Математика. Материалы курса

Наше практическое занятие посвящено понятию дифференциала первого и второго порядка, также на этом занятии будут рассмотрены касательная плоскость и нормаль.

Дана функция двух переменных z=e^(2x+5y), задача найти дифференциал первого и второго порядка, пользуясь не формулой, а свойствами дифференциала. Затем, получив этот результат, мы должны сказать, чему равны частные производные первого и второго порядка.

Давайте попробуем решать. Итак, z=e^(2x+5y). Начинаем находить дифференциал первого порядка: dz=de^(2x+5y). Как мы находим дифференциал функции одной переменной? Напомним, dU=U’dt, если функция U является функций переменной t.Тут в роли переменной выступает 2x+5y, поэтому это е в той же степени, умноженное на дифференциал показателя степени: dz=de^(2x+5y)=e^(2x+5y)d(2x+5y).

Дальше, воспользовавшись свойством линейности дифференциала, имеем: e^(2x+5y)(2dx+5dy).

После раскрытия скобок заключаем, дифференциал первого порядка найден: 2e^(2x+5y)dx+5e^(2x+5y)dy.

Давайте перейдем к нахождению дифференциала второго порядка, это дифференциал от дифференциала первого: d^2z=d(2e^(2x+5y)dx+5e^(2x+5y)dy).

Воспользуемся свойствами дифференциала. Кроме того, при вычислении дифференциала вторую порядка мы считаем, что dx и dy являются константами, также как числа 2 и 5.

Перепишем выражение в следующем виде: 2dxe^(2x+5y)+5dye^(2x+5y)= (2dx+5dy)de^(2x+5y).

Дифференциал функции мы уже находили, давайте воспользуемся этим результатом: (2dx+5dy)(2e^(2x+5y)dx+5e^(2x+5y)dy).

Раскроем скобки: 4e^(2x+5y)dx^2+20e^(2x+5y)dxdy+25e^(2x+5y)dy^2. Результат получен, но нас просили еще найти частные производные. Давайте запишем формулу дифференциала.

Дифференциал первого порядка dz=z_x’dx+z_y’dy, это значит, что из рассуждений ранее z_x’=2e^(2x+5y), а z_y’=5e^(2x+5y).

Дифференциалы второго порядка d^2z=z_xx’’dx^2+2z_yx’’dydx+ z_yy’’dy^2. Посмотрите, не составляет труда выписать z_xx’’=4e^(2x+5y), z_yx’’=10e^(2x+5y), z_yy’’=25e^(2x+5y). Задача решена.

В реальности, когда мы решаем задачу, в которой нужно найти дифференциал, мы, конечно, пользуемся формулами дифференциала, находим частные производные и подставляем в нужную формулу.

Задание: составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=sinx*cosx в точке (π/4; π/4;1/2). Давайте проверим, что точка принадлежит поверхности: sin(π/4)*cos(π/4)=2/4=1/2. Итак, эта точка принадлежит поверхности, значит, следует провести касательные плоскости к точке поверхности.

Так, во-первых, давайте вспомним уравнение касательной к плоскости z-z₀=z_x’(x₀, y₀) (x-x₀)+ z_y’(x₀, y₀) (y-y₀). Давайте рассмотрим, какие у нас есть данные: x₀=π/4, y₀=π/4, z₀=1/2. Итак, три числа мы уже знаем, осталось выяснить числа – значения частных производных. Давайте будем находить: z_x’=sinx*cosy, z_x’(π/4; π/4)=1/2; z_y’= -sinx*siny, z_y’(π/4; π/4)=-1/2.

Перейдём к уравнению плоскости: z-1/2=1/2(х-π/4)-1/2(у-π/4). Рациональнее всего взять и умножить обе части этого равенства на 2, получаем: 2z-1=х-π/4-у+π/4. Получаем уравнение касательной плоскости x-y-2z+1=0.

Перейдем к нормали. Можно воспользоваться значениями частных производных, а можно воспользоваться тем, что вектор нормали для плоскости составляется из коэффициентов при x, y и z: n=(1;-1;-2), т о есть можно не обращаться к формуле нормали. Тогда мы пишем: (х-π/4)/1=(у-π/4)/(-1)=(z-1/2)/(-2). Итак, уравнение нормали тоже получено.

Ещё одна задача, поинтереснее. Параболоид вращения - это график функции z=x^2+y^2. Касательная плоскость проведена таким образом, что она проходит через точки (1,0,0), (0,1,0), расположенные на координатных осях х и у. Касательная плоскость содержит прямую, соединяющую эти две точки, и проходит через точку на поверхности параболоида. Как найти эту точку и как составить уравнение касательной плоскости? Давайте разбираться.

Будем считать, что эту точку мы нашли: (x₀, y₀, x₀^2+y₀^2). Нам также нужны значения частных производных: z_x’=2x, z_y’=2y. В результате уравнение касательной к плоскости выглядит следующим образом: z-x₀^2+y₀^2=2x₀(x-x₀)+2y₀(y-y₀). После предобразования имеем: z+x₀^2+y₀^2=2x₀x+2y₀y. Мы получили вот такое уравнение касательной плоскости, но мы не знаем чисел x₀ и y₀.

Точки с координатами (1, 0, 0) и (0, 1, 0) принадлежат этой плоскости, касательная плоскость проведена через эти точки. Подставляя координаты этих точек в уравнение касательной, получаем x₀^2+y₀^2=2x₀, x₀^2+y₀^2=2у₀. После решения полученной системы, имеем два случая x₀=0, y₀=0 и x₀=1, y₀=1. Для первого случая z=0, для второго 2x+2y-z=2. Итак, что мы видим? Задача имеет не единственное решение, и через две точки проходит две касательные плоскости к данной поверхности. Задача решена.