Математика. Материалы курса

Занятие посвящено правилу Лопиталя. О чем это мы будем говорить? Конечно же, о вычислении пределов. И какой же плюс! Мы можем даже забыть что-то: формулы замечательных пределов, например, а правило Лопиталя нам поможет.

Давайте посмотрим первый пример (смотрите на видео). Во-первых, с чего мы начинаем вычисление любого предела, и это даже к правилу Лопиталя не имеет отношения, просто вычисление пределов. Начинаем вместо x подставлять то значение, к чему стремится - ноль. arcsin 0 это 0, cos 0 это 1, и мы получаем неопределенность 0/0. Ответ мы сказать сходу не можем. Можно попытаться решить это с помощью применения первого замечательно предела и следствий из него, но тема занятия - правило Лопиталя. Поэтому, что мы будем делать: мы пишем, что предел, x стремится к 0. Дальше, мы находим производную числителя, только аккуратно. По правилам дифференцирования сложной функции (смотреть на видео). Так, производную числителя нашли, переходим к знаменателю. В знаменателе будет находиться производная знаменателя. Не путайте, иногда ошибка возникает, находим производную – дроби. Нет! В числителе пишем производную числителя, в знаменателе - производную знаменателя (см. на видео). Так, давайте сейчас проверим, каков будет ответ. Итак, x стремится к нулю, не нужно преобразовывать – считаем: 1/1, и это дробь стала равна 1, умножим на 2, здесь получается 2. А в знаменателе мы получаем 0, но самое главное, что неопределенности нет, и мы пишем ответ: число, не равное нулю и деленное на ноль, в теории пределов, дает нам ответ ∞. Итак, задача решена. Смотрите, нам не понадобились знания формул, следствий первого замечательного предела, а всего лишь знание правила Лопиталя.

Давайте перейдем к следующему примеру (смотреть на видео). Здесь, надо сказать, даже непонятно, какие преобразования делать, если бы правила Лопиталя у нас не было. Давайте подставлять вместо x 0. Начинаем вычислять: sin0 это 0, поэтому в числителе будет 0 и в знаменателе тоже 0. Получается неопределенность0/0. Начинаем применять правило Лопиталя: lim при x стремится к 0, правда уберем плюс - здесь написано со знаком плюс, но это совершенно не принципиально, напишем, что просто стремится к нулю.

Будем считать: 2cosx-2cos2x (производная синуса это тоже косинус того же аргумента, умноженный на производную внутренней функции (на 2)). В знаменателе получаем 1-cosx. Каждый раз смотрим, что же мы получили. Подставляем вместо x 0: cos0 это единица,  2-2=0, и в знаменателе 1-1=0. Посмотрите, ничего не произошло, вроде бы. Неопределенность не исчезла, нас это не должно пугать и не должно останавливать.

Давайте попробуем ещё раз применить правило Лопиталя. Итак, пишем: lim при x стремится к 0, в числителе находим производную числителя: (производная cos это -sin) -2sinx (здесь будет плюс, не забываем, тут производная внутренней функции нам даст ещё одну 2) +4sin2x, в знаменателе производная cos это -sin, поэтому пишем sinx. Так, подставляем вместо x 0: sin0 это 0, получаем неопределенность 0/0. Ну, я думаю, что на этом мы закончим наконец-то применять правило Лопиталя.

Давайте проверим: производная sin это cos, пишем в числителе: -2cosx+8cos2x, а в знаменателе будет cosx, в который в точке 0 уже не будет являться 0. Стопроцентной неопределенности нет, осталось сосчитать: cos0 это 1, -2+8 это 6, 6:1 это 6. Ответ получен.

Давайте посмотрим, что еще интересного может быть (смотрим на видео). А вот здесь как раз односторонний предел, и ситуация совсем для нас новая. Что тут неожиданного? Почему x стремится к 0 справа? Потому что логарифм существует только при x>0, слева тут x не может быть меньше нуля.

Другая особенность: предел x это 0, а предел ln x равен -∞. Как мы это выясним (смотрим на видео)? Схематично рисуем график логарифма и видим, что в точке 0 он равен минус бесконечности. Мы имеем дело с неопределенностью, 0×∞. Правило Лопиталя не имеет дело с такой неопределенностью. Как мы будем поступать? А мы представим это произведение виде дроби. Итак, в числителе мы оставим ln x, а в знаменатель отправим x, и это станет дробью 1/x. Итак, x стремится к точке 0 справа. Давайте проверим, что стало с неопределенностью: ln стремится к ∞, и дробь 1/x (1/0) тоже стремится к ∞. Это то, что нам нужно для применения правила Лопиталя. Пишем: lim при x стремится к 0 справа, в числителе пишем производную числителя: 1/x, в знаменателе - производную знаменателя: -1/x^2. Здесь проще всего просто преобразовать это выражение так: lim при x стремится к 0, если мы разделим дробь на дробь, мы получаем: (минус можно вынести за предел) x^2/x. Понятно, что после сокращения на x мы в пределе получаем 0. Задача решена. Итак, правило Лопиталя позволило нам даже как-то расправиться с неопределенностью 0×∞.

