Математика. Материалы курса

 

Начиная изучать понятие функции нескольких переменных, конечно логично в начале понять, что же является областью определения такой функции, как выглядит ее график и этим иллюстрациям посвящено сегодняшнее практическое занятие

Итак, первая задача - найти область определения функции двух переменных.

Что нам потребуется?

Вспомнить, как же мы находили область определения функции одной переменной. В общем-то, начало то же самое: мы пишем, при каких значениях переменных значения функций существуют.

Очевидно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Второй этап - мы решали неравенство методом интервалов. Здесь мы применим обобщенный метод интервалов. Как мы его осуществляем. Мы применяем те же этапы, что и в методе интервалов. Там мы на часовой прямой строили точки, в которых числитель и знаменатель обращается в ноль. Здесь мы поступаем точно так же - вы пишем нули числителя и знаменателя.

Итак, для числителя x + y - 2 =0, для знаменателя x - y = 0.

Для прямой (1), если одна из координат – число 2, вторая координата равна нулю. Вовсе не обязательно y выражать через х. Отмечаем на числовой оси y точку 2 и на оси x тоже точку 2. Давайте мы посмотрим, это нули числителя, поэтому прямая может быть построена через эти точки. Давайте выделим цветом эту прямую. Мы ее строим сплошной линией, поскольку это ноль числителя, и равенство здесь допускается.

Давайте разбираться со знаменателем. Эта прямая у=х. Понятно, что это биссектриса 1-го и 3-го координатных углов. Кроме того – это знаменатель, а знаменатель не может быть равен нулю, поэтому мы будем строить пунктирную прямую. Прямая у=х будет построена пунктирной линией.

Что же мы имеем? Плоскость оказалась разбита на четыре части. Давайте чтобы мы видели покажу (см. рисунок) эти 4 части. На координатные оси мы не обращаем внимания.

Берём произвольную точку. Например, точку с координатами (3; 0) из

первой части. Числитель положительный, знаменатель положительный в этой части, значит точка (3; 0) удовлетворяет этому неравенству, и все точки, лежащие в этой части, также удовлетворяют указанному неравенству.

Давайте посмотрим точку (0; 3) из второй части. Числитель положительный, знаменатель отрицательный. Неравенство не выполняется, следовательно, вторую часть мы закрашивать не будем.

В третьей части берем точку с координатами (-1; 0). Числитель отрицательный, знаменатель тоже. В итоге (минус на минус) дробь оказывается положительной. Неравенство выполнено, закрашиваем.

В четвертой части давайте возьмем точку (0; -1). Нетрудно проверить, что в этой точке неравенство не выполняется и часть 4 мы закрашивать не будем. Что является ответом при решении этой задачи? Вот это изображение и служит ответом. Мы строим область определения в плоскости xOy.

Давайте рассмотрим следующую задачу.

Нам задана функция z=arcsin(xy). Найти ее область определения. Помним, что арксинус определён, если его аргумент удовлетворяет двойному неравенству -1≤xy≤1. Начинаем с того, что строим границы области определения. Границы определяются равенствами xy=1 и xy= - 1. Нетрудно заметить, что это графики функций одной переменной (х= 1/у и х= -1/у) . Данные функции хорошо нам известны, и строить мы будем гиперболы.

Обратите внимание, что единственное, конечно, x и y могут быть равными нулю, все гиперболы проходят через точку (1; 1) и (1; -1), то есть когда произведение равно 1 или -1. Давайте построим. Обращаем внимание, что равенство допускается, поэтому все границы мы будем строить сплошными линиями.

Что мы получили? Вся плоскость оказалась на 5 частей. Берем в каждой из этих частей точку и подставляем в неравенство, которые мы решаем. Например, если мы подставим точку начала координат (0; 0), очевидно, неравенство будет выполнено. Вся внутренняя часть оказывается заштрихованной. Что касается частей 1, 2, 3 и 4, если мы будем брать точку,

мы попадем вне этого неравенства в этих точках. Неравенство не будет выполняться, следовательно, 4 оставшихся части мы закрашивать не будем. Решение задачи имеет такой вид.

Давайте научимся строить плоскости. Я напомню, что плоскость в трехмерном пространстве определяется уравнением Ax+By+Cz=0, где коэффициенты А, В и С одновременно не равны нулю. Если С не равно нулю, z может быть выражено, и мы получаем функцию двух переменных. В каждом из этих случаев графиком служит плоскость. Осталось понять, как построить эти плоскости быстро и без проблем.

