Математика. Материалы курса

 

На этой лекции мы начинаем раздел «Функции нескольких переменных». До этого мы уже рассматривали с вами понятие функции одной действительной переменной, но наша жизнь устроена так, что мало что зависит только от изменения какой-то одной переменной. Жизнь наша настолько многообразна, столько факторов влияет на изменения величин, что логично перейти к обобщению этого понятия – понятию функций нескольких переменных.

Сегодня мы остановимся более детально на понятии функции двух переменных. Вначале остановимся на обозначениях. R - это числовая прямая. Если мы наделяем R индексом верхним, то это показывает размерность пространства. R^2 - это координатная плоскость, R^3 - трехмерное пространство и R^n - арифметическое n-мерное пространство. Элементами служат n действительных чисел: в R – числа, в R^2 - пары действительных чисел точек плоскости, в R^3 - тройки действительных чисел, это уже точки трехмерного пространства.

Давайте рассмотрим трехмерное пространство R^3, оно задается тремя взаимно перпендикулярными координатными осями: Ox – ось абсцисс, Oy – ординат, Oz – аппликат.

Давайте посмотрим, как задаются координатные плоскости, их оказалось тоже три, и как задаются координатные оси, поскольку, когда мы перейдем к решению задач, нам эти знания будут просто необходимы. Координатная плоскость XOY задается условием z=0. У любой точки три координаты. Если она лежит в плоскости XOY, третья координата z=0, в XOZ – y=0, в YOZ – x=0. Как легко запомнить: в обозначении плоскости XOY z отсутствует значит она 0, в XOZ отсутствует y, обозначение y=0, ну и третье понятно.

Координатные оси. Задается ось Ox системой двух условий (смотреть на видео), опять же в обозначение оси отсутствуют z и y, именно эти координаты равны 0 на оси Ox у любой точки. Ось OY, соответственно, задается условием z=0, x=0, и ось Oz – x=0, y=0.

Ну а сейчас перейдем к определению функции двух переменных.

В плоскости R^2 есть некоторое множество точек G. Если каждой паре чисел, точке, принадлежащей множеству G, по некоторому закону f ставится в соответствие единственное число z, то говорят, что задана функция двух переменных z=f(x, y), x и y - независимые переменные, их стало две, а z – зависимая, ее значение зависит от того, какие значения принимают x и y. Множество G, это множество точек плоскости R^2, называется областью определения. Значение, опять же, это действительные числа.

Давайте посмотрим задачи, которые мы должны уметь решать.

Первая (смотреть на видео): найти область определения функции двух переменных. Функция задана аналитически, формулой. Что же служит ее областью определения? Областью определения служит множество таких пар (x, y), они будут находиться в плоскости, для которых значение z может быть вычислено по этой формуле (смотреть на видео), существует такой язык.

Для решения этой задачи мы применяем обобщенный метод интервалов. Если вы метод интервалов помните, то обратите внимание, что рассуждение наши очень напоминают пункты метода интервалов. С чего мы начинаем: записываем неравенство, оно показывает для каких x, y z существует. Логично разложить на множители, мы получаем неравенство (смотреть на видео). Решать пока его не надо.

Мы переходим к первому пункту обобщенного метода интервалов. Мы строим границы области. Чем они задаются? В неравенстве переходим к равенству и, какие нули: там, где x-y=0 и там, где x+y=0. Если в методе интервалов мы получали точки числовой прямой, то здесь мы получаем, вообще говоря, кривые на плоскости - это прямые y=x и y=-x.

Давайте еще раз обратимся к неравенству, которое мы решаем. Оно является строгим, поэтому точки прямой не является решением, мы их исключаем и отмечаем пунктирными линиями.

В результате плоскость оказалась разбита на четыре части. Что мы делаем: в каждой из частей берем точку и проверяем, выполняется знак неравенства или нет. Вот, например, в отмеченных областях точка (1, 0) и (-1, 0). Если мы подставим в неравенство (1, 0) или (-1, 0), то знак неравенства, больше 0, плюс, все выполнено, поэтому эти области заштрихованы. А вот в точках (0, 1), (0, -1) произведение будет меньше нуля - мы не закрашиваем. Вот такое решение.

Если при нахождении области определения функции одной переменной мы выписывали ответ и писали, что область определения - это множество, то здесь важнейшее отличие: мы не пишем ответ в такой форме - ответом служит построение области. Это и есть ответ данной задачи.

Давайте еще рассмотрим один пример (смотреть на видео). Функция задана аналитически. С чего начинаем? Записываем неравенство, которое позволяет нам определить, для каких значений x, y значение функции существует.

Первый этап: строим границы области определения, это нули числителя и знаменателя. Посмотрите: в первом и во втором случае мы получаем уравнение прямой, но числитель может быть равен нулю, поэтому мы построим сплошную линию, сплошная прямая, а знаменатель в нуль не обращается, поэтому прямую x=3 построим пунктирной. Вот он первый этап на плоскости: построили границы области определения.

