Математика. Материалы курса

 

 

Эту лекцию мы посвятим вычислению двойного интеграла. Мы его уже определили, свойства знаем. Как узнать значение двойного интеграла? Это число, предел интегральных сумм.

Перейдем к теме вычисления.

Во-первых, область интегрирования может быть совершенно разным множеством в плоскости XOY. Самый простой случай, когда область D это прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Как описать это множество точек на плоскости?

Давайте посмотрим разные способы задания.

Во-первых, как характеристическое свойство множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (смотреть на видео).

Во-вторых, это декартово произведения двух отрезков (смотреть на видео).

В-третьих, мы задаем систему неравенств (смотреть на видео).

Итак, интегрирование по прямоугольной области. Давайте рассмотрим первую теорему: функция двух переменных f(x, y) определена на такой области D. Что мы про нее знаем: она интегрируема по области D, то есть существует двойной интеграл, равный числу, кроме того, важнейшие условие, пусть для любой точке x из фиксированного отрезка [a, b] существует определенный интеграл. Под знаком интеграла уже в этот момент находится функция одной переменной y, который изменяется от c до d, и интеграл при этом - это функция переменной x, это тоже условие есть. В этом случае двойной интеграл равен интегралу от полученной функций и от x на отрезке [a, b].

Итак, двойной интеграл сводится к вычислению определенных интегралов. Что же в результате получаем: данный интеграл от функции I(x) это интеграл от интеграла, который мы записываем следующим образом (смотреть на видео) и называем повторным интегралом от функций f(x, y).

Таким образом, заключение теоремы можно написать так: двойной интеграл функции f по прямоугольной области D, при выполнении условий теоремы, равен повторному интегралу.

Обратите внимание: внешний интеграл у нас здесь по переменной x изменяется от a до b, внутренний интеграл по переменной y, и пределы интегрирования числа c и d.

Оказывается, эту теорему можно сформулировать. Аналог для неё и внешний интеграл взять по y. Что мы тогда требуем у вас в условиях теоремы, кроме существования двойного интеграла: для любого у из отрезка [c, d] существует определенный интеграл уже функции одной переменной x, соответственно отрезка [a, b], который является функция переменной y. Двойной интеграл снова равен определенному интегралу от этой функции, и в результате мы получаем повторный интеграл с другим порядком интегрирования.

Эти теоремы (1-2) можно обобщить следующим образом: при условии выполнения пунктов, того, что нам дано, двойной интеграл равен каждому из повторных интегралов.

Очень важно рассмотреть важные случаи, потому что он приводит к совсем простому вычислению: если функция двух переменных является произведением двух сомножителей, значения вычисляются как произведение дух сомножителей, каждый из которых содержит только одну переменную.

Интегрирование снова осуществляем по прямоугольной области. Давайте посмотрим: перейдем к повторному интегралу, внешний интеграл по x. Что мы видим: внутренние функции внутреннего интеграла h(x), g(y). h(x) во внутренними интеграле является константой, поэтому мы можем вынести за знак определенного интеграла с пределами интегрирования c, d. Что мы получаем: выносим, но интегралы эти содержит только одну переменную x и пределы интегрирования – это числа, и двойной интеграл превращается в произведение двух определенных интегралов на отрезках (смотреть на видео).

Наиболее сложный, наиболее интересный случай, когда интегрирование осуществляется по области, не являющейся прямоугольной.

Рассмотрим два случая: нам заданы две функции переменной x, график y₁(x) расположен ниже графика y₂(x). Эти функции непрерывны на отрезке [a, b], и мы получаем фигуру, область интегрирования, границами которой служат графики этих функций, а также вертикальные прямые x=a, x=b. Мы говорим, что это область - правильная в направлении оси Oy. Что мы имеем в виду: любая вертикальная прямая, расположенная между границами x=a, x=b, пересекает эту область не более чем в двух точках, на входе и на выходе, по отрезку, иногда он вырожденный.

