Математика. Материалы курса

Этой лекцией мы завершаем раздел функции нескольких переменных и завершаем его новым открытием в теории интеграла. Оказывается, интегралы еще бывают криволинейными, и они связаны с понятием функции двух переменных, ну и конечно связаны с определенными интегралами. 

Для начала разберем криволинейные интегралы первого рода. На плоскости дана некоторая непрерывная кривая конечной длины, спрямляемая и в каждой точке этой кривой определена функция двух переменных, значение z вычисляются по функции f(x,y). Что мы сделаем? Разобьем эту кривую точками на n частей: M₀, M₁ и так далее, M_n это точка В. Обозначим: дельта_i это длина i-ой части. Составим интегральную сумму, умножая значение в произвольной выбранной точки M_i^* на i-ой дуге на длину i-ой дуги, которой эта выбранная точка принадлежит. Суммируем эти значения и получаем сигма. Это значение сигма мы называем интегральной суммой функции f по кривой AB. Наибольшую из длин частичных дуг мы назовем шагом разбиения. 

Возникает предельный переход, если существует конечный предел интегральных сумм при стремлении шага разбиения к нулю, и этот предел не зависит ни от способа разбиения кривой на частичные дуги, ни от способа выбора точек M_i^*, то функция f называется интегрируемой по кривой AB, а значение предела называют криволинейным интегралом первого рода функции f по кривой AB. Обозначаем этот интеграл следующим образом (см. на видео). 

Мы можем указать кривую AB , иногда мы обозначаем эту кривую просто символом L и здесь множитель dl. Самый простой пример: интеграл от дифференциала длины кривой от dl. Посмотрите подынтегральная функция здесь равна единице, все ее значения в любой точке (x_i,y_i) равны 1. И что мы получаем? Сумму всех длин частичных дуг понятно, что в результате это l длина кривой L, при стремлении шага разбиению к нулю, предел также остается равным l, таким образом, дифференциал длины кривой при вычислении интеграла по кривой дает нам l. Это важный факт, который мы часто используем. 

Какие свойства мы должны знать и использовать при вычислении криволинейного интеграла первого рода? 

Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования. Мы можем написать AB, мы можем, написать BA от этого криволинейный интеграл не изменится. 

Свойство линейности, которое мы рассматривали и для определенных, неопределенных, а так же и для двойных интегралов. Во-первых, однородность, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Во-вторых, аддитивность, криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от слагаемых. 

Второе свойство. Мы можем разбить кривую L на две части, такие L₁ и L₂, которые имеют общий конец, соединяющий эти две дуги, тогда интеграл по кривой L равен сумме интегралов по кривым L₁ и L₂. Свойство связанные с неравенствами. Если функция не отрицательна, то криволинейный интеграл по кривой L также неотрицателен, если меньше либо равен 0, то интеграл тоже связан с 0 этим же знаком неравенства. Когда мы рассматривали приложения определенного интеграла, то там возникли формулы для вычисления длины кривой и дифференциал кривой вычисляется по следующим формулам (см. на видео). Все зависит от того, как задана кривая, в каких координатах декартовых, полярных или параметрических.

Именно эти формулы и применяются при вычислении криволинейного интеграла первого рода. Как мы помним, там как раз возникает множитель dl в обозначении криволинейного интеграла. 

Пример (см. на видео). Вычислить криволинейный интеграл по кривой L от функций y². L эта дуга окружности, радиуса а, с центром в начале координат, которая расположена в первой четверти. И так окружность заданна параметрически (см. на видео). Вычисляя dl, мы просто глядим на задание. Посмотрите, там стоит dl, мы и вычисляем dl, раз задано параметрически, то применяем формулу и получаем а. Переходим к вычислению. Не забываем вычисление осуществляется по кривой и функция задана на кривой, значит y равно а*sin(х), подставляем, а² выносим за скобки и получаем интеграл от квадрата синуса, применяем формулы понижения степени и дальше вычислить несложно, можете выполнить самостоятельное решение задачи и сверить свои ответы. 

