Математика. Материалы курса

На этом практическом занятии мы поучимся находить производные и дифференциалы высших порядков. Для начала мы научимся находить дифференциал первого порядка, потом более высоких порядков. Задача вычисления производной второго и третьего порядка и более высокого, в общем, это совершенно несложно. Не будем рассматривать подробно, как это вычислять,  с этим вы легко справитесь. Например, дана функция f(x)=1/(2х-3) найти производную третьего порядка f’’’(x). Последовательно выполняем шаги: находим производную первого порядка, удобнее это делать, преобразовав функцию к степенному виду f(x)=(2х-3)^(-1). Получив производную первого порядка, находим производную второго, затем дифференцируем и находим, наконец, производную третьего порядка f’’’(x)=48/(2х-3)^4. В общем-то, процедура не является сложной и, если вы умеете находить производную первого порядка, то остальным у вас проблем тоже не будет.

Научимся решать задачи с дифференциалом. Для функции у=х² -2х+1 нужно найти дифференциал df(2) двумя способами. Запишем первый способ, самый простой и логичный, пользуясь формулой df(2)= f’(2)dх. Дифференциал функции в точке равен значению производная в этой точке умноженному на дифференциал переменной х. Запомните, слева есть дифференциал, а справа есть производная. Производная и дифференциал отличаются только множителем dх. Очень важное замечание: когда вы пишете дифференциал слева - есть буква d, справа она тоже обязана быть. Найдём производную в точке 2,y’(х) =2x-2, y’(2)=2. Дифференциал функции в точке два есть – 2dx.

А сейчас давайте попробуем найти этот дифференциал вторым способом, пользуясь определением. Дифференциал - это главная линейная часть приращения функции. Формула приращения Δf(2)=f(2+Δх)-f(2). Мы придаем аргументу приращение Δx и смотрим, как меняется значение функции. Вычисляем, f(2+Δх)-f(2)=(2+Δх)²-2(2+Δх)=2Δх+Δх². Посмотрите, приращение функции оказалось представимо в виде суммы двух слагаемых, где 2Δх - это главная часть, а Δх² -  бесконечно малое более высокого порядка, чем Δх. Итак, главная линейная часть это и есть дифференциал. Ответы, полученные в первом и втором варианте решения, совпали. Мы должны помнить, что Δх=dx, поэтому df(2)=2dx.

Иногда возникает задача, которую решить, конечно, можно, но решать её совсем не хочется и, не потому что трудно, а потому что долго. Так, например, нужно найти производную 20 порядка для функции у=ln x. Получается, мы должны последовательно выполнить двадцать шагов дифференцирования. Как в этом случае разумнее поступить? Попытаться вывести n-ую производную формулу. Итак, давайте действовать: y’=х^(-1); y’’=-х^(-2); y’’=-х^(-2); y’’’=2х^(-3)… Попытаемся дальше проанализировать и найти, что общего есть в этих формулах. После исследования найденных производных, у нас возникла версия у^(n)=(-1)^(n+1)(n-1)!x^(-1))). Доказательство формулы мы осуществляем методом математической индукции. На первом шаге проверим нашу формулу для n равного единице, база выполняется. Осуществим индуктивный переход, найдём производную у^(n+1) как производную (у^(n))’. После преобразования, замечаем, что получили описанную ранее формулу, только вместо n имеем n+1. Значит, наше предположение было сделано верно. Метод математической индукции дает нам основание заключить, что формула верна для любого натурального числа. Так, двадцатую производную мы сможем найти, просто пользуясь формулой. Ответ получен.

Задача может быть изначально, записана так: найти n-ую производную функции у=е^(3х+1). Здесь ситуация совсем простая, давайте посмотрим: y’=3е^(3х+1); y’’=3^2е^(3х+1))…И мы уже сейчас догадываемся, что на каждом шаге просто добавляется множитель 3. Сформулируем гипотезу у^(n)=3^ nе^(3х+1)). При n=1, формула верна, база выполняется. Индуктивный переход: находим n+1 производную, дифференцированием n-ой производной. Так мы подтверждаем справедливость формулы и говорим, что она справедлива для любого n.

Рассмотрим ещё одну сложную ситуацию. Найти производные и дифференциалы первого и второго порядка степенно-показательной функции y=х^(lnx). Вспомним формулу для логарифмического дифференцирования, y’=y(lny)’=x^(lnx)(lnx lnx)’=2 x^(lnx-1)lnx. Можно сразу выписать дифференциал у, dy=2x^(lnx-1)lnxdx. Перейдём к нахождению производной второго порядка. Нужно найти производную произведения из трёх сомножителей (см. видео), а также вспомнить, что d^2y=y’’dx^2. Решение получается немного большим, но при этом остаётся доступным.

Итак, новая задача: найти все производные до 3-го порядка включительно функции y=х(lnx). В этой задаче обобщение формулы касается порядка производной, то есть (UV)’’’=U’’’V+3U’’V’+3UV’’+UV’’’. Чтобы воспользоваться формулой, нужно знать производные x и lnx до третьего порядка включительно: U=x, U’=1,U’’=0,U’’’=0; V=lnx, V’=x^(-1), V’’=-x^(-2), V’’’=2x^(-3). Составляем ответ (xlnx)’’’=-3x^(-2)+2x^(-2)=-1x^(-2). Можно было решать задание другим способом, последовательно найти производные предложенной функции и получить также верное решение. Наша задача была показать, как работает формула обобщения и как можно ей воспользоваться. Коэффициенты для формулы обобщения можно узнать из формул сокращённого умножения (a+b)^2, (a+b)^3.