Математика. Материалы курса

Практическое занятие посвящено системам линейных уравнений. Наша задача отработать основные понятия, которые были рассмотрены на первой лекции.

Начнем с такой задачи. Требуется найти точку пересечения двух прямых, заданных линейными уравнениями. Мы уже знаем, что каждое линейное уравнение определяет прямую на плоскости, если в этом уравнении две переменные. Для того чтобы найти точку пересечения можно, конечно, построить данные прямые на плоскости. Но мы поступим другим путем. Мы применим алгебраический путь.

Рассмотрим систему, составленную из данных уравнений, и найдем ее решение. Для этого к первому уравнению прибавим второе, то есть выполним элементарное преобразование. Тогда коэффициент при x у нас обнулится - -4 да 4 будет 0*x. Далее -y+3y=+2y. В правой части будет четверка. Второе уравнение запишем без изменений. Так, слагаемое 0*x можно удалить, потому что оно равно нулю. После такого преобразования у нас сразу же получается значение переменной y. Итак, y равняется двум. Подставляем это значение во второе уравнение и находим x: 4*x плюс 3*2, то есть плюс 6, = равняется 2. Значит 4*x=-4. Отсюда x - это -1. Итак, данная система имеет единственное решение. Этим решением будет являться пара чисел (-1, 2). Значит точка пересечения данных прямых имеет координаты (-1, 2). Таким образом ответ получен. Общая точка данных прямых найдена.

Теперь рассмотрим другую задачу. Дано линейное уравнение относительно переменной x. требуется его исследовать, то есть определить при каких значениях числа а это уравнение имеет одно решение, при каких имеет бесконечно много, при каких решений нет. Итак, а - это параметр, то есть некоторое фиксированное число, но мы не знаем, чему оно равно. Давайте вспомним, какие у нас, вообще говоря, могут быть случи, если нам дано линейное уравнение с одной переменной. Коэффициент перед x я обозначу буквой k. Итак, k умножается на переменную x, а свободный член обозначу b. Конечно, мы привыкли это простейшее уравнение решать как x равняется b деленная на к. Но это возможно лишь тогда, когда k не равно нулю. То есть если k не ноль, тогда решением уравнения является число b/k. А вот если же k=0, в этом случае надо провести исследование, посмотреть что же получится. Поэтому я предлагаю для нашего примера рассмотрим случай, когда коэффициент перед x равен нулю. Давайте его запишем. (a^2-4) и сразу же преобразуем по формуле разности квадратов – (a-2)*(a+2). Очевидно, что данный коэффициент будет равен нулю в одном из двух случаев: если а равняется 2 или -2.

Посмотрим, что будет, когда а равно двум. Подставим в наше исходное уравнение. Оно примет вид 0*x=4. Это уравнение является противоречивым. А значит решений нет – пустое множество. Итак, для а, равного двум получаем пустое множество решений.

Второй случай. Если же мы возьмем другое значение параметра - -2. Снова коэффициент перед x будет равен нулю. однако и свободный член также будет равен нулю. Получаем нулевое уравнение. Как известно, его решением является любое число, то есть все множество действительных чисел R.

Ну, и наконец третий случай. Когда а не равняется 2 и не равняется минус 2. Я напишу кратко через точку запятой. В этом случае мы поступим так, как привыкли делать. Разделим на коэффициент k и получим значение x. Делить нам уже можно потому что коэффициент k нулю не равняется. Итак, (а+2) деленное на (а^2-4), учитывая что мы разложили на множители, мы видим, что на один из них можно сократить. Таким образом, уравнение имеет следующий корень,  следующее решение – x=1/(а-2). Итак, тем самым получаем ответ. Уравнение имеет одно решение при всех а, неравных числам 2 и -2. Вот оно это решение. Уравнение имеет бесконечно много решений, когда а равняется -2 - это множество R - бесконечно много решений. Причем не просто бесконечно много, а любое число будет являться решением. И, наконец, уравнение не имеет решений, если а равняется 2. Таким образом, если вернуться к изначальному, общему виду линейного уравнения с одной переменной, мы можем сказать, что если k не равняется нулю, уравнение имеет единственный корень. Если же k равняется нулю, уравнения может не иметь корней, а может иметь ровно один, извините, может не иметь корней, а может иметь бесконечно много решений.

И еще одна задача, в которой рассматривается система линейных уравнений.

Итак, вопрос опять же зависит от параметров. Спрашивается, при каких значениях параметра а данная система уравнений имеет одно решение. Требуется это решение найти. Что мы сделаем? Снова применим технику преобразований. Обратите внимание, первое слагаемое данных уравнений одинаково. Значит при вычитании мы получим нулевое слагаемое. Вычтем, например, из второго уравнения первое. Получим следующую систему, которая, как известно, равносильна исходной:

x+y = а,

а второе уравнение преобразуется к следующему. 0 я уже записывать не буду при x, а при y у нас получается коэффициент а-1. Итак,

(a-1)*y=1-a.

Что мы видим? Второе уравнение содержит уже одну переменную, и мы можем также как прошлой задаче исследовать данное уравнение. Начнем с коэффициента при переменной – (а-1). Вначале рассмотрим случай, когда коэффициент равен единице. Точнее давайте подумаем, что будет, если а будет равняться единице. Мы знаем, что в этом случае либо уравнение не будет иметь решения, либо их будет бесконечно много. А нам нужно одно решение, поэтому мы сразу можем считать, что а не равняется единице для того чтобы было одно решение. Итак, если а не равняется единице, в этом случае умножаем на число обратное к (а-1), то есть делим на (а-1), и получаем такое значение. Обратите внимание, (а-1) и (1- а) - это противоположные числа. Я могу записать вот так: (1-а), но со знаком минус. Сокращая, получаю -1. Но это еще не ответ, потому что у нас второе уравнение имеет один корень, а мы решаем систему. Подставим данное значение переменной y в первое уравнение и посмотрим, что получится. Итак,

а*x-1=a.

Выразим x. Снова не будем спешить. Приведем к стандартному виду и снова получаем дилемму - коэффициент перед x либо равен нулю, либо не равен 0. Если он будет равен нулю, наше уравнение, давайте запишем, примет вид: 0*х=1, т.е. оно не будет иметь решений, но значит и вся система будет несовместной. Значит нам этот случай не подходит. Поэтому параметр а не должен равняться нулю. В этом случае, поделив на а, мы получим значение переменной x. Итак, для того чтобы система имела ровно одно решение необходимо, чтобы а не равнялась единице, а, во-вторых, а не должно равняться нулю. Получаем ответ на вопрос задачи – а не равняется единице, а не равняется нулю, в этом случае система имеет одно решение. Запишем его в виде пары первая координата (a+1)/а, ну а вторая координата - -1. Ну и если бы был вопрос более широкий - рассмотреть все варианты, то мы бы сказали что если а=0, система несовместна, а если а равняется единице, … А над этим вопросом предлагаю вам подумать самостоятельно.