Как в этом случае звучит теорема: снова двойной интеграл существует, выражен числом и для любого x мы требуем: существует определенный интеграл с пределами интегрирования от y₁(x), это нижняя граница области, до y₂(x), верхняя граница области. Тогда, двойной интеграл вычисляется как повторный. Посмотрите (смотреть на видео).

Второй случай, когда область D ограничена двумя горизонтальными прямыми y=c и y=d, кроме того слева и справа графиками функций x₁(y) и x₂(y). Эта область является правильной в направлении оси Ox. Почему: любая горизонтальная прямая, расположенная между уже отмеченными, пересекает эту область по отрезку, иногда вырожденным.

Обратите внимание (смотреть на видео), на этом рисунке область не является правильной в направлении оси Oy. Смотрите, найдется такая вертикальная прямая, которая будет пересекать эту область не по отрезку, а по множеству, являющемуся объединением двух отрезков с пустым пересечением.

Формулировка теоремы звучит аналогично: двойной интеграл существует и, кроме того, интегрируемые функции по отрезку [x₁(y), x₂(y)] при каждом фиксированном значении y из отрезка [c, d], тогда двойной интеграл равен повторному.

Давайте рассмотрим пример (смотреть на видео), мы не будем вычислять этот двойной интеграл, потому что функция f здесь задана в таком общем виде – просто функция двух переменных. Для нас сейчас важно составить повторные интегралы.

Область D ограничена прямыми, давайте построим эти прямые (смотреть на видео). Мы получаем треугольник.

Давайте решим эту задачу двумя способами: составим повторные интегралы с разными порядками интегрированием.

Итак, первый способ: когда внешнее интегрирование - по переменной x. Что надо запомнить: внешний интеграл всегда имеет пределами интегрирования числа, без всяких исключений. Итак, переменная х должна изменяться от числа до числа. Как мы поступаем? Первый шаг: мы определяем пределы внешнего интеграла, как изменяется переменная x, от какого числа, до какого, строим вертикальные прямые, которые ограничивают область интегрирования. У нас возникли две прямые x=0, x=2. Это пределы внешнего интеграла. Дальше определяем пределы внутреннего интеграла. Проводим вертикальную прямую между уже построенных и видим: снизу это вертикальная прямая будет пересекаться по зеленой линии, а верхняя - по синей, на этом рисунке (смотреть на видео). И в чем проблема: график нижней функций задан разными формулами на разных промежутках, поэтому логично область интегрирования разделить на две части. Вот здесь именно граница этих частей и построена (смотреть на видео), и мы можем воспользоваться свойством двойного интеграла: интеграл по области D равен сумме интегралов по областям D₁ и D₂, на которые разбивается область D. Итак, область D₁ это первая часть, треугольника весь у нас разбит на две части, а D₂ это вторая часть этого треугольника. Посмотрите: для области D₁ мы повторим эти два шага, и для области D₂ мы повторим эти два шага. Поэтому мы глядим на эту картинку (смотреть на видео): по области D₁ внешние пределы интегрирования. Между какими вертикальными прямыми расположена область D₁: x=0 и x=1. Внутренние пределы интегрирования: нижняя линия y=0, y=x, это для области D₁.

Переходим ко второму интегралу: область - вторая часть большого треугольника, расположена между вертикальными прямыми x=1, x=2. Отмечаем внешне пределы интегрирования и дальше переходим к внутренним пределам, это две прямые. Итак, нижний предел y=x-1 и верхний предел y=x. Задача решена.

Давайте второй способ рассмотрим: если внешнее интегрирование по переменной y, помним, y изменяется в этом случае от константы до константы. Как найти эти константы: строим горизонтальные прямые, между которыми расположена область D. Мы видим: появились две прямые y=0, y=2, 0 и 2 это пределы интегрирования. Следующий шаг: определяем пределы внутреннего интеграла, при этом мы двигаемся слева направо по области D. В первый раз мы наталкиваемся на прямую x=y, здесь x выражаем через y, x становится функцией переменной y, а потом, двигаясь вправо, еще раз натыкаемся на следующую прямую x=y+1, и в результате мы получаем двойной интеграл. Двойной интеграл равен повторному.

