Математика. Материалы курса

Этой лекцией мы завершаем изучение определенного интеграла. И главное, на что мы получим ответ, для чего это все нам было нужно. Речь пойдет о приложениях, то есть о применении определенного интеграла.

Первое, с чего мы начнем, это конечно площадь криволинейной трапеции. Если вы помните, именно с этого мы начинали изучение определенного интеграла. Задача, приводящая к понятию определенного интеграла, это задача о площади криволинейной трапеции. И мы получили, что вычисление этой площади осуществляется по формуле (см. на видео). Помним, что f(x) в этом случае – это непрерывная, неотрицательная функция, заданная на отрезке от a до b. Криволинейная трапеция – фигура ограниченная графиком функции, осью Ox, вертикальными прямыми x=a, x=b. Ее площадь вычисляется по формуле на экране.

Давайте рассмотрим и другие задачи. А что, если плоская фигура ограничена графиками непрерывных на отрезке [a,b] функций f и g, и график одной функции расположен выше другой. Вообще говоря, относительно оси Ox расположение этих графиков для нас не важно. Так вот, оказывается, площадь в этом случае также можно вычислить с помощью определенного интеграла (см. видео).

Давайте рассмотрим такую картину. Итак, график функции f расположен выше графика функции g. Что же мы сделаем для вычисления площади? Итак, функции f и g непрерывны, ограничены. Значит, вообще эта фигура расположена между двумя горизонтальными прямыми, в горизонтальной полосе. Что мы сделаем? Поднимем эту плоскую фигуру на r единиц вверх, так чтобы она оказалась выше оси Ox. Итак, функции f+r, g+r уже неотрицательны на отрезке [a,b] и, по-прежнему, непрерывны. Понятно, что площадь фигуры равняется разности площадей криволинейных трапеций. Первая из них для функции f+r, вторая – для g+r. Эти площади вычисляются как определенные интегралы. Пишем разность интегралов (см. видео), потом по свойству линейности записываем общий интеграл, и видим: на самом деле эта формула верна.

Давайте рассмотрим несложный пример площади плоской фигуры. Задача формулируется так: найти площадь эллипса. Вот его уравнение (см. видео). Так, ну понятно, что кривая не является графиком функции. Выразим y, и проще всего, пользуясь симметричностью эллипса, найти четвертую часть этой площади S с чертой. Итак, это криволинейная трапеция, сверху она ограничена графиком неотрицательной функции (см. видео). Итак, площадь всего эллипса S – это четыре умноженное на S с чертой. Итак, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле (см. видео).

Давайте попробуем вычислить этот интеграл, перейдя к параметрическому заданию эллипса. Итак, параметрическое уравнение эллипса (см. видео). Возникает вопрос: “Как изменяется t?”. Давайте посмотрим, x изменяется от 0 до a. Если x ноль, косинус равен нулю при t равному π пополам. И верхнее значение x равно a, когда косинус t равен единице. Это при t, равном нулю. И мы получаем новый интеграл (см. видео). Вычисляем дифференциал x (см. видео). Итак, выполняя преобразования, получаем интеграл (см. видео). Поменяв пределы интегрирования, получим знак плюс перед интегралом. Применяя формулу понижения степени, приходим практически к табличным интегралам. Дальше вычисление не составляет труда.

Еще одно обобщение площади. Мы рассмотрим плоскую фигуру, которая называется криволинейным сектором. А для начала нам понадобятся полярные координаты. Какое поэтичное название, правда?

Так вот, полярная система координат задается несколько иначе, чем декартова. Во-первых, мы отмечаем полярную ось – это луч с началом в точке O, с единицей отсчета и направлением. На этом луче мы измеряем ρ – расстояние. Точка O называется полюсом. Итак, любая точка M на плоскости, отличная от полюса – точки O, определяется двумя координатами: ϕ и ρ. ϕ - это полярный угол, угол между полярной осью Oρ и вектором OM, ρ – полярный радиус, расстояние от O до M. Конечно, значения ϕ и ρ не совсем однозначны. Мы можем взять ϕ, например, добавим два π или вычтем два π, и мы получим ту же самую точку M. Вообще говоря, мы чаще всего выбираем главные значения. ϕ считаем от минус π до π и ρ считаем большим либо равным нулю. Вот что касается полюса, то полюс задается единственным условием: ρ равно нулю, значение ϕ для него не определено.

