Математика. Материалы курса

Мы начинаем вычислять двойные интегралы, и, чтобы немножко освоиться с этим понятием, мы начнем с самой простой ситуации, когда областью интегрирования является прямоугольник. Нам, конечно, понадобятся методы интегрирования, которые мы использовали для определенного интеграла, таблица интегралов, формулы Ньютона-Лейбница. Давайте начнем.

Вычислить двойной интеграл, подынтегральная функция (x+1)*ydxdy, dxdy - элемент площади, и под знаком двойного интеграла говорится, что интегрирование осуществляется по области D. Что такое D? Это множество точек плоскости (х, у), каждая из координат удовлетворяет неравенству (см. видео). Давайте построим эту область. Мы находимся в плоскости Oху, x ∈ [0; 2], x=0 - это прямая, совпадающая с осью Oy, x=2 - это другая вертикальная прямая, y=0 - это ось Ox, и y=1 - это прямая горизонтальная ( см. видео). Мы получили прямоугольник, заключенный между горизонтальными и вертикальными прямыми, давайте подпишем оси и координаты. Область интегрирования - это заштрихованная область (см. видео), это область D. Как осуществляется интегрирование? Эта ситуация особенная. В чем она является особенной? Подынтегральное выражение является функцией, является произведением двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Что мы можем сделать? Все эти символы: два знака интеграла, произведение двух функций и элемент площади можно рассматривать, как произведение – dxdy мы разнесем по двум интегралам. Внешний интеграл оставим по dx, к нему отправится функция x+1 и внутренний это ydy. Посмотрите ( см. видео), в точности все символы, которые у нас были в первоначальной записи, повторились и здесь. Если у нас область интегрирования прямоугольник, то мы и пишем, что x изменяется от 0 до 2, а y изменяется от 0 до 1 ( см. видео). Какая возникла ситуация? Каждый из этих интегралов зависит только от одной переменной, содержит только одну переменную, и переменная изменяется от числа до числа. В этом случае мы имеем дело с двумя определенными интегралами, все что нужно сделать - вычислить два определенных интеграла. Смотрим первый интеграл. Вычисляется все очевидно просто: ( см. видео). Осталось найти эти значения: ½*4=2, подставляем вместо x 2, плюс 2 получаем (2+2) и здесь, подставляя 1, получаем 1/2. Ответ получен ( см. видео). Обратите внимание, что двойной интеграл становится произведением двух определенных интегралов только в том случае, если подынтегральная функция является произведением функций одной переменной, и каждая из переменных изменяется от константы до константы, область интегрирования прямоугольник.

Вторая задача. Обратите внимание, что запись интеграла немножко отличается. Область интегрирования не является особо замысловатой. Часто под знаком двойного интеграла сразу пишут, что это за область. Здесь знаком прямого произведения соединены 2 отрезка, это означает, что это – прямое произведение отрезков, а это означает, что здесь опять мы имеем дело с прямоугольником: x ∈ [0, 1], y ∈ [1, 2]. Каждая переменная изменяется от числа до числа - это прямоугольник. Построить этот прямоугольник, еще раз: прямое произведение отрезков – это прямоугольник, x ∈ [0, 1], y ∈ [1, 2]. Предлагаю решить эту задачу двумя способами: используя, во-первых, правило, вернее свойство двойного интеграла – свойство линейности. Давайте я напишу первый способ ( см. видео): обозначим область D, чтобы не переписывать, у второго интеграла выносим 2, для него выполняются те же свойства, что для определенного интеграла. Получилось, конечно, в таком обобщенном виде. Дальше как раз получилось та же ситуация, что была в первом примере: мы имеем в каждом из этих интегралов произведения двух определенных. Смотрите ( см. видео). Осталось выполнить вычисления. Вычисление первого интеграла (см. видео). Получилось -2,5. Это первый способ.

