Математика. Материалы курса

Продолжаем тему интегрирования дробно-рациональных функций.

Итак, неправильная дробь раскладывается в сумму многочлена и правильной дробно-рациональной функции. Следующим шагом мы представляем правильную дробь в виде суммы простейших дробей четырех типов. Многочлены, простейшие дроби являются интегрируемыми функциями. Сегодня мы остановимся на шаге, как представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей. Итак, тема лекции - разложение правильной дробно-рациональной функции в сумму простейших дробей. Вначале остановимся на основных этапах разложения дроби в сумму простейших - это три пункта. И следующим шагом остановимся на каждом из этих пунктов.

Итак, разложение знаменателя дроби на множители. Обратите внимание, дробь правильная, многочлен в числителе P имеет степень меньшей степени знаменателя Q. Это важное условие разложения дроби на сумму простейших. И мы только знаменатель раскладываем на множители. Любой многочлен степени больше двух раскладывается на множители с точностью до постоянного множителя. Поэтому множителями знаменателя могут быть только многочлены вида (x-a)^k (x минус а в степени k) и квадратный трехчлен в натуральной степени, и дискриминант этого многочлена меньше нуля. Итак, это важный факт элементарной математики, на который следует обратить внимание.

Второй этап - представление дроби в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами А, В, С - это неопределенные коэффициенты. Это означает, что мы не знаем их значение до некоторой поры. Следует усвоить следующую таблицу: если множители знаменателя имеет вид (x-a)^k (x минус а в степени k) и оставшиеся множители знаменателя на x-a не делятся, то этому множителю знаменателя соответствует сумма k простейших дробей - в числителе находится неопределенный коэффициент, в знаменателе - степени x-a (линейного выражения) от единицы до k. Cтепень линейного множителя (x-a) - k и слагаемых будет ровно столько же - k слагаемых. Если множителем является квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом в степени k, то этому множителю также соответствует k слагаемых, степень знаменателя увеличивается от единицы до k, а в числителе находятся линейные многочлены.

Давайте посмотрим, как это осуществляется на практике. Первый шаг, с чего мы начинаем, обращаем внимание, что дробь правильная. Числитель – x^2 (вторая степень), в знаменателе - x (первая степень), затем линейный множитель в третьей степени, квадратный многочлен во второй. Мы получаем 1 + 3 + 4 - явно степень больше, чем 2. Итак, дробь правильная. Первый множитель знаменателя (знаменатель уже разложен на множители) - это линейный множитель (x-0) в первой степени. Ему соответствует одно слагаемое поскольку степень первая - A/x. Следующему множителю (x-1)^3 (икс минус один в третьей степени) соответствуют три слагаемых. Знаменатель (x-1)^3 (икс минус один в третьей степени), значит степень линейного многочлена (x-1) увеличивается от единицы до трех. И последний множитель – это (x^2+x+2)^2. Вторая степень квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Степень изменяется от единицы до двух, и получаем еще два слагаемых. Итак, обратите внимание - три множители в знаменателе и три группы слагаемых, отвечающие каждое за свой множитель. Итак, тот самый результат, который мы уже видели.

Давайте попробуем выполнить упражнение - разложить в сумму простейших дробей такие дробно-рациональные функции. Итак, первый пример. С чего мы начинаем - и это обязательный шаг - убеждаемся, что это правильная дробь. Кроме того? к выражению x^2 относимся как к (x-a), в частности, здесь а равно нулю, во второй степени и так это линейные многочлены во второй, первой и первой степени, согласно правилу, сформулированному правилу, мы должны записать x^2 - это два слагаемых. И следующие (x-1) и (x-2) по одному слагаемому.

Следующий пример. Опять проверяем, что дробь правильная. следующий шаг здесь (x^2-1) может быть разложен на множители. Поэтому мы это преобразование выполняем. Итак, правильная дробь и окончательное разложение на множители имеет такой вид. Здесь в знаменателе мы имеем три сомножителя: первые множители это многочлен второй степени, не разложимый на линейные множители, и два линейных множителя - первому множителю будут отвечать два слагаемых, вернее один слагаемый, но вида (x+b) в числителе и двум другим множителям еще два слагаемых.

Третий пример. Дробь правильная- проверяем, два меньше чем четыре. Раскладываем на множители знаменатель, ну, и ситуация примерно такая же как во втором примере. Итак, получаем примерно такой же результат, как в задании два.

Четвертый пример. Здесь нужно быть очень внимательными, потому что если мы начнем раскладывать знаменатель на множители и применять сформулированное правило, то это будет ошибкой. Почему? Потому что дробь неправильная, степень числителя и знаменателя равны. Это неправильная дробь и мы должны представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби. Здесь нетрудно заметить, что можно просто почленно поделить. И получаем такое преобразование. Только после этого знаменатель правильной дроби раскладываем на множители. И эта дробь представляется в виде суммы двух простейших дробей. Итак, задание выполнено.