Какая существует связь между декартовыми и полярными координатами? Итак, что мы делаем? Совместим полярную систему координат с декартовой. Точку O (полюс) совместим с точкой (0, 0), ось Ox совместим с полярной осью. Что же получается? Точка M имеет полярные координаты ϕ и ρ, в то же время она имеет декартовы координаты x и y. Из прямоугольного треугольника, я думаю, для вас это не составит труда. Мы видим, что (см. видео). Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора или из этих двух формул получаем, что (см. видео) x²+y²=ρ². Тоже очень полезная формула, которую мы часто используем.

Что же такое кривая в полярных координатах? Итак, это некоторое уравнение ρ, равное ρ(ϕ). Вот вам примеры (см. видео), то есть некоторая функция переменной ϕ, каждому значению переменной ϕ соответствует новое значение ρ, а значит, точка в полярной системе координат. И если функция ρ(ϕ) непрерывна, мы получаем непрерывную кривую в полярной системе координат. Многообразие таких кривых огромно. Вот несколько кривых, у которых есть свои названия (см. видео), они хорошо известны и часто применяются при решении задач.

Что же такое криволинейный сектор? Итак, пусть в полярной системе координат проведены два луча: ϕ=α и ϕ=β. Для всех значений ϕ из отрезка [α, β] определена непрерывная функция ρ(ϕ). В таком случае появляется кривая в полярной системе координат. Фигура, ограниченная лучами ϕ=α и ϕ=β и графиком этой функции, и называется криволинейным сектором. Иногда может оказаться, что это и круговой сектор, то есть это более широкое понятие.

Возникает задача вычисления площади такой плоской фигуры. От чего мы можем отталкиваться? Будем считать, что площадь кругового сектора нам известна. Как мы поступим? Разобьем отрезок от α до β (это два действительных числа), угол задается в радианной мере, на частичные точками (см. видео). Получим n частичных отрезков. На каждом из них выберем значение (см. видео). Каждому значению ϕ_i и каждой точке ξ_i соответствует луч. Что же мы делаем? Если мы обозначим величину угла, ограниченного лучами ϕ_i и ϕ_i-1, Δ ϕ_i (см. видео), и с этим лучом построим круговой сектор радиуса ρ от ξ_i. Мы получим вот такую веерообразную фигуру. Посмотрите. Она составлена из n круговых секторов. Итак, площадь веерообразной фигуры, мы обозначим ее S со звездочкой, это сумма площадей S_i со звездочкой (см. видео), n круговых секторов. Площадь i-го сектора – это (см. видео). Тогда площадь всей этой веерообразной фигуры, S со звездочкой, вычисляется по формуле (см. видео). Что такое λ? Это наибольшее из Δ ϕ_i. Если λ стремится к нулю, это шаг разбиения, то S со звездочкой с каждым разом становится все ближе и ближе к площади S криволинейного сектора. Но что же из себя представляет S со звездочкой? S со звездочкой – это интегральная сумма для функции (см. видео), которая непрерывна, а значит, интегрируема на отрезке [α, β]. И пределом этих интегральных сумм служит определенный интеграл. Таким образом, площадь S криволинейного сектора это (см. видео). Так, запомнили площадь криволинейного сектора.

Вот еще задача, мы уже видели кардиоиду. Итак, запишем уравнение кардиоиды (см. видео), и задача: найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой. Итак, формула есть, значения ϕ определяются от нуля до двух π, при этом под знаком интеграла мы пишем квадрат функции ρ (см. видео). Нетрудно заметить, формула для S следующая (см. видео). Следующим шагом выполняем преобразования (см. видео). Последнее слагаемое при раскрытии квадрата суммы раскрываем по формуле понижения степени. Ну и дальше я оставляю вам для самостоятельной работы подробно разобрать детали этого вычисления. Ответ вы видите.

