Математика. Материалы курса

Здравствуйте. Мы начинаем изучать раздел математики под названием линейная алгебра. Первая тема будет посвящена основным понятиям, связанным с системами линейных уравнений.

Определим понятие линейного уравнения. Вначале вспомним, что называется уравнением. Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, зависящих от некоторого набора неизвестных. Неизвестные также называют переменными. Если переменные обозначить x1, x2, …, xn, то уравнение можно представить в виде равенства двух функций, зависящих от данных переменных. Линейное уравнение - это уравнение указанного вида, где а1, а2, …, an и b - это фиксированные числа называемые коэффициентами уравнения. При этом b называют свободным коэффициентом или свободным членом уравнения.

Рассмотрим произвольное линейное уравнение и введем основные понятия.

Последовательность чисел r1, r2,…, rn называется решением данного уравнения если при подстановке вместо переменных этих чисел уравнение обращается в верное равенство. При этом число r1 подставляется вместо x1, r2 - второе вместо x2 и так далее. Указанная последовательность чисел называется упорядоченной n-кой. Если n равняется двум, то n-ку называют парой при этом, например, пары (1,2) и (2,1) различным. Если n равняется трем - тройкой и так далее.

Решить уравнение - означает найти все его решения или доказать, что решений нет. Уравнения называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Для обозначения равносильных уравнений мы будем использовать указанные знаки.

Теперь рассмотрим некоторые простейшие виды уравнений. Если все коэффициенты уравнения равны нулю и слева и справа, уровне называют нулевым. Оно имеет вот такой вид. При этом нетрудно видеть что при умножении числа 0 на любое число получается 0, поэтому вся левая часть данного уравнения равна нулю. И кратко такое уравнение записывают виде равенства 0=0. Очевидно, что решением данного уравнения будет являться любая n-ка чисел, поэтому множество решений можно записать вот таким образом. Обратите внимание, что для записи множества мы используем фигурные скобки, в которых записываем элементы множества, далее ставим черту и после черты указываем свойство, которым обладают данные элементы. Здесь мы также используем специальное написание буквы R. Эта буква обозначает множество всех действительных чисел. В это множество входят и целые, и рациональные, и иррациональные числа.

Другой вид уравнения - так называемое противоречивое уравнение. Это уравнение, у которого все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный член нулю не равен. В этом случае мы получаем, что левая часть всегда обращается в ноль, а правая нулю не равна. Таким образом, данное уравнение решений не имеет, то есть можно сказать, что множеством решений противоречивого уравнения является пустое множество.

Рассмотрим ещё один пример уравнения с двумя переменными -x1, x2. Когда у нас рассматриваются уравнение с двумя переменными, то для упрощения записи вместо переменных x1 и x2 используют буквы без индексов x и y. Найдем некоторое решение данного уравнения при этом отметим, что графически решение можно изобразить точкой на плоскости. Так как у нас две переменные, то решением является пара чисел, а значит пара может быть изображена точкой на координатной плоскости с осями координат x и y. Очевидно, что решениями являются следующие пары, например, пара (1, 0), далее пара (0, 1). Обратите внимание, что это разные пары. Они изображаются разными точками. Также пара (1/2, 1/2) является решением, (-1, 2) и так и так далее. Не трудно видеть, что это уравнение имеет бесконечно много решений, так как, выразив переменную y через x, мы получим, что каждому значению переменной x у нас соответствует ровно одно значение переменной y. Множество всех решений изображается прямой, которая является графиком линейной функции y=1-x. Таким образом, множество решений можно записать в указанном виде. Это множество всех пар (x, y), где x - произвольное действительное число, а y выражается через x указанным образом. Также это множество можно записать немножко по-другому.

Над уравнениями часто выполняют различные преобразования. Сделаем некоторое уточнение и приведем пример. Во-первых, не все преобразования сохраняют вид уравнения. Например, если мы возьмем изначально линейное уравнения и возведем его в квадрат, то уравнения станет квадратным. Поэтому такое преобразование в нашей теме мы использовать не будем. Во-вторых, некоторые преобразования сохраняют множество решений, то есть не изменяют это множество, а некоторые преобразования изменяют множество решений. Например, если умножить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, то множество решений не изменится, то есть мы получим уравнение равносильное исходному. Например, если нам дано указанное уравнение на слайде, мы можем умножить его на число 2. Получим уравнение равносильное исходному. Однако если мы умножим обе части уравнения на число ноль, то в этом случае множество решений изменится, так как получится нулевое уравнение, которому удовлетворяет любая пара чисел. Таким образом, умножение на ноль является преобразованием не равносильным, то есть оно изменяет множество решений. В дальнейшем мы рассмотрим основные типы преобразований, которые не изменяют множество решений.

А сейчас дадим понятие системы линейных уравнений. Очень часто при решении задач требуется найти n-ки чисел, которые удовлетворяют сразу нескольким уравнения. В этом случае уравнения объединяют в систему. Для того чтобы записать систему в общем виде используют двойную индексацию коэффициентов. Обратите внимание - первый индекс указывает номер уравнения в системе, а второй индекс соответствует индексу переменной. Например, коэффициент a₂₁ записан во втором уравнении перед переменной x₁. Очень часто систему линейных уравнений сокращенно называют СЛУ. Итак а_ij и b_i - это коэффициенты. Точно также коэффициент b_i называют свободным коэффициентом или свободным членом. Решением системы линейных уравнений называется m-ка чисел, которая является решением каждого уравнения данной системы. Решить систему - означает найти все ее решения или доказать, что решений нет. Другими словами требуется найти множество решений. В частности, если решение нет, то множество называют пустым.

Рассмотрим некоторые примеры. На слайде приведена система линейных уравнений, которая не имеет решений. Действительно левые части этих уравнений одинаковые, поэтому если бы какая-то пара чисел являлась решением, то это означало бы что одно и то же число равно и 0, и 4 одновременно, чего не может быть, поэтому эта система не имеет решений. Системы, не имеющие решения, называются несовместные. Рассмотрим другой пример. Под номером 2 записана система, которая имеет ровно одно решение. Его нетрудно отыскать. Вначале выразим из второго уравнения переменную y, потом подставим в первое уравнение и вычисли x. Получается пара чисел (-2, 1). И наконец пример системы, которая имеет бесконечно много решений. Эта система состоит из одного уравнения. Данный пример мы выше рассматривали, и знаем, как выглядит его множество решений. Еще раз запишем это множество и изобразим графически. Напомню, что множество решений уравнения x+y=1 - есть прямая, являющаяся графиком линейной функции. Если система имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной. Таким образом, первый пример — это пример несовместной системы, а примеры 2 и 3 являются совместными.

Теперь поговорим об основных преобразованиях систем, которые не изменяют множество решений. Их называют элементарными преобразованиями. Выделяют несколько типов преобразований. Перечислим их. Итак, первый тип — это умножении обеих частей уравнения на ненулевое число. Второй тип преобразований - прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число. Отмечу, что сложение осуществляется почленно. Вместо операции сложения можно уравнения вычитать. Далее третий тип - это перестановка уравнений местами. И, наконец, четвертый тип - удаление из системы или приписывания нулевого уравнения. Если мы выполним любое элементарное преобразование с некоторой системой, то получим систему уравнений равносильную данной, то есть множество решений не изменится. Рассмотрим пример и выполним преобразование второго типа. Вычтем из первого уравнения второе, умноженное на единицу, коротко говоря просто вычтем из первого уравнения второе. Получим равносильную систему указанного вида. Первое уравнение у нас изменилась, а второе остается прежним. Эта система уже легко решается. Обратите внимание - первое слагаемое в первом уравнении равно нулю поэтому это слагаемое можно вычеркнуть отсюда. Мы сразу получаем значение переменной y. Подставляем во второе уравнение и выражаем переменную x. Тем самым получаем одно решение - пару (0, 1). Множество решений можно записать в таком виде - данную пару заключаем фигурные скобки.

Второй пример вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 2. В этом случае снова получим равносильную систему. При этом первое уравнения превратится в нулевое, так как все его коэффициенты будут равны нулю, вычеркиваем нулевое уравнение. Получаем систему, состоящую из одного уравнения. Множество решений выглядит вот таким образом. Мы уже его неоднократно рассматривали.

Теперь введем понятие матрицы. Снова запишем систему уравнений в общем виде и рассмотрим таблицу коэффициентов данной системы. Такую таблицу называют матрицей, и она разбивается на строки и столбцы. То есть каждое уравнение системы дает свою строку, поэтому число строк равно числу уравнений. Далее каждая переменная дает некоторый столбец. Последний столбец матрицы состоит из свободных членов. При этом обращаю внимание, что по матрице система восстанавливается однозначно. То есть мы отвлекаемся от обозначения переменных и в этом случае по матрице можем составить систему и наоборот по системе сразу же находится матрица. Эта идея очень удобна в случае, когда мы преобразуем систему, и позволяет при записи исключить лишние обозначения переменных, а работать только с коэффициентами уравнений.

Итак, еще раз обращаю внимание, что каждому уравнению системы соответствует строка матрицы, поэтому те преобразования, которые мы рассматривали с уравнениями можно перенести на строки матрицы. Итак, рассмотрим эти преобразования строк произвольной матрицы. Строку матрицы можно умножить на ненулевое число, то есть умножается каждый элемент строки. Далее к одной строке можно прибавить другую, умноженную на число, то есть каждый элемент одной строки складывается с элементом другой строки, умноженным на некоторое число. Далее строки можно переставлять местами, а также можно удалять или приписывать нулевую строку, то есть строку, в которой все элементы равны нулю.

Рассмотрим примеры, для которых мы выполняли преобразовании над системой и сделаем те же самые преобразования над соответствующими матрицами. Итак, для данной системе соответствует вот такая матрица, составленная из коэффициентов. И преобразование уравнения в системе можно заменить преобразованием строки в матрице. Получается следующая матрица. И второй пример, когда мы от системы перешли к матрице. Хорошо видно, что первая строка равна второй, умноженной на число 2. Такие строки мы будем называть пропорциональными строками. Поэтому если мы из первой строки вычтем две вторых, у нас появится нулевая строка, которая соответствует нулевому уравнению. Вычеркиваем ее и получаем матрицу, составленную из одной строки.

На этом лекция окончена спасибо за внимание.