Математика. Материалы курса

Интегрирование иррациональных выражений

Сегодня мы на практическом занятии рассмотрим еще очень важный класс функций, способы их интегрирования. Интегрирование иррациональных выражений, таких которые содержат корни каких-то степеней. Как при этом поступить? Допустим, у Вас под интегралом находится рациональная функция от выражений, содержащих корни от дробно-рациональной функции, от дробно-линейной функции, да, понятно, что c и d одновременно в ноль не обращаются, так же, как a и b. Так, ну и частный случай, когда знаменатель этой дроби – это единица. Как же мы поступаем? Мы вводим новую переменную, так, чтобы подкоренное выражение оказалось в такой степени, чтобы все корни извлекались. Что мы для этого делаем? Мы N берем наименьшее общее кратное чисел p, q и так далее. Это показатели степени корней. Ну и точно также в этом частном случае. Ну, конечно, проще всего посмотреть, как это работает на практике. Вот, посмотрите, под знаком корня находится линейное выражение 2x + 1 и здесь корень третьей степени, здесь корень второй степени. Логично взять и сказать, что выражение 2х + 1 это t в шестой. 6 – это наименьшее общее кратное чисел 3 и 2 показателей степеней корней, да? Так, давайте посмотрим, что же здесь произойдет? Корень третьей степени, это в квадрате, четвертая степень, и тут тоже все извлекается, прекрасно! Только надо еще понять, чему равно dx. Итак, выражаем х, х – это одна вторая t в шестой минус одна вторая, dx в результате оказывается равным, находим производную шесть t в пятой, 3 t в пятой dt. Все, переходим к замене. В числителе 3 t в пятой dt мы заменили dx. Сейчас внимательно, корень третьей степени – это будет t в квадрате и еще в квадрате, t в четвертой. Т в четвертой минус корень второй степени – это t в третьей, прекрасно. Давайте упростим, для этого тройку вынесем за знак интеграла, t в третьей является общим множителем, сократим на t в третьей, остается t в квадрате в числителе, в знаменателе после того, как t в третьей мы сократили, остается t – 1, dt. Можно делить столбиком, но проще, для неправильной дроби, полученной, выполнить преобразование. Делим почленно, после этого пишем t + 1 плюс единица, деленная на t – 1, ну а дальше мы получили совершенно простой интеграл, пользуемся таблицей интегралов, пишем 3, давайте, одна вторая t в квадрате плюс t, последние слагаемые дают нам логарифм модуля знаменателя, плюс с, ну и дальше, конечно, нам нужно вернуться к переменной х. Т в квадрате – это, получается, корень третьей степени, да, мы должны извлечь корень третьей степени. Итак, пишем – три вторых корня третьей степени из двух х плюс один, минус, что такое т – это корень шестой степени, будет 3 корня шестой степени 2х + 1, так, хорошо, и плюс 3 натуральных логарифма, вместо t опять пишем корень шестой степени из двух х плюс один, так, минус один и плюс с. Так, как видите, задача решена.

