Математика. Материалы курса

Раздел «Интегральное исчисление» мы завершаем темой «Определенный интеграл», который также называют интеграл Римана. Задача, которая приводит к понятию определенного интеграла, это задача о площади криволинейной трапеции. Давайте разберемся, что это за понятие. Итак, нам дана функция y=f(x), определенная на отрезке [a, b], она непрерывна, не отрицательна. Это значит график расположен выше оси x. Плоская фигура, полученная в результате (ее границами является график функции f, ось x и прямые параллельные оси у x=a, x=b) - это фигура и называется криволинейной трапецией. Как найти ее площадь и от чего отталкиваться? Мы будем считать, что нам известна площадь прямоугольника. Как, используя знания площади прямоугольника, вычислить площадь этой фигуры, верхняя граница которой, как Вы видите, совсем не горизонтальная прямая. Разобьем отрезок [a, b] на оси x точками x1, x2 и так далее. Точки a и b мы обозначим: а - это x0, b – xn. Мы получили n частичных отрезков на оси Ox. Проведем через эти точки вертикальные прямые, построим прямоугольники. Что мы берем в качестве высоты этих прямоугольников? На каждом из частичных отрезков мы выбираем произвольным образом точки ξi. Обратите внимание, точки xi тоже взяты произвольным образом. Это вовсе не обязательно. Длины отрезков частичных равны, как на этой картинке. Итак, для каждого частичного отрезка, выбранного в качестве основания прямоугольника, значение высоты прямоугольника равно значению функции в точке ξi. Получили ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников. Площадь такой фигуры равна сумме площадей n прямоугольников, ну, и в общем-то понятно, что площадь этой фигуры примерно близка площади криволинейной трапеции. Если мы обозначим Δxi длину этого отрезка, то площадь ступенчатой фигуры примерно равна сумме площадей n прямоугольников. После знака суммы находится произведение f(ξi)Δxi - это площадь этого прямоугольника. Обозначим λ наибольшую из длин частичных отрезков. Эта величина называется шагом разбиения. Чем меньше λ, тем становится мельче разбиение отрезка [a, b] на частичные, и тем точнее значение площади ступенчатой фигуры к значению площади криволинейной трапеции. Предельное значение - это и есть площадь криволинейной трапеции. Итак, S - это предел составленной суммы при стремлении шага разбиения к нулю.

Ну, а сейчас перейдем к определению определенного интеграла. Функция f определена на отрезке [a, b]. Выполняем разбиение отрезка на частичные и так же как при решении задачи А площади криволинейной трапеции мы проведем рассуждение - составим сумму, в этом случае это уже не площадь криволинейной трапеции, а термин «интегральная сумма функции f». Она составлена для данного разбиения и для данного выбора точек ξi. И для другого выбора точек значение этой интегральной суммы будет также другим. Δ, как и прежде, это шаг разбиения. Будем λ устремлять к нулю. Если предел интегральных сумм конечен и не зависит от выбора точек ξi и выбора точек xi, от разбиения отрезка [a, b] на частичные, то значение этого предела и называется определенным интегралом функции f на отрезке [a, b] и обозначается символом. Мы видим, он очень похож, этот символ, на символ неопределенного интеграла с единственным отличием - появляются значения а и b, которые называются пределами интегрирования. а - это нижний предел интегрирования, а b - это верхний предел интегрирования.

На что стоит обратить внимание? Определенный интеграл - это число, поэтому обозначение переменой не играет роли, как обозначена горизонтальная ось (какой буквой), поэтому это может быть буква t, это может быть буква z и так далее. Если пределы интегрирования равны, то определенный интеграл функции на этом отрезке (вырожденным), равен нулю.

Важные теоремы, которые говорят о связи понятия интегрируемости функции с другими свойствами функции. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке - это ограниченность, если функция интегрируема, то она и ограничена на отрезке [a, b]. Обратная теорема не верна. Существуют функции ограниченные, но при этом неинтегрируемые функции.