Мы рассмотрим еще криволинейный интеграл второго рода. Снова дана непрерывная кривая, спрямляемая, и пусть в любой точке этой кривой определена функция двух переменных P(x,y). Разбиваем кривую на конечное число частичных дуг точками M₀=А , M₁ и так далее M_n=B. На каждой частичной дуге снова выбираем точку, скажем что значение х_i это i, но сейчас ситуация такая, поглядим на ось Ox. Проекции концов частичной дуги имеют координаты x_i-1 и x_i, составим разность дельта x_i, образуем интегральную сумму, как сумму произведений значений функции P выбранных точек на дельта x_i. Шагом разбиения назовем наибольшую из величин дельта x_i.

Если существует конечный предел интегральных сумм, при стремлении шага разбиение к нулю, не зависящий ни от разбиения кривой на частичные, ни от выбора точек на этих частичных дугах, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода функции P по переменной x вдоль кривой AB. Помните, мы так же рассматривали только дельта x_i и обозначение в этом случае также связано с переменной x, на что указывает множитель dx. 

Совершенно аналогичная ситуация возникает, когда мы значение функции, в этом случае давайте рассмотрим другую функцию Q(x,y), определенную снова на дуге AB, значение функции выбранной точки M_i^* мы умножаем на дельта y_i, где y_i это проекция выбранной точки деления M_i на ось Oy. И так интегральная сумма будет иметь немножко иной вид. Переходя к пределу при стремлении шага разбиение к нулю, абсолютно аналогично мы получаем новый криволинейный интеграл, и мы говорим, что это уже интеграл по переменной y. И так, криволинейный интеграл второго рода связан с переменными. И общая ситуация приводит к интегралу, который так и называется криволинейный интеграл общего или комбинированного вида. Его запись в левой части равенства выглядит так (см. на видео), и он определяется как сумма двух криволинейных интегралов второго рода, каждый из которых соответственно по переменной x, по переменной y по кривой AB. 

Мы переходим к свойствам. Обратите внимание, что криволинейный интеграл второго рода в отличие от первого зависит от направления на кривой, поэтому если мы поменяли кривую, было от A до B, а стало от B до A, то знак интеграла поменяется на противоположный. Поэтому при вычислении криволинейных интегралов второго рода мы на кривой указываем направление. От этого зависит знак интеграла. Если начало и конец кривой совпадают точки A и B, то кривая оказывается замкнутой. Пусть это замкнутая кривая ограничивает некоторую область (см. на видео). Направление обхода называется положительным, если при движении по контуру по этой кривой ограниченная этой кривой область оказывается слева. 

На показанной картинке указанное направление положительное и в этом случае криволинейный интеграл обозначается следующим образом (см. на видео) и называется криволинейным интегралом по замкнутому контуру. По аналогии с интегралами первого рода, мы можем кривую AB разбивать точкой, и тогда криволинейный интеграл разбивается на сумму двух интегралов. Интеграл по кривой AB равен сумме таких же интегралов по кривой AC и CB. Вычисление всех криволинейных интегралов сводится к определенному интегралу. 

Давайте на примере это увидим. И так криволинейный интеграл общего вида, где L это дуга окружности, единичного радиуса с центром в начале координат, расположенная в первой четверти (см. на видео). И мы скажем, пусть направление этой кривой соответствует направлению возрастания параметра, t равные нулю соответствует точке на оси Ox и t равные π /2 соответствует точке на оси Oy этой кривой. Что мы делаем? Мы практически выполняем, то, что написано в самом интеграле. Не забываем, что мы находимся в криволинейных интегралах на кривой. А на кривой x и y вычисляются по указанным формулам , значит везде вместо x мы подставляем acos(t), везде вместо y, мы подставляем asin(t). Посмотрите, остается вычислить дифференциалы функции одной переменной, надо еще поменять пределы интегрирования от 0 до π /2, и мы получаем определенный интеграл одной переменной t на отрезке от 0 до π/2. Мы видим, подынтегральная функция здесь будет равна нулю, и интеграл равен нулю тоже.