выражаем  из последнего уравнения переменную, подставляем в первое уравнение и находим решение. Получаем ровно 1 решение – пару (2;-1).

Теперь постараемся для данного примера сделать геометрическую иллюстрацию. Важно знать, что любое линейное уравнение с двумя переменными задает на координатной плоскости Oxy прямую. Конечно, при условии, что какой-то из коэффициентов a и b не равен нулю. Ну, опять же если же у нас a и b равен нулю, то мы получаем либо нулевое, либо противоречивое уравнение, в этом случае либо решений нет, либо бесконечно много, а вот если a и b не равняется нулю, здесь как я уже сказал наше уравнение определяет прямую. При этом если коэффициент b  не равен нулю, то эта прямая является графиком линейной функции. Если же коэффициент b равен нулю, а a не ноль, в этом случае прямая параллельна оси Оy.

Итак, коль скоро нам дана система из двух уравнений, значит, ее решение интерпретируется как точка, лежащая на двух прямых. То есть точка – пересечение  этих прямых. Если изобразить данные прямые на плоскости получится следующая картинка и точка данных прямых и будет являться решением. То есть точка имеет координаты (2;-1).

Идем дальше. Рассмотрим пример трех уравнений с тремя неизвестными. Снова составим матрицу, ее коэффициентов. Напоминаю, что мы рассматриваем расширенную матрицу, то есть берем все коэффициенты и в левой и в правой частях от знака равенства. То есть не забываем про столбец свободных членов и выполняем преобразование. Те есть приводи матрицу к ступенчатому виду. Снова, т.к. у нас в первой строке ведущий элемент равен двум, чтобы не работать с дробями поставим на первое место другое уравнение, то есть поменяем строки местами. Поменяем крайние строки: первую и третью. На самом деде можно было поменять местами первую и вторую строчки – это не принципиально. Итак, мы поменяли 1 и 3 строки местами. Получилось следующая система, ну а дальше из второй строки вычтем первую, а из третьей две первых. Вычисляем, получаем следующую матрицу. Итак, под единичкой получили нолики. Однако здесь вот такие преобразования сразу нам не обеспечили ступенчатую систему – надо идти дальше. Выделяем ведущий элемент во второй строчке и добиваемся, чтобы под ним стоял нолик. Это сделать очень просто: надо вычесть из третьей строки вторую, тем самым нолик будет получен. После данного преобразования ведущий элемент третьей строки удовлетворяет нужному условию. Имеем ступенчатую матрицу – значит теперь легко найти решение. Записываем систему по данной матрице, из последнего уравнения выражаем z, здесь оно сразу же получается. Далее из второго уравнения выражаем переменную y. В начале выражаем через z, но z у нас уже найдена, подставляем. Вычисляем. А далее из первого уравнения находим переменную х. Итак, решение найдено. Снова наша система имеет ровно одно решение: (1,0,1).

Постараемся сделать графическую иллюстрацию. Также как мы это сделали для системы с двумя переменными. Здесь мы уже работаем с уравнениями от трех переменных, так вот любое линейное уравнение с тремя переменными задает в трехмерном геометрическом пространстве плоскость ну опять же при условии, что хотя бы один коэффициент из левой части не равен нулю. Если мы решаем систему как в нашем случае, значит, решением системы будет точка, лежащая на всех этих плоскостях, т.е. точка пересечения данных плоскостей. Вот получается такой рисунок, такая геометрическая иллюстрация: три плоскости, которые пересекаются в одной точке. Эта точка имеет координаты (1,0,1) в трехмерной системе координат.

Теперь рассмотрим другой случай, приведем пример системы, которая не имеет решений. Как утверждает теорема: в соответствующих ступенчатых системах мы должны получить противоречивое уравнение. Давайте посмотрим.

Здесь я предлагаю к матрице уже не переходить. Система простая. Чтобы не делать лишних надписей, сразу из второго уравнения вычтем 2 первых. Конечно, можно было записать матрицу и выполнить данное преобразование, но как уже я сказал, что между матрицей и системой у нас существует соответствие, поэтому нам не принципиально с чем мы работаем. После первого вычитания мы видим, что во втором уравнении коэффициенты при переменных обнулились, а свободный коэффициент не равен нулю. То есть получаем противоречивое уравнение. Значит сразу же можно сделать вывод: система несовместна, т.е. множество ее решений пусто.