Другая важная теорема, которая нам сразу позволит выделить огромный класс функций, для которых существует определенный интеграл, это непрерывные функции. Достаточное условие интегрируемости. Если функция непрерывна на отрезке, то она и интегрируема на этом отрезке. Важный класс интегрируемых функций - это непрерывные функции.

Перейдем к свойствам определенного интеграла. Эти свойства мы будем использовать в дальнейшем для вычисления определенных интегралов. Первое свойство говорит о том, что если поменять пределы интегрирования местами, то интеграл меняет свой знак на противоположный. Свойство линейности - оно повторяет свойство линейности, записанное для неопределенного интеграла, не забываем только писать пределы интегрирования.

Третье свойство часто используется при вычислении площадей плоских фигур. Если функция интегрируема на отрезке, то она интегрируема и на любом другом отрезке, содержащемся в данном, и интеграл разбивается на два слагаемых.

Если функция не отрицательна, то это свойство легко иллюстрируется площадью криволинейной трапеции, построенной для функции f на отрезке [a, b], равна сумме площадей криволинейных трапеций двух других S1 и S2. Но следует еще помнить, что эта формула выделенная справедлива не только в том случае, когда точка c лежит между отрезками, между точками a и b, но и при любом другом взаимном расположении точек a, b и c.

Свойства интеграла для четной и нечетной функции. Для симметричного отрезка [-a, a] интеграл может быть сужен до рассмотрения на отрезке от [0, a]. Для четной функции мы получим удвоенный такой интеграл, а для нечетной функции интеграл будет равен нулю. Ну, и иллюстрации показывают, для нечетной функции площадь разбивается на две части симметричные и для четной тоже. Для нечетной функции слагаемые отличаются знаком. Для четной функции сумма слагаемых получается в два раза больше, чем каждый из них.

Свойства, связанные с неравенством. Если функция неотрицательная, то интеграл от этой функции также принимает неотрицательное значение. Если меньше нуля, то соответственно интеграл будет тоже меньше либо равен 0. Вследствие легко получаете из этого свойства, если функция f1 и f2 связанны неравенством (больше либо равно), то и интегралы от этих функций на отрезке [a, b] также связаны этим же неравенством.

Шестое свойство. Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции.

Седьмое свойство. О среднем значении интегрируемой функции. Это свойство говорит о том, что если функция интегрируема на отрезке [a, b], то существует такое значение c, принадлежащее отрезку [a, b], что интеграл равен произведению длины отрезка на значение функции в этой точке. Значение, на картинке мы видим, μ, равной f(с), называется средним значением функции на отрезке [a, b].

Для того чтобы перейти к вычислению определенных интегралов нам нужно рассмотреть понятие интеграла с переменным верхним пределом. Итак, пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. По свойствам определенного интеграла она интегрируема на любом отрезке, содержащимся в этом отрезке. Мы будем рассматривать отрезок от [a, х], где x переменная величина, принимающая значение [a, b]. В этом случае каждому значению x ставится в соответствие свое значение интеграла Ф(x). Ф(х) становится функцией переменной x, пробегающей значения [a, b]. Эта функция и называется интегралом с переменным верхним пределом. Если функция f неотрицательная, то f(x) - это площадь криволинейной трапеции для отрезка [a, х]. При изменении х значений f(x) меняется.