Давайте мы сейчас посмотрим, как мы вычислим этот же интеграл вторым способом. Мы запомнили ответ – -2,5. Второй способ: мы не будем разбивать на два интеграла, а будем вычислять так, как есть. Тут мы выражение x-2y оставим под внутренним интегралом, x ∈ [0, 1], y ∈ [1, 2]. Вычисление начинается с внутреннего интеграла. Давайте выполним это отдельно, а потом вернемся к тому, что имеем. Интеграл от 1 до 2, (x-2y)dy. Что мы должны иметь ввиду? Что здесь под знаком дифференциала указана переменная y, и x является константой, это некоторое число, значения которого вообще нам не важно на этом этапе. Значит, интеграл от константы это xy, чтобы не путаться, помним, что это y ∈ [1, 2], можно даже подписать, какая переменная ( см. видео), а здесь минус интеграл, тут переменная совпадает с переменной интегрирования, получаем –y², здесь тоже можно написать от 1 до 2. Считаем: (см. видео) x-3. Возвращаемся к интегралу. Мы видим, внутренний интеграл от x-3, и эта функция становится подынтегральной. Начинаем вычислять интеграл от x: это ½*x², давайте сразу напишем пределы интегрирования от 0 до 1, вычитаем 3*x от 0 до 1. Подставляем: (см. видео) 1/2-3=-2,5. Мы получаем тот же самый ответ ( см. видео), что получили первым способом.

Переходим к следующему примеру. Здесь еще новшество в обозначении множества области интегрирования. Посмотрите, это квадрат отрезка – декартов квадрат. Это значит, обе переменные удовлетворяет неравенству, находятся между 0 и π/2, то есть x ∈ [0, π/2], и y находится в этом же отрезке. Не будем строить квадрат с такими сторонами. Давайте сразу перейдем к интегрированию.

Здесь вообще первый способ неприменим, потому что свойства интеграла применить нельзя так, как нет свойств, позволяющих нам разбить данный интеграл на два интеграла. Поэтому мы сразу перейдем к повторному интегралу. Вот тут немного поменяем порядок интегрирования ( см. видео), и сразу обращаю ваше внимание: не обязательно внешний интеграл – интеграл по dx, а внутренний – по dy. Можно поменять порядок интегрирования, вычисление от этого не меняется, вот тут мы по-другому решили. Давайте мы сразу посмотрим интеграл от sin. Вычисляем внутренний интеграл по переменной x, y – константа. Интеграл от sin = -cos. Напишем: -cos(x+y), где пределы интегрирования x изменялись, давайте тоже подпишем, чтобы не путаться, от 0 до π/2. Смотрите, это вычисление относится к внутреннему интегралу, вот этот внутренний интеграл, интеграл от 0 до π/2, sin(x+y), его вычисления находится здесь. От внешнего интеграла у нас остается еще dy ( см. видео).

Этот способ оформления записи можно начинать с вычисления внутреннего где-то отдельно и потом подставить, а можно, если вычисление не кажутся слишком громоздкими, вычислять сразу здесь. Давайте подставляем вместо x π/2, и здесь пределы интегрирования 0 до π/2. Смотрим, вместо x подставляем π/2, минус я здесь напишу перед интегралом, в верхней точке cos(y+π/2). В нижней точке вместо x подставляем 0, получаем cos(y) dy, y изменяется от 0 до π/2. Минус, вычисляем интеграл от cos интеграл от cos это sin, константа нам не мешает, ее мы всегда можем нести под знак дифференциала. Вспоминаем методы интегрирования: -sin(y+π/2), пределы интегрирования y от 0 до π/2, здесь минус и еще раз минус, будет плюс. Табличный интеграл от cos – это sin(y), y изменяется от 0 до π/2. Давайте считать: -(sin (π) – sin (π/2)) + sin (π/2) – sin 0. sin (π) и sin 0 это 0, а sin (π/2) = 1. Что получилось: 1+1=2. Задача решена.

Интегрирование осуществляется по прямоугольной области, которая задана вот таким описанием ( см. видео). Это ещё один способ записи области D. Можно указать произведение отрезков – прямое или декартово произведение. Можно написать систему двух неравенств, а можно описать, как множество точек плоскости. Давайте посмотрим: внешний оставим интеграл по dx, для вычисления внутреннего, это видимо интеграл от степенной функции, мы напишем в (х-у)^-2dy, x изменяется от 1 до 2, y изменяется от 3 до 4 ( см. видео). Выпишем внутренний интеграл отдельно. (См. видео) Что мы сейчас сделаем, чтобы можно было применить формулы интегрирования? Мы должны внести под знак дифференциала (x-y). Посмотрите, при этом знак меняется на противоположный ( см. видео). Первый интеграл равен разности дробей: 1/(x-4) – 1/(x-3).

Сейчас мы перейдем к исходному интегралу: вместо внутреннего интеграла пишем выражение, которое мы только что получили ( см. видео). Не будем повторять, как мы получаем, первый интеграл – это ln |x-4| от 1 до 2, а второй интеграл – это –ln |x-3| от 1 до 2. Вычисляем: ln 2 – ln 3 – (ln 1 – ln 2) = 2*ln 2 – ln 3. Это и есть окончательный ответ.