Для данного примера посмотрим, что будет на рисунке. Мы знаем, что линейное уравнение с двумя переменными определяет прямую. Коль скоро решений нет, значит, данные прямые не должны иметь общих точек, получается, что прямые параллельны.

Теперь рассмотрим пример системы, содержащей три переменные. Опять же эта система не совместна, потому что, вычитая из второй строки две первых, у нас получается противоречивое уравнение. Если же теперь сделать геометрическую иллюстрацию, то вместо прямых, мы получим две плоскости. При чем, плоскости будут параллельны, коль скоро система не имеет решений.

А теперь предлагаю взять пример посложнее, и исследовать данную систему на наличие решений. Итак, в этой системе 4 уравнения, 3 неизвестных. Начнем выполнять преобразования. Составим матрицу коэффициентов и преобразуем ее к ступенчатому виду, таков наш первый этап. Здесь на первом месте стоит единичка, поэтому ничего менять местами мы не будем, сразу же делаем так, чтобы под первым ведущим элементом находились нули. Предыдущий элемент я опять выделяю и для того, чтобы получить нолики начинаем выполнять указанное преобразование. Из второй строки вычитаем первую и третьей вычтем также первую, а из четвертой вычитаем 3 первых. Выполнив, последовательно три преобразования получается следующая матрица. Далее, делаем так, чтобы под троечкой снова находились только нули. И вот здесь снова небольшая проблемка возникает. Для того чтобы вместо четверки получить нолик, мы конечно можем из 4 строки вычесть 4/3 вторых. Но опять же придется работать с дробями. Мы поступим по-другому. Чтобы получить нолик мы сначала уравняем два коэффициента между собой и затем из одного вычтем другой. То есть домножим вторую строчку на 4, а четвертую на 3. После этого у нас получатся следующие строки. Вторая строка: 0,12,4,8, т.е. мы умножаем каждый элемент строки на 4. Ну и аналогично изменится 4 строчка. Ну а теперь из 4 строки вычтем вторую. Что обеспечит нам появление нужного нуля. Теперь, кончено, можно снова вторую строчку изменить, мы же ее до этого умножали на 4, чтобы нам затем проще найти  значение переменных, мы можем поделить обратно на 4, хотя это не принципиально. Но главное вычесть из четвертой строки 2 третьих, чтобы под  -2  получить нолик. Получается следующая матрица, которая уже имеет ступенчатый вид. Вот ее ведущие элементы, при чем, они удовлетворяют нужному условию.

Итак, ступенчатая матрица получена, далее возвращаемся к системе, при этом обратим внимание на последнее уравнение, которое мы получим, а точнее сначала посмотрим на последнюю строчку: у нее все коэффициенты кроме последнего равны нулю, то есть соответствующее уравнение в системе будет противоречивым. Коэффициенты стоящие слева равны нулю, а свободный член равен -3. Раз получаем в ступенчатой системе противоречивое уравнение, значит, данная система не совместна, то есть не имеет решений.

Итак, подведем некоторые итоги. Во-первых, мы с вами подробно рассмотрели два случая, о которых говорится в предыдущей теореме. Первый случай – когда система имеет ровно одно решение. Второй случай, когда система несовместна, т.е. не имеет решений. Третий вариант, когда система имеет бесконечно много решений, мы рассмотрим в следующей лекции.

Тем не мене уже сейчас можно сформулировать общий признак, как мы можем решать систему. Наше решение разбивается на 2 этапа. Первый этап – мы приводим матрицу к ступенчатому виду. А второй этап – начинаем последовательно выражать значения переменных. При чем, берем последнее уравнение, если оно конечно не противоречивое, находим значение переменной, далее подставляем во вторую и так далее. Но если же мы получаем в ступенчатой системе противоречивое уравнение, как в данном примере, то сразу делаем вывод, что решений нет. Так вот, описанный метод решений систем и называется методом Гаусса. О котором я рассказал в самом начале.