Математика. Материалы курса

Двойной интеграл

Лекция посвящена двойному интегралу. Это в некотором смысле обобщение определенного интеграла. Такое понятие мы рассматривали для функции одной переменной, определенной на отрезке. И так начнем с задачи, приводящей к понятию двойного интеграла.

Пусть функция непрерывна и не отрицательна на замкнутой ограниченной области D, как правило, область D рассматривается односвязной. Появляется тело в трёхмерном пространстве. Что оно из себя представляет? Снизу оно ограничено плоскостью XOY, сверху графиком функции f. Помним, что функция не отрицательна, значит, график расположен выше плоскости XOY, а с боков возникает цилиндрическая поверхность, которая проходит через границу области D в плоскости XOY, образующиеся параллельные оси Оz, такое тело мы будем называть криволинейным цилиндром.

Задача, которая приводит к определению двойного интеграла, это вычисление объема криволинейного цилиндра. Решим эту задачу. От чего мы будем отталкиваться? Мы будем считать, что объем прямого цилиндра нам хорошо известен, объем кругового цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Как отталкиваться от этого понятия? И что мы будем делать? Разобьем область D, которая лежит в плоскости XOY, непрерывными кривыми на частичные ячейки, частичные области D_i и будем считать, их получилась n. Введем обозначение дельта S_i это площадь этой ячейки, λ (лямда)_i это диаметр i-той ячейки. Диаметр это наибольшее из всевозможных расстояний между парами точек, принадлежащих этой ячейке, и λ это наибольший из диаметров всех ячеек называем диаметром разбиения. Возьмем произвольную точку (x_i, y_i) в этой частичной ячейке и построим прямой цилиндр. Что такое прямой цилиндр? Это цилиндрическое тело, у которого верхнее и нижнее основание параллельны. Основанием этого цилиндра является ячейка D_i, высота цилиндра равна значению функции в точке (x_i, y_i). Объем такого цилиндра вычисляется по формуле произведение площади основания на высоту. Тогда объем нового тела, составленного из прямых цилиндров разной высоты, равен сумме объемов этих частичных цилиндров. И так получили конечную сумму. Понятно, что если диаметр разбиение стремится к нулю, ячейки становится все мельче и мельче, объем этого сложно составленного тела будет стремиться к объему криволинейного цилиндра.

А сейчас давайте повторим эти же самые рассуждения для функции f. Не обязательно, что бы функция являлась непрерывной или же ограниченной, но она должна быть определена на замкнутой ограниченной области D. Снова разобьем область на частичные ячейки, возьмем точки (x_i, y_i) и составим сумму сигма следующим образом (см. на видео). Такая сумма называется интегральной суммой функции f, составленной для данного разбиения области на частичные ячейки и выбора точек (x_i, y_i). Если существует конечный предел этих интегральных сумм при стремлении диаметра разбиение лямда к нулю, и этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные и нет выбора точек (x_i, y_i), то значение этого предела называется двойным интегралом функции f на области D, а функции называется интегрируемая по области D. Значение этого предела обозначается следующим образом (см. на видео) обозначения двойного интеграла (см. на видео), D называется областью интегрирования, подынтегральная функция двух переменных (см. на видео), а вот множитель в конце записей dxdy или иногда для краткости обозначаем ds называется элементом площади.

Рассмотрим небольшой пример. Вычислить двойной интеграл по области D от функций тождественно равной единице dxdy. Подынтегральная функция константа равна единице. Интегральная сумма в этом случае представляет собой сумму площадей частичных ячеек, а суммарная площадь – это площадь области D каждый раз равная S и если лямда стремится к нулю, предел тоже равен S. Таким образом, двойной интеграл по области dxdy равен площади области D.

Теорема «Необходимое условие интегрируемости». Если функция интегрируема по области D, то она ограничена на ней.

Точно такая же теорема формулировалась для определенного интеграла, если функция y = f (x) интегрируема на отрезке, то она ограничена. Абсолютный аналог и те же самые предостережения, что обратная теорема неверна.

Из ограниченности функций не следует интегрируемость. И достаточное условие, которое нам дает класс интегрируемых функций. Любая непрерывная функция на области D, где D замкнуто и ограничено, интегрируема по этой области.

Свойства двойного интеграла практически повторяет свойства определенного интеграла с некоторой спецификой. Свойство линейности, оно было у нас, оно означает выполнение двух условий 2. Свойство, которое называется однородностью, когда мы можем выносить постоянный множитель за знак двойного интеграла и второе свойство аддитивности: двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов этих функций. Следующие свойство, если область D разбито на две области D₁, D₂, причем эти новые области не имеют общих внутренних точек, то интеграл по области D можно представить как сумму двойных интегралов этой функции по областям D₁ и D_{2 .}

О свойствах двойного интеграла, связанных с неравенствами. Если функция не отрицательно на D, то и двойной интеграл тоже больше либо равен нулю, если меньше либо равна функция на D, то и двойной интеграл меньше либо равен нулю.

Что такое среднее значение функции, когда она не константа и значение бесконечно много? Об этом говорит следующая теорема, если функция f непрерывна на замкнутой и ограниченной области D, то существует точка x₀ в этой области, значение в которой вычисляется следующим образом: двойной интеграл по области на площади области D. Это значение и называется средним значением функции в области D.

Приведем несложное доказательство.

Снова вспомним теорему, если функция непрерывна на замкнутой ограниченной области, то она имеет на нем наибольшее и наименьшее значение m и M. И так m это наименьшее, M это наибольшее значение функции. Применим свойства интеграла, связанные с неравенствами, проинтегрируем. Дальше свойства линейности вынесем m и M за знак двойного интеграла и вспомним, что двойной интеграл dS равен площади области D, тогда слева и справа мы получаем m площадь D слева, справа M умноженная на площадь области D. Разделим на площадь области D и получаем следующее неравенство (см. на видео).

И опять свойства непрерывных функций на замкнутой и ограниченной области аналог теорем о свойствах функций непрерывных на отрезке. Существует точка области D, в которых значение (см. на видео) в середине двойного неравенства является значением функции. И так значение функции в точке x₀ вычисляется по указанной формуле (см. на видео).

Попутно мы установили еще одно свойство. В ходе доказательства теоремы появилась формула, которая позволяет нам сделать оценку двойного интеграла. Если функция непрерывна на замкнутыми ограничен на множестве, то двойной интеграл по области D удовлетворяет следующим неравенствам (см. на видео).