Математика. Материалы курса

Эта лекция посвящена исключительно важной теме - интегрированию дробно-рациональных функций. Для начала сформулируем определение. Дробно-рациональной функцией называется функция, представимая в виде отношения двух многочленов. Посмотрите, здесь символами P_n(x) и Q_m(x) обозначены многочлены переменной x, индексы обозначают степень многочлена. Различают правильные и неправильные дроби, для этого мы сравниваем степени многочленов - если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной, если больше либо равна, то неправильной. Самые простые примеры. Функции f и g - это образцы неправильных дробей. Обратите внимание, у функции f степень числителя равна четырем, знаменателя – трем, четыре больше трех – дробь неправильная. У функции g в числителе многочлен третьей степени также как и в знаменателе, степени равны - дробь также называется неправильной. И пример правильной дроби. Функция h является правильной поскольку степень числителя, это первая степень, меньше степени знаменателя - второй степени.

Сформулируем важное утверждение, которое мы будем использовать при интегрировании дробно-рациональных функций.

Любая неправильная дробно-рациональная функция представима в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Для того чтобы осуществить это представление, мы пользуемся двумя основными методами - это деление столбиком с остатком и тождественными преобразованиями этой функции. Давайте разберем каждый из этих способов на примере. Итак, функция f(x), мы ее рассматривали, представляет собой неправильную дробь. Деление столбиком осуществляем также, как мы это делаем для чисел. Смотрим на наивысшие степени: 2x^4 у функции в числителе находится и x^3 - в знаменателе. При делении мы получаем 2x, записываем под чертой умножаем на 2x многочлен x^3-x+2 и записываем также, как мы это делаем с числами. На следующем этапе выполняем вычитание. Ошибки, обратите внимание, часто совершаются студентами в этом именно месте. Обратите внимание, что 2x^2 остается со знаком плюс, поскольку здесь минус -2x^2, знак меняется. Ну, и в результате мы получаем 2x^2 нужно делить на x^3, степень меньше, чем третья, деление на этом останавливается. Итак 2x - это целая часть, а остаток это то, что мы получили под чертой. В результате функция f(x) записывается в виде суммы многочлена и правильной дроби. В числителе находится остаток, а знаменатель тот же самый, который был у функции f.

Для второй функции g(x), рассмотренной прежде, неправильной, мы выполним тождественные преобразования. Посмотрите, числитель мы представляем в таком виде, чтобы в скобках оказался знаменатель x^3+2. После этого остается выполнить деление каждого слагаемого числителя, почленные деления, мы называем. В результате получаем представление функции g виде суммы многочлена и правильной дроби.

Так давайте проанализируем ситуацию. Если мы имеем неправильную дробь, то она представима в виде суммы многочлена и правильной дроби. Следующий шаг. Как же интегрировать правильную дробь? Так вот оказывается любая правильная дробно-рациональной функция представима в виде суммы простейших дробно-рациональных функций. Коротко мы будем говорить рациональных дробей. Ситуация на этом этапе выглядит так. Неправильная дробь представима в виде суммы многочлена и правильной дроби, которая является в свою очередь суммой простейших дробей. Многочлен - интегрируемая функция. Осталось понять, что такое простейшие дроби и как они интегрируются.

Простейшие дробно-рациональные функции - это функции следующего вида. Мы рассматриваем, и существует вообще, всего четыре типа простейших дробей. Первый и второй типы - они отличаются только степенью знаменателя. А (а большое), а (а малое), а также символы p и q здесь встречаются - это действительные числа. Так вот, первый и второй тип - это число А, деленное на x-a в некоторой степени. При первой степени - это первый тип, если степень выше, то это второй тип. Точно также третий и четвертый типы отличаются только степенью знаменателя - в знаменателе находится квадратный трехчлен, дискриминант отрицателен. Для четвертого типа квадратный трехчлен в степени больше, чем единица, а для третьего типа это первая степень.

Следующий шаг, который нам предстоит сделать, - понять, как интегрировать эти дроби.

Рассмотрим простейшую дробь первого типа. В общем случае вычислим интеграл от этой функции. Первый шаг - вынесем число А за знак интеграла, пользуясь свойствами неопределенного интеграла. Следующий шаг - внесем x-а под знак дифференциала и в результате получаем табличный интеграл, где вместо переменной x в таблице интегралов находится выражение x-а. Получаем ответ.