С чего мы начинаем? Логично посмотреть на координатных осях какие пересечения будут. На оси Оx, например, ось Оx задается условиями y=0 и z=0. Подставляем вместо z ноль, вместо у 0, мы получаем 2x=4, то есть x=2. Отметьте ее на оси. На оси Оу. Ось Оу задана условиями x = 0 и z=0. Значит подставляя в исходное уравнение получим, что у=4. Отметьте ее на оси. Ось Оz задается условиями х=0 и у=0, тогда z = 4. На оси z отмечаем точку. Дальше мы знаем, если какие-то две точки лежат в плоскости, то и прямая, соединяющие эти точки также лежит в этой плоскости. Нам осталось соединить точки. И получаем ответ: изображение плоскости.

Как построить плоскость, когда переменная у в этом уравнении отсутствует? На самом деле, это +0у. Как поступаем в этом случае? Посмотрим, это уравнение прямой в плоскости xOz, в плоскости xOz это прямая. Если x=0, то z = 4, если z =0, то x = 0. Построим прямую, проходящую через эти точки. Что делать дальше? Давайте вернемся к записи. Отсутствующая координата у говорит, что данная плоскость параллельна оси Оу. Если какая-то точка принадлежит прямой, то этой плоскости принадлежит и прямая, проходящей через эту точку, параллельная оси Оу. Строим также и через точку на оси Оx, строим параллельные оси Оу прямые. Осталось покрыть штриховкой, чтобы мы видели эту плоскость понагляднее, и чтобы этот край не торчал, можно соединить линией. Изображение плоскости появилось.

Практически точно такая же ситуация. Это уравнение прямой в плоскости уОz. Строим эту прямую. Я каждый раз беру значение одной из координат 0 для того, чтобы нам отмечать точки на координатных осях.

Если z=0, то у = 4, а если y =0, то z =4. Переходим к построению. Строим прямую, данную в плоскости yОz, обращаем внимание, что отсутствующая координата x говорит о том, что плоскость параллельна оси Оx. Значит, через отмеченные точки на координатных осях строим прямые параллельные оси Оx. Чтобы изображение было понаглядней, край нарисуем и покроем штриховкой.

Наконец, случай, когда вообще координаты x и y отсутствуют. Знаете, если бы мы не сказали, что строим графики функций двух переменных, то задание «построить z=4» звучало бы некорректно. Почему? А мы не знаем, где мы находимся. Если бы мы находились только на оси z, мы бы построили точку 4. Если бы мы находились в плоскости (с двумя осями), то мы бы построили прямую, параллельную 2-ой координатной оси. Давайте посмотрим ось Оz на самом деле находится в двух плоскостях xOz и yOz, значит в этих плоскостях данное уравнение определяет уже не точку, а определяет плоскость, определяет прямую.

Итак, в этих координатных плоскостях данное уравнение определяет прямые.

В координатных плоскостях, в плоскости yOz мы строим прямую параллельную оси Oy, и в плоскости xOz строим прямую, параллельную оси Оx. Посмотрите, мы практически уже получили изображение плоскости, осталось только соединить края и выполнить штриховку.

Посмотрите еще раз. Это уравнение, во-первых, задает точку на оси z, строим ее, во вторых - это прямые, параллельные координатным осям Оy и Оx, строим их. Осталось завершить построение и увидеть, что мы получили плоскость, заданную этим уравнением.

Перейдем еще к одной задаче. Построить график функции z=4-x².

График функции двух переменных – это поверхность в трехмерном пространстве. Посмотрим внимательно на это уравнение, здесь отсутствуют переменная y, на самом деле она есть, просто здесь плюс 0у, поэтому мы не видим. И в таком виде – это уравнение параболы. Начинаем с построения параболы. Не будем строить таблицу, сразу строим параболу. Отсутствующая координата y говорит о том, что построенная поверхность параллельна оси Оy, при любом значении y. y=0, мы построили – это плоскость xОz, если у=1, то есть на расстоянии 1 от плоскости xОz, уравнение, связывающее x и z будет таким же самым. Возьмем мы еще какое-то любое другое значение, получаем, что x и z, по-прежнему, связаны тем же самым уравнением. Построение поверхности смотрите в видео.

Посмотрите, какая поверхность появилась в трехмерном пространстве. Это график данной функции.