Третий этап - определение числовых значений. Мы научились представлять дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами, но значения их не известны. Как вычислить значение этих коэффициентов? Для этого применяются два метода: метод неопределенных коэффициентов (это универсальный метод) и метод вычеркивания (особый, он применяется для отдельных случаев, мы его разберём попозже.

Метод неопределенных коэффициентов. Давайте рассмотрим, как он применяется на практике. Итак, правильная дробь (степень числителя меньшей степени знаменателя), поэтому раскладываем знаменатель на множители. Три линейных множителя в первых степенях, каждому множителю соответствует одно слагаемое с неопределенными коэффициентами в числителе. После этого приводим полученные дроби к общему знаменателю. На этом этапе бывают ошибки. Обратите внимание, общий знаменатель этих дробей тот же самый, который имела первоначальная дробь. Умножая на дополнительные множители (это известное всем преобразование), получаем следующий результат. Раскрываем скобки и дальше группируем слагаемые, которые являются подобными. Выносим x^2 за скобку, x за скобку и получаем следующее выражение. Что мы получили? Первоначальная дробь равна дроби в числителе, в которой есть неопределенные коэффициенты. Давайте выпишем отдельно полученное равенство. Что мы видим? Две дроби равны, знаменатели у них равны значит числители должны быть тоже равны. Выписываем равенство числителей. По своей природе это равенство двух многочленов. Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Давайте посмотрим, где эти коэффициенты при одинаковых степенях переменных. У нас в наличии в этом равенстве есть вторая степень, первая и нулевая (нулевая - это числа). Равенство коэффициентов при x². В левой части x² отсутствует, значит коэффициент равен нулю в правой части a + b + c. При первой степени x в левой части - это два, в правой части - это b-c. И, наконец, нулевая степень это -1 в левой части и в правой части – А. Получили систему линейных уравнений. Решая ее, получаем ответ А равно, В равно и С равно указанным значениям. Возвращаемся к тому представлению дроби, которые мы получили на первом этапе. Поскольку значения неопределенных коэффициентов мы определили, вычислили, то мы можем записать окончательный результат. Итак, правильная дробь оказалась представлена в виде суммы простейших дробей.

Ну, и сейчас другой способ определения коэффициентов - метод вычеркивания. Давайте вернемся к той схеме, которой мы пользовались для написания разложения правильной дроби в виде суммы простейших. Так вот, метод вычеркивания применяется для вычисления не всех неопределённых коэффициентов, а лишь, посмотрите, в этой схеме участвует лишь тот коэффициент, который находится над наивысшей степенью линейного множителя. Если линейный множитель находится в первой степени (k=1), то слагаемое в правой части всего одно - это A₁/(x-a) и A₁ находится. Метод вычеркивания особенно хорош, когда все множители знаменателя представляют собой линейные множители в первых степенях - линейные многочлены.

Как вычислить коэффициент A_k (А с индексом k)? Итак, правильная дробь, разложили знаменатель на множители и оказалось знаменатель - это некоторое выражение. Обозначили его R(x) (это представление мы так условно написали, это произведение других множителей) и множитель (x-a)^k. Обратим внимание, что R(x) не содержит множителя (x-a), то есть в точке а не обращается в нуль. Как найти A_k? Метод вычеркивания состоит в следующем. Нужно в первоначальной дроби в левой части этого равенства, посмотрите, что сделать, нужно убрать (x-a)^k и подставите в оставшуюся дробь число а.

Итак, давайте посмотрим, проще, наверно, объяснить это на примере, как это происходит. Мы уже видели эту дробь и мы нашли числа А, B и C методом неопределенных коэффициентов. Давайте посмотрим, как эти числа, и вы увидите, что это очень быстро, находятся методом вычеркивания. Итак, число А, оно (этот коэффициент) находится над первой степенью x, также как и b, и c, и все они могут быть вычислены (определены) методом вычеркивания. Как мы находим А? Мы берем дробь, которая была написана (2x-1), знаменатель x, (x-1), (x+1). Поскольку А находится над x, то мы вычеркиваем x и подставляем вместо x то значение, где вычеркнутое равно нулю. То есть вместо x подставляем 0, получаем минус 1 в числителе и в знаменателе - произведение (-1) и (1). Дробь равна единице. Так давайте посмотрим, как найти число В. Записываем дробь, которую мы раскладывали в сумму простейших. Число В находится над множителем (x-1), вычеркиваем (x-1) и в оставшуюся дробь подставляем x=1. Это то значение (единица), где вычеркнутое равно единице. Нетрудно сосчитать, что это число 1/2. Ну, и попробуйте сами, как найти число С. Итак, нужно написать первоначальную дробь зачеркнуть (x+1) и подставить -1. Посмотрите. И мы получаем значение, и разложение, оказывается, осуществлено очень быстро. Здесь есть, конечно, опасность, что вы можете использовать метод вычеркивания там, где он неприменим. Поэтому если вы сомневаетесь, то вы всегда можете использовать метод неопределенных коэффициентов, который работает, и во всех случаях, и не имеет никаких ограничений.