Давайте посмотрим другие ситуации (смотрим на видео). Итак, предел разности. Совсем, казалось бы это уже не про правило Лопиталя. Если мы будем подставлять вместо x 1, считаем: 1/0 это ∞, ln 1 это 0, 1/0 снова ∞. Это неопределенность ∞-∞. Что здесь мы сделаем? Возьмем и приведем дроби к общему знаменателю. Итак, получили предел, в знаменателе (x-1)×ln x, в числителе xln x –x +1, при x стремится к 1. Так, давайте попробуем посчитать, вдруг все хорошо. Итак, ln 1 это 0, -1+1=0, в числителе получаем 0, в знаменателе 0×0, неопределенность 0/0. Ответа нет, но что хорошего? Это та самая неопределенность, которая раскрывается с помощью правила Лопиталя. Начинаем применять правило. В числителе находим производную числителя: здесь производной произведения будет 1×ln x + 1 – 1. В знаменателе: производная произведения - это ln x (производная первого множителя 1×ln x)  плюс производная ln x (это (x-1)/x) (полный результат смотрим на видео). Давайте сейчас проверим, что стало с неопределенностью. Можно убрать единицы 1-1,  ln 1 это 0, в знаменателе: 0+0. Опять неопределенность 0/0. Ответа нет, но неопределенность та самая, которую хорошо использовать для правила Лопиталя. Давайте ещё попробуем. В числителе получаем 1/x, в знаменателе получаем 1/x + 1/x^2 (для удобства дифференцирования выпишем отдельно дробь (x-1)/x и получим: (1 – 1/x)’ = 1/(x^2)). Не надо торопиться преобразовывать это, иногда такое желание возникает, когда мы что-то сделали (применили правило Лопиталя). Надо каждый раз остановиться, взять паузу и посмотреть, может быть уже и есть ответ?

Итак, давайте подставим вместо x 1. Числитель это 1, в знаменателе это 1+1. Ответ получен: 1/2. Ошибку, которую надо конечно избегать, часто совершают -неопределённости нет, а человек берет и применяет правило Лопиталя. Если мы начнем применять правило Лопиталя, не имея неопределенности, то мы получим неверный результат. Нельзя применять правило Лопиталя, если в этом нет необходимости! Поэтому каждый раз проверяем, есть неопределенность или нет.

Следующий пример (смотреть на видео). Здесь совсем что-то новенькое: таких пределов мы практически не вычисляли. Итак, 1/x в точке 0 стремится к ∞, а tg 0 это 0. Получилась неопределенность ∞ в точке 0. Совершенно неожиданное какая-то запись. Степенно-показательные функции мы рассматривали, но неопределенность, какая там была, это 1^∞ - второй замечательный предел. С такими неопределённостями мы не сталкивались. Что же делать? Давайте будем считать, что предел этой функции равен A, и чтобы избавиться от степеней мы всегда понимаем, что проще всего для этого использовать логарифмы, и мы начнем с вами вычислять не A, а ln A - логарифм от предела. Поскольку логарифм - непрерывная функция, можем внести ее под знак предела (смотрим на видео). Дальше пользуемся свойствами логарифма: выносим степень и пешем ее перед ln (смотрим на видео). Сейчас мы еще преобразуем: ln 1/x = -ln x,  потому что x^(-1) (показатель степени опять выносится за знак логарифма). Дальше сократим немножко записи. Получили: (смотреть на видео). tg x отправим в знаменатель, и в знаменателе он станет уже ctg x. Давайте сейчас проверим, что же происходит: ln в точке 0 - предел равен ∞ и ctg в точке 0 - предел тоже равен ∞. Итак, это неопределенность, которая раскрывается с помощью правила Лопиталя: -lim при x стремящемся к 0, в числителе производная ln - это 1/x, в знаменателе это производная котангенса это -1/sin^2 x. Минус снова вынесем за знак предела  и преобразуем: (смотрим на видео). Сейчас я преобразую так: уберу квадрат у sin и просто умножу на sin x. Проще все-таки использовать те приемы которые мы раньше изучали. Просто уж очевидно, что здесь возникает первый замечательный предел. Предел дроби (sin x)/x равен 1, остается sin x. Предел равен 0. Возвращаемся. Что же мы вычисляли? Мы вычисляли ln A=0. