Математика. Материалы курса

Тема занятия довольно интересная. Интегрирование. Вообще, мне кажется, процесс интегрирования он очень творческий. Кто-то предпочитает разгадывать кроссворды и сканворды, а у нас, математиков, всегда есть приятное занятие: пораскинуть мозгами и порешать задачки.

Интегрирование тригонометрических функций. Итак, что делать, если под знаком интеграла у вас встречается синус, косинус, тангенс и котангенс, связанные между собой какими-то знаками операций и так далее. Всегда есть универсальная тригонометрическая подстановка. Видите название такое: «универсальная». Почему? Оказывается, все перечисленные функции легко выражаются через тангенс половинного угла t=tg(x/2). Вот, посмотрите, просто я не пишу вывод конкретный этих формул, оказывается sin(x) через tg(x/2) выражается: sin(x)=2tg(x/2)/(tg(x/2))^2+1=2t/(1+t^2), cos(x) выражается: cos(x)=(1-(tg(x/2)^2)/((tg(x/2))^2+1)= (1-t^2)/(1+t^2), понятно, что tg(x)=sin(x)/cos(x) - это отношение также как и ctg(x)=cos(x)/sin(x) – опять выражается. Кроме того, из этой универсальной подстановки легко выражается x и находится дифференциал dx=2dt/(1+t^2). Итак, все функции выражаются через тангенс половинного угла tg(x/2). В принципе, мы могли бы сказать, что мы больше нечего и рассматривать не будем, но беда в том, что эта замена иногда приводит к очень громоздким вычислениям.

Пример 1. Под знаком интеграла: dx/(sin(x)-2cos(x)). Так. Когда мы применяем универсальную тригонометрическу подстановку? Когда мы других приемов не видим. Нет формул, которые позволили бы нам как-то это преобразовать. Хотя, тут некоторые способы есть, конечно. Вот когда ничего другого на ум не приходит, кроме того, важно, когда sin(x), cos(x) и другие функции, которые встречаются под интегралом лучше всего в первых степенях.

Итак, давайте применим универсальную тригонометрическую подстановку – это t=tg(x/2). Давайте еще раз выпишем, на что мы будем заменять все, здесь встречающиеся, выражения. Так, нам надо знать, на что будем заменять sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/ (1+t^2) и dx = 2dt/(1+t^2). Вот такие замены. Так, возвращаемся к интегралу. На всех местах пишем то, что мы имеем. Итак, в числителе дроби появляются, конечно, двухэтажные, но мы не торопимся (см. видео). Можно, конечно, поступить так: привести к общему знаменателю, тем более тут и знаменатели все одинаковые. Но для меня всегда удобнее взять и умножить числитель и знаменатель на 1+t^2. Давайте посмотрим, что в результате получается. (см видео) под знаком интеграла: 2dt/(2t-2+2t^2). Очевидно, что надо сократить на 2. В знаменателе напишем степени t в порядке убывания. Итак (см видео), под знаком интеграла: dt/(t^2+t-1).

Вообще, цель подстановок - привести к дробно-рациональной функции, что мы и получили. Это простейшая дробь. Здесь можно разложить на множители, но все-таки проще нам будет выделить полный квадрат знаменателя. Итак, это под знаком интеграла: (dt+1/2)/(t + ½)^2 -5/4. Практически мы уже получили табличный интеграл, только в место t под знаком дифференциала в числителе мы допишем ½: dt+1/2. Табличный интеграл – (см. видео).

Давайте все-таки немножко упростим эти выражения (см. видео), чтобы не было такой громоздкой записи: числитель и знаменатель дроби давать опять умножим на 2, избавимся от четырех этажей. (См. видео)

Вообще говоря, мы почти уже в финале. tg(x/2)=t, поэтому дальше заменяем на tg(x/2) переменную t везде, где она встречается (см. видео). Ответ получен. Отлично.

Так давайте еще раз вам скажу: универсальная тригонометрическая подстановка, несмотря на свою универсальность, часто приводит к очень громоздким, настолько громоздким выражениям, что желание возникает вычислять интеграл как-то иначе. Какие ещё существуют способы?

Чуть-чуть теории. Итак, если у вас под знаком интеграла находится функция, связывающая sin(x), cos(x), мы вводим такие термины: подынтегральная функция является нечетной относительно sin(x), относительно cos(x) и четная одновременно относительно и sin(x) и cos(x). Что это означает: что значит нечетная относительно синуса - это значит если подынтегральная функция содержит sin(x) мы заменим на -sin(x), то знак минус можно вынести перед всей функцией, то же самое про cos(x). А что такое четно относительно sin(x) и cos(x) одновременно: это значит, что если мы вместо sin(x) и cos(x) подставим -sin(x) и -cos(x), то после преобразования мы приходим к первоначальной функции. Посмотрите, какие используются подстановки в каждом из этих случаев (см. видео). Проще всего, конечно, это рассмотреть на практике, как мы анализируем ситуацию.

Пример 2. Под знаком интеграла: (1-sin(x))dx/cos(x).

