Математика. Материалы курса

Тема занятия: «Производная по направлению, градиент». Во-первых, давайте еще немного осмыслим эти понятия, они появились только для функции нескольких переменных. Для функции одной переменной такого понятия мы не встречали, кроме того, что производную по направлению у нас уже была, когда рассматривали частные производные по х, по у. Оказывается, производная по х – это производная по направлению оси Ох, а частная производная по переменной у – это производная по направлению оси Оу.

Так, давайте перейдем к решению задач.

Найти производную функции в точке по направлению к другой точке. В начале давайте построим эти точки, что они из себя представляют. Возьмем точку с координатами (1, 2), давайте мы ее обозначим М нулевое, а это точка М. Итак, М нулевое имеет координаты (1, 2), и точка М имеет координаты (2, -5). Соединим вектором, это и есть направление l. Надо найти значение производной в точке М нулевое по направлению l. Как вычисляется dz по dl в точке М нулевое? Формула такова: (см. видео) Нам нужны 4 числа, что есть что? Значение частных производных в точке М нулевое мы, понятно, найдем. Что такое косинус альфа, косинус бета? Это координаты единичного вектора, сонаправленного с направлением дифференцирования, с вектором М нулевое М. так, давайте по порядочку это будем находить. Так, z’ по х в произвольной точке 2х-3у, z’ по у = 3х+2у, z’ по х в точке М нулевое -4, z’ по у в точке М нулевое это 7.

Два числа мы уже нашли, давайте разбираться с единичным вектором. Во-первых, вектор М нулевое М имеет координаты (1, -7). Давайте посмотрим, вдруг он единичный и есть. Длина вектора М нулевое М равняется корень квадратный из суммы координат, корень из 50, пять корней из двух. Очевидно, вектор не единичный. Как мы получим единичный вектор? Очевидно, нужно разделить координаты вектора М нулевое М на длину. Итак, первая координата – единица, деленная на пять корней из двух, вторая координата – минус семь, деленных на пять корней из двух. Это и есть косинус альфа, косинус бета, координаты единичного вектора.

Возвращаемся к вычислению производной по направлению. Итак, dz по dl в точке (1, 2) (см. видео). Задача решена.

Задание: найти градиент функции в точке. Обратите внимание, задача звучит немного иначе, потому что u здесь функция трех переменных, градиент функции трех переменных. Мы рассмотрели на лекции понятие градиента двух переменных, оказывается, мы можем это обобщить на любое конечное число переменных, больше либо равное двум. И градиент – это вектор, имеющий три координаты: u’ по х, u’ по у, u’ по z в том случае. Градиент в точке, значит, мы будем находить значения частных производных в точке. Давайте найдем u’ по х, это 2х+уz, u’ по у = хz и, наконец, u’ по z = ху. Производную u’ по х в точке (1, 2, 3) считаем, подставляя, получили 8, u’ по у в точке (1, 2, 3) это произведение х и z, это 3, u’ по z в точке (1, 2, 3) это 2. И все, дальше ответ: градиент функции u в точке (1, 2, 3) – это вектор с координатами (8, 3, 2). Этот вектор указывает направление наибольшего возрастания функции.

Иногда направление указывается самым неожиданным образом, иногда указывается по направлению к какой-нибудь прямой, иногда, как здесь, направление биссектрисы первого координатного угла.

Давайте сделаем рисунок, чтобы у нас наступила ясность с этой ситуацией. Итак, в точке М нулевое с координатами (0, 1) по направлению биссектрисы. Значит, мы будем вычислять по направлению, которое указывает биссектриса первого координатного угла. Можно по-разному находить координаты единичного вектора. Я буду считать, что это и есть единичный вектор. Единичный вектор – это значит, что эта точка лежит на единичной окружности, следовательно, косинусы углов, а можно просто косинусы найти, углы =π/4, это корень из 2 разделить на 2, корень из 2 разделить на 2 – координаты этой очки.

Значит, нам остается для нахождения производной по направлению найти только частные производные в точке (0, 1). Давайте так и напишем z’ по х в точке (0, 1), это 2 при х=0 и у=1, понятно, что это 2. Так, z’ по у в точке (0, 1), я вас заодно знакомлю с обозначениями, как можно вычислять, это производная sin2y опять в точке (0, 1) мы получим sin2. Тогда, производная по направлению dz по dl в точке (0, 1) вычисляется каким образом? (см. видео) Задача решена.

Вот здесь уже немножко сформулировано так, чтобы вы знали, что такое градиент, в точке (2, 1) указать градиент наибольшего возрастания функции. Направление наибольшего возрастания указывает как раз градиент, вектор, координаты которого равны значению частных производных.

Итак, найдем z’ по х в точке (2, 1) = 1+у, при х=2, у=1 это 2, z’ по у в точке (2,1) = -2+х+10у, при х=2, у=1 получилось 10.

Итак, следующее задание – найти производную в этом направлении. Посмотрите, вектор градиента и единичный вектор совпадают. Тогда, давайте мы посмотрим, чему равняется скалярное произведение двух векторов а и е, это длина вектора а на вектор е, длина которого 1, и на косинус угла между ними, cos0=1, мы получили длину вектора а. Итак, производная по направлению градиента равна длине вектора градиента. Градиент z в точке (2,1) это вектор с координатами (2, 10). Вот мы получили результат. Производная по направлению, которое указывает градиент в точке (2,1) – это длина этого вектора. Значение производной по направлению градиента равно два корня из 26 (см. видео). Задача решена.