Теорема об этом интеграле. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], тогда функция Ф(x) интеграла с переменным верхним пределом обладает следующим свойством. Интеграл с переменным верхним пределом является непрерывной функцией на отрезке [a, b], дифференцируемой функцией на интервале (a, b), при этом производная этой функции равна подынтегральной функции f(x) в любой точке x из интервала (a, b). Из этой теоремы мы получаем очень важные выводы. Так как функции Ф и f связаны дифференцированием, то функция Ф(x) является первообразной функции f(х). И поскольку это первообразная, из определения неопределенного интеграла следует, что неопределенный интеграл функции f(x) это Ф(х) +с. И последнее. Записанная здесь формула показывает связь между неопределенным и определенным интегралами. Именно эту связь мы будем использовать дальше для вывода формулы Ньютона-Лейбница. Пусть F(x) (F большое от x) некоторая первообразная функции f(х), тогда функция Ф(х) интеграла с переменным верхним пределом, являясь также первообразной функций f(x) отличается от F(x) на константу. Это означает, мы можем записать формулу. Будем подставлять в эту формулу x равные а, получаем, слева интеграл имеет верхний и нижний пределы интегрирования равные а, а он равен нулю. Отсюда получаем значение c равно минус f большое от а (F(a)). Подставим выделенную формулу вместо верхнего предела х x=b. Получаем определенный интеграл [a, b] равен F(b)+c. Но значение c мы нашли выше и получаем формулу. И F(b)-F(a), учитывая замечания, что переменная в определенном интеграле может быть любой, мы выводим в результате формулу Ньютона-Лейбница. Итак, определенный интеграл функции f на отрезке [a, b] равен разности значений первообразной F в точках b и а, на концах отрезка.

Для решения задач, связанных с вычислением определенного интеграла, часто разность F(b)-F(a) записывается в виде F(x), дальше вертикальная черта и пределы интегрирования а и b записываются после черты. В таком случае формула Ньютона-Лейбница записывается в следующем виде.

Это вычисление обладает некоторыми свойствами, которые оказываются далее полезными при решении практических задач. Это свойство линейности - вычисление от суммы функций развивается в сумму вычислений. И постоянный множитель также можно вынести за знак этого вычисления.

Простейший пример. Мы пока не занимаемся вычислениями интеграла, но посмотрите, как можно использовать эти свойства. Можно, конечно, вычислить значение функции в точке 2, и затем вычислить в точке -1, и написать разность этих двух чисел. А мы используем свойство, которое сформулировали выше. Свойство линейности используется следующим образом. Дальше мы 1/3 умножаем на разность значений x в кубе в точках 2 и -1 и так далее. И вычисление приходит вот к такому завершению. Получаем ответ.

Перейдем к геометрическим приложениям определенного интеграла. Первое приложение - площадь криволинейной трапеции, мы об этом уже говорили. Если плоская фигура ограничена графиками двух функций f и g, причем график функции f расположен выше графика функции g, при этом неважно ось Оx выше или ниже этой фигуры расположены, границами также служат прямые x=a и x=b - вертикальные прямые, площадь этой фигуры равна интегралу от разности функций f и g (из верхней функций вычитаем нижнюю функцию) на отрезке [a, b].

Объем тела вращения. Что такое тело вращения? Пусть криволинейная трапеция вращается вокруг оси Оx. Тело, полученное при вращении, мы называем телом вращения. Индекс x показывает, что трапеция вращалась относительно оси Оx. Формулу вы видите. Также для этого тела вращения определенный интеграл позволяет вычислить и площадь поверхности. Формула -пожалуйста.

Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси Оy, мы также получаем тело вращения. Для вычисления объема можно использовать и предыдущую формулу, только переобозначив переменные x и y, а можно использовать формулу, которую вы видите на этом кадре.

Следующее приложение - это вычисление длины кривой. В том случае если кривая является графиком функции f на отрезке [a, b], то длина выражается следующей формулой. Если кривая задана параметрически (x - это функция переменной t и y -  функция переменной t) на некотором отрезке [a, b], то формула длины кривой имеет вид.

Перейдем к вычислению определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла применяются те же самые методы, которые мы рассматривали для неопределенного интеграла. Для иллюстрации некоторых особенностей мы перейдем к вычислению, к решению практических задач.

