Математика. Материалы курса

Прошлое занятие было посвящено вычислению двойного интеграла по области, которая представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Сегодня ситуация будет намного интереснее.

Итак, мы будем рассматривать случай, когда область вовсе не является прямоугольником. Как тогда поступать? Область интегрирования – область D, которая задана следующими условиями: 0 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ у ≤ 2–х. Мы получаем треугольник, не будем долго останавливаться на построении этой фигуры. Как выполнить вычисления этого интеграла? На самом деле, здесь есть не единственный способ. Все зависит от того, как мы хотим перейти к повторному интегралу.

Давайте рассмотрим первый способ, когда внешний интеграл (мы напишем) по x. Итак, ∫(x+1)dx∫ydy. Обращаем внимание, что подынтегральная функция представляет собой произведение функций одной переменной, поэтому каждый повторный интеграл содержит только одну переменную. Если бы у нас область D была прямоугольником (стояло бы число вместо 2–х), мы бы сказали, что это произведение определенных интегралов. Но, обращаю ваше внимание, что это бывает только в исключительном случае, о котором мы говорили на прошлом занятии. Здесь определенных интегралов нет.

Как расставить пределы интегрирования? Если у нас внешний интеграл по переменной x, то мы начинаем рассуждать, между какими вертикальными прямыми располагается данная фигура области интегрирования D? Мы видим, что она располагается между прямыми x=0 и x=2 – это константы. Здесь 0 – нижний предел интегрирования, верхний – 2. Строим вертикальные прямые, ограничивающие область интегрирования. Следующий шаг: переходим к границам для у. Нам надо написать пределы интегрирования. Как мы рассуждаем? Начинаем двигаться в построенной полосе в направлении, указанном осью Оу. Смотрите, на что мы в первую очередь «натыкаемся»? На прямую у=0. Если это не она, то мы напишем другое уравнение. И следующая линия – это график функции y=2–x. Это и становится пределами интегрирования – 0 и 2–x. Вычисление интеграла (см. видео). В ответе мы получаем 2. Обратите внимание еще раз: мы интегрировали так, что внешний интеграл с повторным был по переменный x.

Давайте рассмотрим еще раз этот же пример, но я хочу изменить порядок интегрирования. Я напишу внешний интеграл по у, внутренний интеграл по x. Как в этом случае мы расставим пределы интегрирования? Итак, если внешний интеграл по у, значит, всегда внешний интеграл имеет пределы числа, у – константа – это горизонтальная прямая. Мы должны построить две горизонтальные прямые, между которыми располагается область интегрирования. Они задаются уравнениями у=0 и у=2. Значит, для первого интеграла пределы интегрирования от 0 до 2. Как расставить пределы интегрирования у второго интеграла? Строим стрелочку в этой полосе в направлении, которое указывает ось Ох. Смотрим, на какую линию мы «натыкаемся» первый раз? Это ось Оу: х=0. Затем – y=2–x, еще особенность – эта линия задана уравнением y=2–x, но здесь мы считаем, что у – это независимая переменная, а x является функцией переменной y, то есть из этого уравнения у=2–x мы должны выразить х. Мы видим что, x=2–y. Пределы интегрирования для переменной х, для внутреннего интеграла – это от 0 до 2–у. Давайте опять посмотрим вычисление этого интеграла (см. видео). Посмотрите, мы получили тот же самый ответ. В этом случае, мы провели решение до конца.

Большой разницы в этих вычислениях нет, вы это видите. Какой предпочтительнее путь, трудно сказать, но в некоторых случаях становится очень важно выбрать правильно порядок интегрирования.

Давайте рассмотрим ситуацию, в которой область D треугольник, ограниченной тремя прямыми (см. видео). Давайте я попробую взять внешний интеграл по x. Я просто решила интегрировать в таком порядке. Действуем по схеме. Берем и ограничиваем. Раз внешний интеграл по х, то мы смотрим, между какими вертикальными прямыми располагается эта область. В первом случае: х=0, а во втором: х=2. Значит, пределы интегрирования – от 0 до 2. Что же будет с внутренними интегралом? Строим стрелочку, что же мы видим? В начале мы, конечно, натыкаемся на прямую у=0. А что происходит дальше? Смотрите, мы натыкаемся на некоторую функцию, давайте я напишу y=h(x), значит, я должна написать от 0 до h(x), где функция h(х) на одном отрезке задана одной формулой, на другом – другой. Что же мы сделаем? Мы должны будем разбить область интегрирования еще одной вертикальной чертой и сказать, что двойной интеграл равен сумме двойных интегралов по областям интегрирования D₁ и D₂, D₁ – это треугольник, расположенный слева от этой вертикальной прямой, а D₂  – справа. Мы вычисляли подобный интеграл в первом примере, но сейчас придется вычислять два интеграла. Вся проблема в том, что верхняя граница задана разными формулами на отрезке [0;1] и [1;2]. Давайте не будем продолжать это решение, вы для приобретения собственной уверенности можете довести это решение до конца.

А мы рассмотрим решение этой задачи вторым способом. Мы возьмем внешний интеграл по переменной y. Пока просто разнесли переменные по двум интегралам. Внешний интеграл по у, значит, пределы интегрирования – это константы, поэтому мы должны построить две горизонтальные прямые, между которыми находится область интегрирования. Нижняя граница у=0, верхняя – у=2. Пределы интегрирования: 0 и 2.

Чтобы расставить пределы интегрирования внутреннего интеграла, внутри полосы строим стрелочку в направлении оси Оx и смотрим: здесь уравнения прямых – зависимость x от у, это надо иметь в виду. Каждая прямая может быть задана по-разному. Итак, на прямой x=у, зависимость x от у, а на второй прямой – x=2–у. Получили, у и 2–у. Приступаем к вычислению интеграла (см. видео). Ответ получен: 4/3.

Чтобы разобраться, как интегрировать по произвольной области, надо, наверное, уметь решать задачи, которые часто в учебниках формулируются именно так: сменить порядок интегрирования. О чем здесь сказано? Нужно записать этот интеграл, посмотрите (см. видео), поменяв порядок интегрирования. Проблем нет на этом этапе. Проблема возникает в тот момент, когда мы хотим написать пределы интегрирования, поэтому мы вначале давайте запишем, какие получатся границы. Итак, х изменяется от 0 до 1, а границами сверху и снизу служат линии y=2х и у=2. Давайте построим эту область (см. видео). Область интегрирования выглядит следующим образом. А сейчас мы просто расставляем пределы интегрирования, глядя на эту область. С чего мы начинаем? Раз внешний интеграл по у, то мы строим две горизонтальные прямые. Они заданны уравнениями y=0 и у=2 – это пределы интегрирования для внешнего интеграла. Дальше строим стрелочку внутри, и смотрим, какие линии здесь ограничивают область – это x=0 и х=1/2у. Получили пределы внутреннего интеграла от 0 до 1/2у. Задача решена.

Последняя и наиболее интересная задача, когда область интегрирования, например, круг. Вообще наиболее общая ситуация, когда областью интегрирования является криволинейный сектор. И наша задача вычислить этот интеграл, перейдя к полярным координатам. Как мы поступаем? Итак, переходим к полярным координатам. Используем замену: х=ρcosφ, у=ρsinφ. Кроме того, чтобы не делать лишних преобразований, мы помним, что х²+у²=ρ². Тогда интеграл принимает следующий вид (см. видео). Далее мы получили стандартные интегралы, которые требуют некоторой работы и умений интегрировать. Это вам остается на самостоятельное решение.