Здесь под знаком корня находится дробно-линейная функция. Она всего одна и, наверное, это неплохо. Что мы делаем? Какую замену? Мы обозначаем, наша задача избавиться от иррациональности, мы обозначаем подкоренное выражение через t в квадрате, значит корень – это t, замена уже есть. Проблема сейчас dx. Для этого мы должны х выразить из этого выражения. Итак, х минус один – это хt в квадрате, х переносим в левую часть минус хt в квадрате равняется единице, х единица минус t в квадрате, это единица. Итак, х – это единица, деленная на единицу минус t в квадрате, тогда dx, давайте найдем dx – это производная, давайте так напишем, единица минус t в квадрате в минус первой, штрих dt, нам так проще вычислять интеграл, так ведь, производную? Итак, получили минус, получилось в минус второй степени, единица минус t квадрат, в квадрате и производная внутренней функции минус 2t, итак, минус 2t dt, так, в результате получаем 2t, деленное на единицу минус t в квадрате, в квадрате, dt. Так, переходим к интегралу, это t, а здесь 2t, единица минус t в квадрате, в квадрате, dt. Давайте мы этот пример уберем, потому что получается слишком сложно, мы погрязнем, то есть на него, я думаю, попроще будет пример 2. Убираем. Как бы все правильно, все хорошо, но он громоздким оказался. Так, сейчас. Не будем просто его рассматривать. Следующий способ, второй, как избавиться от иррациональности, обратиться к тригонометрии. Это касается тех случаев, когда под интегралом у Вас, Вы видите вот такие корни х квадрат и а квадрат, в разных комбинациях. В этом случае мы опираемся на формулы тригонометрии. Посмотрите, вот она, схема, как ее можно использовать, формулы, чтобы дальше применить формулы тригонометрии. Так, давайте посмотрим пример. Посмотрите, чтобы использовать одну из формул, я возьму х – это два синус t, что у нас появляется под корнем, давайте аккуратненько выпишем 4 минус х квадрат, это будет равно 4 минус 4 синус квадрат t, двойку мы выносим перед знаком корня, появляется под корнем основная тригонометрическая единица, дает нам косинус t. Так и dx у нас производная 2 косинус t и не забываем множитель dt. Обращаемся опять к интегралу. Первый множитель нам дает 2 косинус t и dx тоже дает 2 косинус t, ну еще dt. Так, четверку выносим за знак интеграла, под интегралом косинус квадрат t dt. Итак, получили интеграл от тригонометрической функции, а дальше, видите, задача, либо приходим к дробно-рациональной функции с помощью подстановки, либо к классу интегралов, о которых мы имеем представление, как их решать, знаем методы. Вот здесь мы применяем формулу понижения степени. Итак, это единица плюс косинус двух t пополам, и вот сокращаем на двойку, получаем такое выражение. Дальше находим интеграл от каждого слагаемого, интеграл от косинуса будет у нас синус, итак, плюс. Так, хорошо. Итак, получаем 2 t интеграл от косинуса – это синус с коэффициентом одна вторая, получаем плюс синус двух t плюс с, ну и дальше помним, что такое t, t у нас с х связано вот этой формулой, поэтому придется нам выразить отсюда у нас х пополам – это синус t, а t получается – это арксинус х пополам, поэтому это будет 2 арксинуса х пополам, синус двух t можно конечно выразить, но мы не будем это делать через х, итак, плюс синус двух арксинусов х пополам, пусть оставим в таком виде. И еще один подход, как можно избавиться от иррациональности, как убрать корни в подынтегральном выражении. Существует три подстановки Эйлера. Так, посмотрите, итак, они относятся к случаю, когда у Вас под знаком интеграла находится рациональная функция относительно х, и корни из квадратного трехчлена. Первые, они не связаны с корнями, первые две, а третья подстановка, она связана с корнем квадратного трехчлена. Так, давайте рассмотрим пример. Итак, что мы сделаем? Мы обозначим корень t минус х. Чем я руководствуюсь, выбирая подстановку Эйлера? Ну, тем, что мы имеем, смотрите, при такой замене у нас х плюс корень – это t, знаменатель у нас сразу становится переменной t, вся проблема, как найти dx, что мы для этого делаем? Это выражение возводим в квадрат, преобразуем, возводя в квадрат правую и левую части, t квадрат минус 2 tx плюс х квадрат, так х квадрат справа и слева у нас уничтожается и х в общем то лего выражается, давайте посмотрим, 2 tx – это t в квадрате минус 1, и отсюда х – это t квадрат минус 1, деленное на 2t. Так, что здесь главная задача найти х и найти dx, так находим производную дроби, производная числителя 2t умножаем на 2t – это 4t квадрат минус производная знаменателя – это 2 умножаем на числитель 2t квадрат плюс 2, так знаменатель в квадрате, 4t квадрат dt. Так, что мы получаем? 2t квадрат плюс 2, понятно, что можно сократить на двойку, получается t квадрат плюс 1, деленное на 2 t квадрат dt, вот, что получилось, так, переходим к интегралу. Dx у нас выражение t квадрат плюс 1, 2 t квадрат, и в знаменателе у нас еще есть t, да, я вот так напишу, dt. Давайте одну вторую вынесем за знак интеграла, остается t квадрат плюс 1, деленное на t в кубе. Делим почленно числитель на знаменатель, единица, деленная на t, плюс, давайте напишем t в минус третьей, чтобы нам было удобней интегрировать, dt. Итак, одна вторая, первое слагаемое дает логарифм модуля t, второе слагаемое прибавляем единицу, стало у нас минус 2 и делим на минус 2. Так, стало минус одна четвертая t в минус второй, да, плюс с. Все, осталось вернуться к переменной х. Так, t – это х плюс корень из х квадрат плюс 1. Так, пишем ответ, одна вторая натуральный логарифм модуля вот этого выражения, немножко громоздкий получается ответ, да, ну мы ничего не можем сделать для этого. Итак, минус одна четвертая, да, и в знаменателе будет еще квадрат этого выражения х плюс корень из х квадрат плюс 1 в квадрате, ну и плюс с. Все. Задача решена. Так, здесь х в квадрате у нас, да? Так, задача решена.