Давайте посмотрим, чтобы не ошибиться мы рассматривали эти примеры (уже раскладывали в сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами). Давайте выясним какие из этих неопределенных коэффициентов могут быть найдены методом вычеркивания. Внимание! Помним, что это те коэффициенты, которые находятся над наивысшей степенью линейного множителя. В первом примере - это коэффициенты B, C и D. Наивысшая степень первого множителя - вторая (x^2), а (x-1) и (x+2) находятся в первых степенях. В следующем примере (x^2+5) не является линейным множителем, там коэффициенты А и В не находятся методом вычеркивания, а числа С и D – пожалуйста (могут быть вычислены таким методом). В примере три ситуация точно такая же. Мы уже говорили об этом. Числа C и D снова определяются методом вычеркивания. В примере четыре оба множителя (x) и (x-2) являются линейными в первой степени, поэтому оба числа А и В определяются методом вычеркивания, поэтому пример четыре здесь, наверное, наиболее является выигрышным, поскольку здесь все коэффициенты находятся методом вычеркивания без решения систем уравнений.

Наша тема называется интегрирование дробно-рациональных функций. Давайте перейдем к вычислению интеграла. Очевидно такого интеграла нет среди табличных. Выпишем подынтегральную функцию. Эта функция относится к классу дробно-рациональных функций - в числителе многочлен нулевой степени, в знаменателе многочлен третьей степени, дробь правильная. Приступаем к схеме. Раскладываем знаменатель на множители и дальше глядим только на знаменатель. Первый множитель, мы его представляем как (x-0)^2 - это линейный множитель во второй степени, поэтому ему будет соответствовать сумма двух простейших дробей. И последний множитель (x-1). Первая степень - одно слагаемое. Давайте посмотрим, для каких чисел мы можем использовать метод вычеркивания. Вот над наивысшей степенью линейного множителя, надо посмотреть просто на первоначальную дробь и видим множитель x^2, значит над x^2, следующий множитель (x-1), значит над (x-1). Итак, мы можем определить методом вычеркивания два числа В и С. Итак, чтобы найти число В мы должны закрыть в первоначальной дроби x^2 и подставить вместо икс 0. Итак, мы получили -1 (минус один). Давайте запишем -1. Над (х-1) мы закрываем множитель (х-1) и подставляем в оставшуюся дробь х=1 (видим что это значение равно единице). А вот число А мы методом вычеркивания найти не можем, поэтому дальше мы применяем метод неопределенных коэффициентов. Приводим дроби к общему знаменателю. Можем даже не размышлять, это будет тот же самый знаменатель. Осталось только найти дополнительные множители. Здесь будет произведение x на (x-1) - это (x^2-x). Здесь дополнительный множитель (x-1) и здесь дополнительный множитель x^2. Давайте записываем. Получаем А*(x^2-x) -x+1+x^2 (я сразу раскрываю скобки). Мы получили равенство дробей - первая данная дробь равна полученной. Знаменатели дробей равны, поэтому равны и числители. Так, давайте мы посмотрим. Выписываем числитель первой дроби – единица. Давайте раскроем скобки А*x^2-A*x-x+1+x^2. Здесь нет необходимости писать много уравнений. Достаточно посмотреть ту степень x, при которой содержится x, например, при x во второй или при x в первой. Ну, давайте при x^2. Итак, коэффициент слева x^2 отсутствует - это ноль, справа – слагаемое, которое содержит x^2, - вот это и это. Если мы вынесем x^2 за скобку получаем (А+1). Итак, А=-1. Что мы видим? Первоначальная дробь представима в виде суммы простейших дробей, где все коэффициенты определены. Перейдем к вычислению интеграла. Используем ту запись, которую мы получили. Итак, мы получили коэффициенты в числителе -1, -1 и 1. Применяем свойства неопределенного интеграла - свойство линейности. Первый интегралов сразу оказался табличным, а два других, видимо, требует некоторых преобразований. Что мы сделаем со вторым интервалом? Вторую, переписываем, записываем подынтегральную функцию как степенную (x^(-2))dx, для того, чтобы можно было применить табличный интеграл, а в третьем интеграле вносим знаменатель выражение (х-1) под знак дифференциала. Замечаем dx и дифференциал (х-1) (d(х-1) равные, поскольку производные х и (x-1) равны между собой, значит равные дифференциалы. Все слагаемые оказались табличными интегралами в результате. Итак, это минус логарифм модуля x, следующий минус прибавляем к показателю единицы получаем -1 и делим на -1 и последнее слагаемое - натуральный логарифм модуля знаменателя. Не забываем писать плюс с (произвольная постоянная). Неопределенный интеграл — это семейство функций. Так разность логарифмов, для того чтобы ответ был немного покрасивее, запишем как логарифм частного, а второе слагаемое снова преобразуем — это получается у нас плюс единица, делённая на x. Ответ получен. Решение завершено