Математика. Материалы курса

О чем интересном сегодня пойдет речь? О дифференцировании сложной функции и функции, заданной неявно. Такие понятия мы встречали и для функции одной переменной.

Итак, что же такое сложные функции? Во-первых, нам дано конечное множество функций, мы их записали в систему, каждая из них является функцией m переменных (t₁…t_m), и мы будем считать, что они дифференцируемы в точке с верхними индексами 0, мы ее обозначили t⁰. Дифференцируема, значит, у них существуют дифференциалы в этой точке. А функцию f мы рассматриваем как функцию переменных (x₁…x_n) и будем считать, что она дифференцируема в точке (x₁⁰…x_n⁰), где эти числа определяются как значения функции системы в точке t⁰. Итак, функция f также дифференцируема, то есть у нее тоже есть дифференциал.

Что же тогда представляет собой сложные функции? Это z=f(x_1,…x_n), где каждой из этих переменных – это функция переменных (t₁…t_m), то есть z зависит уже от переменных t. Это сложная функция, полученная с помощью функции f и с помощью функций системы. Что мы пытаемся сейчас установить? Что это сложная функция также будет дифференцируема в точке t⁰. И наша задача найти формулу дифференциала этой функции.

Итак, по условию z, как функции f(x_1,…x_n), дифференцируема в точке, значит в этой точке существует дифференциал, формула его нам хорошо известна. Это частные производные по каждой переменной умножаются на дифференциал этой переменной и находим сумму n на слагаемых. Все функции системы также дифференцируемы в точке t₀, значит, дифференциалы этих функций также существуют и вычисляются по соответствующим формулам. Здесь каждый дифференциал представляет собой сумму m слагаемых. Значит, z оказывается функцией переменной (t_1,…t_m), подставляя вместо значений частных дифференциалов в скобочки значений дифференциалов переменных (x₁…x_m) (то что мы только что записывали), получаем следующее выражение: раскроем скобки, и мы увидим, что есть n слагаемых, содержащих множитель dt₁, группируем эти слагаемые, также слагаемые, содержащее множитель dt_2, и группируем слагаемые, содержащие дифференциал переменной t_m. Что мы получаем? Выражение, содержащее m слагаемых. Но мы знаем формулу дифференциала. Множитель перед дифференциалом t₁ – это значение частной производной z по t₁. Следующая группа слагаемых в скобках образует дифференциал z по переменной t₂ и т. д. И мы можем результате записать значения частных производных по каждой переменной.

Давайте разберемся более детально на не таком сложном примере. Пусть z – это функция переменных x и y. В свою очередь x и y – это функции переменных u и v. Мы получаем результате сложную функцию, где z – это зависимая переменная, а независимые переменные u и v. Как найти частные производные z(u,v). Давайте нарисуем такую диаграмму. Посмотрите, нам будет проще пользоваться формулой: z зависит от x и y, в свою очередь, каждая из этих переменных зависит от u и v. Смотрите, если мы хотим дифференцировать z по u, то к переменной u от z у нас есть две дорожки (через x и y). Посмотрите, как мы обозначаем эти дорожки (см. видео). Тогда частные производные ∂z по ∂u как раз формируется из этих обозначений: верхняя дорожка дает нам 2 сомножители + перемножаем 2 сомножителя по 2 дорожке. Точно также если мы будем дифференцировать по v, то изменится только на последнем этапе переход от x к v: от y к v будет ∂x по ∂v, ∂y по ∂v. И формула запишется аналогично.

Давайте перейдём к следующему вопросу. Что же такое функция, заданная неявно?

Пусть дано некоторое уравнение вида (*), связывающие три переменных (x, y, z). Будем считать, что множество решений этого уравнения не пусто, то есть существует тройки чисел (x, y, z), удовлетворяющие этому равенству. В каком случае мы говорим, что это уравнение задает неявную функцию? Что за функция такая z=f(x, у), которая задана этим уравнением? Что является ее областью определения?

Областью определения такой функцией является множество всевозможных пар (x, y), для которых существует z, удовлетворяющее уравнению (*), по условию это множество не пусто. Итак, множество таких (x, у) существует, функция определена.

А как находятся значения этой функции? Каждое значение z из точки области определения выбирается, вообще говоря, произвольно, оно существует и может быть ни одно, поэтому равенство (*) очень часто задает бесконечно много функций, заданных неявно. Чаще всего таким образом задается функция, когда z не удается выразить через x и у, поэтому проблема дифференцирования обозначена. Давайте перейдем к этой задаче.

Попытаемся найти частную производную функции, заданной неявно по переменной x, то есть мы здесь ищем z’ по x, считая, что z – это функция переменных x и y. От равенства (*) переходим к равенству (**), дифференцируя первое попеременной x. Что же мы видим? В этом равенстве (**) мы дифференцируем по x, считая что х и у – это независимые переменные, а z – это функция переменных x и y. Посмотрите, слева мы дифференцируем сложную функцию трех переменных, в которой z – это тоже функция переменных х и y, то есть в реальности это уже функция переменных (x, y), сложная функция. Давайте нарисуем такую диаграмму. Посмотрите, на этом этапе z оказывается функций переменных x и y, x тоже зависит от x, у. Мы можем считать, что это x+0*у, точно также, как и у можем считать, что это 0*x+y. Итак, это функции переменных x, у. Как мы запишем значение на этих переходах? Переход от переменной u к x, y, z понятен, давайте следующий переход от х по х. Тут не написано, но производная будет равна 1, а вот у по x будет равна 0: у – независимая переменная при дифференцировании по х дает нам 0. Что же мы в результате получаем? Считаем: ∂у по ∂х – это 0, ∂x по ∂x – это 1, и обозначая ∂z по ∂x∂ -это z’ по x. Переходя к штрихам, мы получаем следующее равенство (см.видео). Давайте посмотрим еще раз на равенство (**), видим, что условие (**) равносильно тому, что u’ по x равно нулю. Подставляя только что полученное выражение, получаем следующее. Осталось выразить z’ по х.

Итак, частные производные функции z по х, заданные неявно, определяется следующей формулой (см. видео).

Абсолютно аналогично, дифференцируя по y, мы получаем значение частной производной z’ по у.

Давайте посмотрим, где можно использовать этот подход. Часто так оказывается, что поверхность задана уравнением, связывающим переменной х, у, z, и z нам не удается выразить. Поверхность есть, а как составить уравнение касательной плоскости, возникает проблема на этапе вычисление частных производных, потому что z из данного уравнения не удается выразить. Но мы помним, в этом случае эта функция z(x, y) задана неявно, и ее частные производные вычисляются по формулам. В результате, подставляя в уравнение касательной плоскости, мы получаем следующее равенство. Умножив обе части этого равенства на F’ по z в точке p₀, и, перенеся все слагаемые в левую часть, мы получаем уравнение касательной плоскости для данной поверхности в точке p₀. Понятно, что в этом случае значение частных производных в точке p₀ - это координаты вектора нормали, поэтому уравнение нормали может быть записано в таком виде. Если хотя бы одна из частных производных знаменателя равна 0, то мы переходим к параметрическому заданию этой прямой, и уравнение нормали записываем в следующем виде (см. видео).