Проиллюстрируем метод замены переменной. Введем новую переменную, обозначив подкоренное выражение t^2. Найдем dx - это дифференциал t^2 - производная 2t и не забываем умножить на дифференциал переменой – dt. Особенность вычисления определенного интеграла заключается в том, что мы должны изменить также пределы интегрирования. В первоначальном интеграле нам даны границы изменений переменной x, новый интеграл будет содержать переменную t. Узнаем, как изменяется переменная t, если x было равна нулю, то, глядим на формулу - x это t^2, нам нужно узнать, чему равно t. Ну, давайте посмотрим, как t выражается. x принимает положительное значение, t при этом это корень из x. Если x было равно нулю, корень из x принимает значение 0. Если x (верхнее значение, значение верхнего предела) это 4, то t равно двум. Получаем новый интеграл. В числителе вместо dx мы пишем 2tdt, в знаменателе - корень из t^2 (вообще говоря это модуль t, но t у нас принимает положительное значение поэтому это t), плюс 1. Пределы интегрирования у нас изменяются от 0 до 2. Получили дробно-рациональную функцию. Давайте начнем с того, что вынесем 2 за знак интеграла. Множитель dt мы напишем здесь. В знаменателе t+1, в числителе t. Дробно-рациональная функция находится под знаком интеграла. Начинаем анализировать ситуацию с того, что правильная эта дробь или нет. Эта дробь неправильная, значит мы должны выделить целую часть (разделить с остатком). Здесь удобно выполнять тождественные преобразования. Добавим единицу и вычтем единицу и разделим с остатком. Так под знаком интеграла мы получаем (так не забываем писать пределы интегрирования - это у нас определенный интеграл, t изменяется от 0 до 2), так мы видим при делении числителя на знаменатель мы получаем, целая часть единица и следующее слагаемое - это правильная дробь. Пользуемся свойством линейности и записываем два интеграла dt от 0 до 2 минус, не забываем умножить на 2 второй интеграл, dt деленное на (t+1), t изменяется от 0 до 2. Первый интеграл сразу же является табличным. Во втором под знак дифференциала внесем (t+1) и дальше применим таблицу интегралов. Первый интеграл 2t, второй интеграл минус два натуральных логарифма модуля (t+1). Сейчас мы либо за все выражение ставим вертикальную черту, но, пользуясь свойствами вычисления, мы можем написать пределы интегрирования после вертикальной черты у первого слагаемого от 0 до 2 и для второго слагаемого тоже от 0 до 2. Выполняем вычисление. 2 умноженное давайте подробно напишу - верхнее значение t это 2, нижнее значения t – ноль) на (2-0), минус 2 умножить на натуральный логарифм верхнего значения (так я напишу 2 умножено на верхнее значение (подставляем вместо t двойку)- это 3) минус подставляем нижнее значение логарифм единицы. Логарифм единицы - это ноль, поэтому следующее - это уже будет запись, это уже будет окончательный ответ. Мы получили два умножить на два - это четыре, минус два натуральных логарифма от трех (4-2ln3).

Перейдем к вычислению определенного интеграла методом интегрирования по частям. Под интегралом находится произведения двух функций x и е в степени x, которые не связаны друг с другом дифференцированием, поэтому единственный метод, который здесь может применяться, это интегрирование по частям. Выделим функцию u это будет x и в качестве dv это будет второй множитель составляющей - подынтегральное выражение е^xdx. Для того чтобы применить формулу мы находим du и находим v. u равно x, du равно dx. v находим интегрированием dv. Очевидно, это е в степени x. Так, применяем формулу. Помним, мы должны перемножить функции u и v - это x*е^x минус интеграл vdu (это е^x – v, du - это dx). Если бы мы вычисляли неопределенный интеграл и пределов интегрирования не было бы, то дальше мы бы написали ответ в виде семейства функций, мы бы написали функция плюс с. Но не забываем, наши вычисления относятся к определенному интегралу. Это означает, что и здесь мы должны написать те же самые пределы интегрирования, значения граничные. Как изменяется у нас переменная x? От нуля до единицы. Вычисляем произведение в точке единицы - это 1 умноженное на e^1 минус 0 умноженное на е^0 минус интеграл равен е^x от нуля до единицы. e минус, это значение равно нулю, е минус е^1 минус е^0. e-(е-1). Раскрывая скобки, мы получаем единицу. Решение завершено.