Переходим ко второму этапу: в каждой из областей (смотреть на видео), вот эти красные линии разбери плоскость на четыре части, вот, например, точка (0, 0). Видим, в какую часть области попала, подставляя, видим, что неравенство выполнено. Значит, вся область содержащая точку O будет закрашена, а вот в точке с координатами (0, 5), это на оси Oy, неравенство не будет выполняться. Поэтому эту часть мы закрашивать не будем. Точно так же проверяем и еще в двух частях, и в результате штриховка нам дает ответ. Ответ - это заштрихованное множество точек в плоскости XOY.

Следующая задача, которая часто возникает – построить график функции двух переменных. Что же такое график? Графиком функции называется множество точек с тремя координатами (x, y, z). Они уже находятся в трехмерном пространстве. Что это за точки? Первая пара (x, y) - это точки из области определения, третье число в этой тройке - это соответствующее значение функции в этой точке. Это точка трехмерного пространства, первые две координаты определяют точку в плоскости X и Y, третья - это значение функции в указанной точке. Таким образом, область определения функции - это как раз проекция графика на плоскость X и Y.

Какое важнейшее свойство графика: любая вертикальная прямая параллельная оси Oz должна пересекать поверхность, в общем случае, не более чем в одной точке, иначе это не будет функцией.

Перейдем к задаче построения графика. В общем-то, можно как-то строить иначе, если мы можем отталкиваться от каких-то представлений. Мы будем использовать метод сечений.

Два примера: построить графики функций (смотреть на видео). У нас будет впереди раздел аналитической геометрии, но мы сейчас, немного заглядывая вперед, скажем, что первый случай - это уравнение плоскости, будем отталкиваться от этого знания. Будем строить плоскость.

Решаем первый пример. Задание: построить плоскость, график данной функции. Строим систему координат, и что мы начнем делать, как решать: определим точки, в которых данная плоскость пересекает координатные оси. Ось Ox, вспоминаем, задается условием z=0, z=0, если мы подставим z и y в уравнение, то мы получаем x=3. Данная плоскость пересекает ось Ox в точке 3. Следующая ось Oy, y=0, z=0. мы получаем y=2. Третий случай: ось Oz появляется на оси z в точке 6.

Что мы дальше делаем: мы прекрасно знаем, если какие-то две точки лежат в плоскости, то и прямая, соединяющая эти точки, также лежит в данной плоскости, поэтому мы соединяем прямыми каждую пару точек. В результате у нас появилось довольно объемное изображение данной плоскости (смотреть на видео). Задача решена.

Попробуйте построить самостоятельно график функции задания 2, и ответом здесь служит поверхность, которая имеет название параболоид вращения (смотреть на видео).

Еще одна иллюстрация, которая позволяет нам визуализировать функцию двух переменных - понятие линий уровня. Где мы их встречаем? Вообще, это понятие связано с картами в картографии, когда мы хотим изобразить рельеф местности, не имея для этого никаких объемных возможностей, линия уровня показывает нам высоту местности.

Что же такое линия уровня для функций двух переменных? Это кривая, заданная уравнением f(x, y)=c, где c - действительное число. Что же показывает нам эта линия уровня? Она нам показывает, по какой линии пересекается поверхность на высоте c, z=c. Это пересечение данной поверхности z=f(x, y) и плоскости z=c на высоте c над плоскостью XOY, а потом эта линия проектируется на плоскость XOY, появляется линия уровня.

Давайте на примерах рассмотрим. Мы рассматривали с вами функции, строили графики, представили себе (смотреть на видео): первое - это плоскость, второй случай - параболоид вращения. Как выглядят их линии уровня? Записываем линии уровня (смотреть на видео): это уравнение, связывающее уже переменные x и y, справа - число c. Давайте посмотрим, если мы выразим y через x, мы видим, что все эти прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, все эти прямые параллельны, и при каждом c появляется свое изображение. Посмотрите (смотреть на видео), c=0 - это означает: на высоте 0 данная плоскость пересекла по прямой плоскость XOY, мы изобразили при c=0. Все остальные изображаются параллельно, а при c=6 линия уровня пройдет через точку (0, 0). Вот линия уровня (смотреть на видео).

Давайте для второй поверхности рассмотрим (смотреть на видео). Понятно, что линия уровня - это окружность. При разных c мы будем получать разные окружности с тем же самым центром - концентрические окружности. При c=0 - это будет точка начала координат. На высоте 4 единицы мы пересечём параболоид вращения по окружности, мы отметили c=4. При c=9 - следующая окружность, и так далее. Так вот, мы практически построили приемами картографии линии уровня и представили себе рельеф этих поверхностей.