Рассмотрим простейшую дробь второго типа. Интегрирование осуществляется точно по такой же схеме. Единственное, чем отличается от первого типа, мы применяем формулу интеграла от степенной функции в таблице интегралов. Следующий шаг - это запись ответа.

Рассмотрим третий тип простейших дробей. Для того, чтобы вам было может быть более понятно, мы разберем интегрирование такой дроби на примере. Это простейшая дробь третьего типа. Обратите внимание, в числителе линейное выражение ax+b (2 и -3 здесь числа a и b), а в знаменателе квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом. Это простейшая дробь третьего типа. Для интегрирования рассмотрим знаменатель (это квадратный трехчлен) и выделим полный квадрат. Это преобразование является частью школьной программы, поэтому, я думаю, что вы справитесь с этим легко. Следующим этапом мы обозначаем за новую переменную t то выражение, которое оказывается у нас в скобках, возводится в квадрат. Итак, эта переменная t и квадратный трехчлен в результате преобразуется в выражении t^2+1. Со знаменателем разобрались у первоначальной дроби. Нам осталось понять, чему равно 2x-3 в интеграле и выражение dx (дифференциал переменной). Для того чтобы выразить, мы найдем, чему из подстановки, из замены переменной равно x. x - это t-2. После этого числитель (подставляем вместо x t-2) преобразуется в 2t-7, а дифференциал вычисляем по формуле. Что такое дифференциал? Это производная функции t-2 умноженная на дифференциал переменной t. Производная равна единице. В результате получаем dx равно dt. Осталось заменить на новую переменную t интеграл и следующим шагом мы выполняем почленное деление числителя на знаменатель. Интеграл разности преобразуем в разность интегралов интегралов и выносим постоянный множитель за знак интеграла, пользуясь свойствам линейности неопределенного интеграла. Заметим, второй интеграл является табличным, мы пока его оставим в покое, а для первого интеграла выполним преобразование, которое называется внесением функции под знак дифференциала. Замечаем, что tdt это дифференциал знаменателя с коэффициентом 1/2. Итак, что мы имеем? В первом интеграле остается вынести коэффициент 1/2 за знак интеграла, и в результате мы получаем оба интеграла табличные. Вычисляем их, пользуясь таблицей интегралов, и осталось заменить переменную t - не забываем вернуться к первоначальной переменной - обратная замена, помним, с чего мы начинали. И можно не подставлять вместо t^2 (x+2)^2, помним, что t^2+1 - это квадратный трехчлен, с которого мы начинали, и получаем окончательный ответ.

Осталось рассмотреть простейшую дробь четвертого типа. Точно также, как второй тип отличается от первого, настолько же четвертый тип отличается от третьего. Поэтому здесь выполняются точно такие же преобразования: выделение полного квадрата, замена переменной. Единственная сложность - мы сталкиваемся с интегралом вида и с индексом n, обратите внимание как он выглядит, для вычисления которого используется рекуррентная формула. Мы не будем рассматривать доказательство этой формулы. Мы изучим с вами как можно этой интегральной формулой воспользоваться. Рассмотрим пример. Сравним с интегралом I_n, который задан в рекуррентной формуле. Замечаем, что это действительно такой интеграл, где а^2 это единица, а n равно трем. Воспользуемся этой формулой. Итак, I₃ (I с индексом 3) - это данный интеграл, в котором а^2 – единица, n равно трем. Подставляем в рекуррентную формулу эти значения, выполняем преобразование, получаем такой результат. Следующим шагом мы вычисляем интеграл I₂ (I с индексом 2). Здесь все те же значения за исключением n, которое равно двум, это показатель степени. Пользуемся рекуррентной формулой и приходим к интегралу I₁. Интеграл I₁ - это тот же интеграл с индексом I_n (I с индексом n), только n равно единице. Это уже табличный интеграл, он есть в таблице интегралов, поэтому вычисляется. Для интеграла I₂ мы получаем ответ. Давайте посмотрим на верхнюю запись I₃. Интеграл I₃ выражается через интеграл I₂, для которого мы получили значение. Возвращаемся к интегралу I₃, подставляя вместо I₂ полученное значение. Дальнейшее преобразование приводит нас к ответу. Записываем ответ.