Посмотрите, решение одной и той же задачи без вычисления определенных интегралов приводит к разным результатам. В первом случае двойной интеграл равен сумме двух повторных, а во втором - всего один интеграл, поэтому насколько рационально, насколько быстро вы решаете задачу, зависит от того, как вы увидели путь решения этой задачи. Поэтому каждый раз стоит подумать внимательно, что это за область и как рациональнее решить переход к повторному интегралу.

И еще важный вопрос: как осуществить замену переменных в двойном интеграле. Итак, пусть переменные x и y в данном интеграле (смотреть на видео) связаны с новыми переменными u и v системы функции звездочка (смотреть на видео). Для того чтобы осуществить замену переменных, вообще говоря, нужны некоторые условия, которые мы не будем обговаривать, поскольку при решении задач мы имеем дело, как правило, с непрерывными хорошими функциями, и все условия эти бывают выполненными. Формула перехода к новым переменным u и v осуществляется по формуле (смотреть на видео). Посмотрите, что мы делаем в двойном интеграле:  в функции f(x, y) x и y заменяем в соответствии с системой (*): вместо dxdy появляется dudv, но это не все. Посмотрите, здесь появляется множитель |I(u, v)|,  который называется Якобианом отображения (*) - это функциональный определитель, который составляется из частных производных функций x и y по переменным u и v (смотреть на видео). Двойной интеграл уже берется по области D*, который получается при отображении системы функции (*).

Давайте разберем конкретный пример, новые переменные это ρ и φ. Итак, переход от декартовых координат к полярным новым переменным ρ и φ. Мы знаем формулу связи. Для того чтобы осуществить замену нам нужно вычислить Якобиан. Вообще говоря, какой геометрический смысла Якобиана, если dxdy эта ячейка площади, элемент площади, то Якобиан это коэффициент искажения при переходе к новым координатам. Посмотрите, вычисляя частные производные и затем определитель, мы получаем ρ (смотреть на экран). В таком случае, кроме замен x и y на ρcos φ, ρsin φ, dxdy -   dρfφ, появляется еще множитель ρ. Элемент площадь dxdy переходит в элемент площади, это надо запомнить, ρdρdφ.

Снова давайте рассмотрим пример, как перейти к полярным координатам без вычислений f(x, y), функции двух переменных. Давайте зададим область D, это часть круга единичного радиуса с центром в начале координат, которая лежит в первой четверти (смотреть на видео). Снова два этапа: внешнее интегрирование при переходе к полярным координатам, мы, как правило, стандартно берем по переменной φ. φ должно изменяться от константы до константы. φ равно константе - это луч, это уравнение луча с центром в полюсе, в полярной системе координат, и под углом φ расположены.

Так, чтобы расставить пределы интегрирования, мы должны построить два луча, выходящие из точки начала координат, между которыми расположена область интегрирования. Посмотрите, мы четко видим, что эта область расположена между лучами φ=0, φ=Π/2, это внешне пределы интегрирования. Следующий этап, как написать внутренние пределы интегрирования: построим произвольный луч, который расположен между построенными на первом шаге, и смотрим, этот луч пересекает область D в каких точках. Первая точка ρ=0, это полюс, а вторая точка на окружности радиуса единицы, она задана уравнением ρ=1. Значит, числа 0 и 1 становятся пределами внутреннего интеграла. Вначале переходим к двойному интегралу по формуле перехода, x и y заменяем на ρcos φ, ρsin φ, элемент площади dxdy  заменяем на ρdρdφ. Дальше переход к повторному интегралу: внешний интеграл dφ, пределы интегрирования из первого шага 0, Π/2 и для внутреннего интеграла 0, 1 (смотреть на видео). Задача решена.