Математика. Материалы курса

Тема лекции продолжает изучение экстремумов функции двух переменных и звучит немного иначе «Наибольшее (наименьшее) значение функции двух переменных в замкнутой области».

Пусть функция двух переменных определена на некоторой замкнутой ограниченной области G подмножество R^2. Давайте немножко остановимся. Что же такое область G, замкнутая и ограниченная? (Область находится на координатной плоскости ХОУ.) Это означает, что каждая граничная точка принадлежит этой области. А ограниченность означает, что мы можем закрыть эту область некоторым кругом, и область G будет полностью содержаться в этом круге.

Чаще всего мы рассматриваем односвязные области. Такое множество обладает свойством: какие бы две точки мы не взяли, найдется кривая, соединяющая эти точки, целиком лежащая в области G. Итак, давайте разбираться. Почему же существует наибольшее и наименьшее значение функции в области G?

Тут давайте вспомним важный материал для функции одной переменной. Мы помним свойство функции, непрерывной на отрезке: если функция непрерывна на отрезке, то принимает на нем наибольшее (наименьшее) значение. Оказывается, замкнутые ограниченные области для функции двух переменных выполняют ту же самую роль.

И справедлива теорема: если функция непрерывна на замкнутой неограниченной области, то она принимает на ней наибольшее (наименьшее) значение.

Итак, наибольшее значение есть, и наименьшее значение тоже есть. Пусть М₀ – та точка, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Какие возможные ситуации? Что М₀ - точка экстремума функции, а может оказаться, что это совсем не так, и это тот случай, когда М₀ – граничная точка области G. Давайте посмотрим эти две ситуации. Если М₀ – внутренняя точка области G, то это точка экстремума, но если это граничная, то это может быть, вовсе, и не точкой экстремума. Тогда возникает следующая схема. Во-первых, мы находим стационарные точки функции, которые принадлежат области G, иные нас просто не интересуют, и вычисляем значения функции в этих точках. Затем мы переходим к границам области G, и там, мы видим, возникает функция одной переменной, для которых исследование на наибольшее (наименьшее) значение происходит по известной схеме. Ну а затем мы вычисляем все значения в стационарных точках, найденных в пунктах 1 и 2. В первом случае, правда, это точка для функции двух переменных, а в пункте два это стационарные точки для функции одной переменной. Вычисляем значения, выбираем наибольшее (наименьшее).

Лучше всего рассмотреть это на задаче. Итак, функция двух переменных задана (см. видео), и область, ограниченная координатными осями, оси ОХ, ОУ, и прямой, лежащей в плоскости ХОУ. Начинаем с того, что строим область. Итак, видим, это треугольник, лежащий в третьей координатной четверти. Ну и перейдем к реализации схемы. Во-первых, находим стационарные точки функции, вычисляем частные производные, приравниваем к нулю, получаем решение -2 и -1. Стационарная точка К(-2, -1), очевидно, принадлежит треугольнику. И значение в этой точке вычисляем, подставляя в z, в зависимости от х, у. Точка К найдена.

Ну давайте вершины треугольника обозначим точками А и В, потому что следующим этапом мы перейдем к исследованию функции на границах области. Так, три стороны у треугольника, три границы, начинаем со стороны АО. Разбираемся, как задается граница. Ось ОХ, у=0, х принимает значения из отрезка от -5 до 0. Подставляя в значение z, в зависимости от х и у, у=0, мы получаем функцию одной переменной на отрезке. Применяем для исследования на наибольшее (наименьшее) значение функции одной переменной, заданной на отрезке, схему решения. Находим производную, она равна 0, если х=-1,5. Переходим к отрезку, находим значение в точке А, это 41. В точке, в которой мы нашли на отрезке АО, мы ее выделили на рисунке, значение -1,25, и в точке О значение 1. Давайте перейдем к следующей стороне АВ треугольника АОВ. Эта сторона – это часть графика линейной функции у=-х-5, где х принадлежит отрезку [-5, 0]. Подставляем у, в выражение, которое задает функцию. Получаем снова функцию одной переменной на отрезке [-5, 0]. Снова находим производную, стационарная точка этой функции -3,25. Посмотрите, на стороне АВ в точке А мы уже значение вычислили. Следующую точку, мы ее отметили, х=-3,25, у находим, это -1,75. Вычисляя значение, функции получаем -1,25, и значение в точке В 41. И наконец, перейдем к отрезку ОВ. Здесь х=0, и у принадлежит отрезку [-5, 0]. Подставляя, получаем функцию одной переменной на отрезке [-5, 0]. Стационарная точка -0,5. Посмотрите, на отрезке ОВ в точках О и В значения мы уже вычисляли, нет необходимости повторяться, поэтому осталась только одна точка с координатами (0, -0,5), вычисляя значение, получаем.

Сейчас последний этап исследования. Вот те значения (см. видео), которые мы нашли во всех точках, на всех этапах решения. Давайте выберем наибольшее (наименьшее). И видим, в точках К(-2, -1) – значение наименьшее, и в точках А и В – это наибольшее значение.

Вывод: наибольшее значение функции 41, наименьшее -3. Задача решена.