Посмотрите, если я вместо cos(x) подставлю -cos(x), то минус мы можем вынести. То есть функция является нечетной относительно cos(x). Значит подстановка t=sin(x)- вот что нам говорит та таблица. Итак, функция нечетная относительно cos(x) подынтегральной функции, значит замена переменной t=sin(x). Давайте посмотрим, ведь у нас должен появиться интеграл, где есть dt, что мы обведем как dt? Это будет cos(x)dx (см. видео). Но мы нигде здесь не видим cos(x). О чем это говорит: что мы должны выполнить дополнительное преобразование - умножить числитель и знаменатель на cos(x). Давайте это мы и сделаем. (См. видео) знаком интеграла (1-sin(x)) cos(x)dx / (cos(x))^2. Смотрите, cos(x)dx=dt и что получилось замечательного: (cos(x))^2 прекрасно выражается через sin(x): (cos(x))^2 =1-(sin(x))^2=1-t^2 (см. видео). Всё, мы готовы перейти к новой переменной t. Так, смотрим в числителе: 1-t, знаменатель: 1-t^2 и здесь у нас dt (см. видео) под знаком интеграла: (1-t)/( 1-t^2). По формуле разности квадратов 1-t^2 =(1-t)*(1+t), после сокращения под знаком интеграла остается dt/(t+1). Дальше практически мы получаем ответ. Помним, как это мы делаем. Осталось вернуться к переменной x: t=sin(x). Смотрите, как все хорошо получилось: ln|sin(x)+1|+C (см. видео). Ответ получен. Кстати, модуль здесь можно убрать, потому что выражение, стоящее под знаком логарифма больше либо равно 0. Так, все, задача решена.

Пример 3. Под знаком интеграла: tg(x)dx. Я вам говорила, что вычисление интегралов – очень творческая задача, и один и тот же интеграл позволяет применить много разных методов. Вот давайте посмотрим пример 3. Я проиллюстрирую вам эту мысль. Во-первых, tg(x) нет в таблице интегралов, и все замены сводятся к синусу и косинусу. Поэтому вначале мы выразим тангенс: tg(x)=sin(x)/cos(x) (см. видео). Посмотрим, какие здесь методы работают. На самом деле, я бы даже не обращалась к тригонометрии. Самый простой путь - это внесение функции под знак дифференциала. Смотрите, что я могу заметить, я напишу под знаком интеграла: -(1/cos(x))*(-sin(x))dx (см. видео). Что мы видим: есть функция cos(x) и есть её производная, которая оказывается множителем перед dx с учетом знака минус (см. видео). Самое простое решение – это под знаком интеграла: -(dcos(x))/(cos(x)) (см. видео). Мы сразу получаем табличный интеграл. Посмотрите, мы вообще не анализировали, является ли это функцией от тригонометрических функций и, вообще, теория этого занятия нам при таком подходе даже не потребовалось. Нам только нужно знать таблицу производных, таблицу интегралов и прием внесение функций под знак дифференциала. И мы получаем –ln|cos(x)|+C.

Так, вот давайте сейчас посмотрим другие способы. Это был первый способ. Второй способ и мы его не будем рассматривать: универсальная тригонометрическая подстановка – это t=tg(x/2). Тут не будет слишком сложно, но все равно это не оптимальный путь. Так, третий способ.

Если мы записали этот интеграл через sin(x) и cos(x): под знаком интеграла sin(x)/cos(x), то давайте проанализируем исходя из этой таблицы (см. видео): итак, мы должны проверить, что выполняется условие нечетность относительно синуса, нечетности относительно синуса или четность относительно синуса и косинуса одновременно.

Итак, смотрите, если вместо синуса подставим минус синус x можно вынести минус за знак интеграла, то же самое касается косинуса и в-третьих, если мы поменяем знак и у синуса, и у косинуса, то мы получим первоначальный интеграл - это говорит о том, что все замены работают (см. видео).

Посмотрите, мы рассмотрели первый прием, кроме этого еще появляется пять способов решения этой задачи.

Давайте, например, я хочу использовать вот такую замену переменной: t= sin(x). Будем использовать t=sin(x). Так, давайте напишу t= sin(x), и тогда у нас должно появиться dt=cos(x)dx. Итак, множителя-косинуса здесь нет, поэтому мы берем и домножаем под знаком интеграла: (sin(x)/cos(x)^2)*cos(x)dx (см. видео). Опять, смотрите, sin(x)=t, cos(x)dx=dt и осталась cos(x)^2. По основному тригонометрическому тождеству cos(x)^2=1-sin(x)^2 ,то есть 1-t^2. Смотрите, что мы получаем: (см. видео). Это неправильная дробь, дробно-рациональная функция, мы должны поделить с остатком (см. видео). И что мы видим (см. видео). Так, все интегралы оказались табличными, что мы видим и так это - t –ln|(t-1)/(t+1)|+C.

Итак, пришли к такому интегралу, делаем замены. Это получилось в числителе t и знаменателе 1- t^2 и cos(x)dx=dt. Так, мы вынесем -1/2. -1/2 * под знаком интеграла: 2tdt/(t^2-1) (См. видео). Для чего мы это сделали: чтобы внести под знак дифференциала 2t. Итак (см. видео). -1/2ln|t^2-1|+C. Итак, дальше заменяем t на sin(x): -1/2ln|sin(x)^2-1|+C. Очевидно, модуль будет равен sin(x)^2-1= cos(x)^2 в свою очередь. Да. И мы получаем -1/2ln| cos(x)^2 |+C (хотя дальше тоже можно еще выполнить некоторые преобразования). Итак, задача решена. Ну и, конечно, всегда мы должны пользоваться тригонометрическими формулами (см. видео), где это возможно. Вот самый простой пример, когда у вас под знаком интеграла какая-то четная степень синуса или косинуса. Формулы понижения степени: cos(a)^2=(1+cos(2a))/2. Так, что мы здесь делаем: пишем 1/2 и под знаком интеграла: (1+cos(6x))dx. И мы практически, я не буду сейчас вдаваться в подробности, получаем уже ответ 1/2x - это интеграл от первого слагаемого, от второго слагаемого получается: 1/12sin(6x)+C.

Все примеры мы рассмотрели. Желаю успехов!