Следующий шаг, следующее приложение определенного интеграла - это объем тела вращения. Здесь возникает два тела. Итак, пусть нам дана криволинейная трапеция, заданная на отрезке [a, b] непрерывной неотрицательной функцией. Если мы начнем вращать эту трапецию вокруг оси Ox, то мы получим тело вращения, объем которого мы будем обозначать V с индексом OX. Так вот формулу для вычисления вы видите на экране (см. видео). Давайте попробуем как-то аргументировать, откуда взялась эта формула. Итак, пусть дана криволинейная трапеция на отрезке [a, b]. При вращении появляется тело вращения. У нас нет возможности с ходу определить объем этого тела. От чего мы можем отталкиваться? Мы знаем, например, объем цилиндра. Как мы будем отталкиваться от этой формулы? Что мы сделаем? Итак, так же как и для вычисления площади криволинейной трапеции, мы разбиваем отрезок [a, b] на частичные отрезки. На каждом из частичных отрезков берем точку ξ_i и строим прямоугольник. Посмотрите: на каждом частичном отрезке строим прямоугольник как на основании с высотой f от ξ. Получили ступенчатую фигуру. Заставим ее вращаться. Что мы получили? Новое тело вращения. Оно составлено как будто бы из дисков, это круговые цилиндры. Их объемы мы можем легко вычислить. Давайте попробуем это сделать. Итак, объем полученного тела, равен сумме частичных объемов (см. видео). Это цилиндр, его высота Δx_i, длина i-го частичного отрезка, а радиус f от ξ_i. Итак, составили формулу (см. видео). Если шаг разбиения стремится к нулю, то есть наибольшая из длин частичных отрезков, то объем этого тела будет стремиться к значению объема V_OX. В то же время, посмотрите, составленная сумма является интегральной для непрерывной на отрезке [a, b] функции (см. видео). Поэтому, пределом интегральных сумм служит определенный интеграл от этой функции. А, следовательно, объем тела вращения вычисляется по формуле (см. видео), истинность которой мы установили.

Следующий момент, криволинейная трапеция может вращаться не только относительно оси Ox, но и относительно оси Oy, только мы требуем, чтобы она находилась в первой координатной четверти. Для этого отрезок [a, b] должен быть правее точки ноль, a больше либо равно нулю. Итак, мы оставим без вывода эту формулу (см. видео), хотя рассуждения могут нас привести к ней. Итак, объем тела вращения, при вращении криволинейной трапеции относительно оси Oy, вычисляется по этой формуле.

Давайте рассмотрим несложную задачу. Итак, плоская фигура ограничена гиперболой xy=6, горизонтальной прямой y=0, ось Ox, и двумя вертикальными - x=1 и x=4. Итак, первая задача найти объем V_OX, если мы заставим вращаться эту плоскую фигуру относительно оси Ox. Формула вычисления (см. видео) и вычисление оказывается совсем несложным (см. видео). Вместо f(x) подставляем значение y=6/x и несложный интеграл приводит нас дальше к ответу. Итак, второе вычисление, V_OY вычисляем по новой формуле (см. видео). Подставляя вместо f(x) y=6/x, снова получаем несложный интеграл, его вычисление приводит к ответу. Кстати сказать, объем этого тела можно вычислять, используя формулу и V_OX, только переобозначив оси, можете попробовать решить эту задачу. При новом подходе решение будет немного длиннее, но ответ должен получиться тем же самым, конечно.

Если плоские фигуры, имеющие конечную площадь, называются квадрируемыми, то кривые, которые имеют конечную длину, выраженную числом, называются спрямляемыми.

И новое приложение, которое мы рассмотрим, это вычисление длины кривой. Мы не будем выводить эти формулы (см. видео). Кстати сказать, дифференциал длины кривой применяется и в других приложениях. Мы потом в дальнейшем встретимся еще раз с этими формулами. Поэтому обратите внимание на эти формулы. Итак, в декартовых координатах, в полярных и, если кривая задана параметрически. Вот такие разные случаи.

Если кривая задана как график непрерывной и непрерывно дифференцируемой функции, то l – это интеграл от dl, посмотрите на формулу. И формула получается такая (см. видео). Если кривая задана параметрически непрерывно дифференцируемыми функциями, то есть сама функция непрерывна, да еще и производная ее тоже непрерывна, тогда вычисление длины осуществляется по такой формуле (см. видео). И для кривой, заданной в полярных координатах функцией ρ, которая так же непрерывна и непрерывно дифференцируема, то ее длина вычисляется по следующей формуле (см. видео).

Еще один подход - это вычисление площади поверхности тела вращения. Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси Ox, то возникает еще и поверхность вращения. Она, по сути, появляется при вращении кривой графика функции. Если вы помните, мы рассматривали dl. Поэтому, площадь в общем случае вычисляется по следующей формуле (см. видео). И если кривая – это график функции f(x), то формула преобразуется следующим образом (см. видео).

Ну и, кроме того, мы только скажем о приложениях определенного интеграла в физике. Это только часть физических задач, которые сводятся к применению определенного интеграла. Итак, приложения определенного интеграла в физике – это вычисление пути, пройденного телом за отрезок времени от t₁ до t₂, если известна мгновенная скорость в каждой точке; работа переменной силы F(x); а также масса неоднородного стержня, если в каждой точке ρ(x) - это значение плотности.

Ну и для того, чтобы вы смогли поупражняться, можете решить задачи геометрического содержания и сверить свои решения по ответам.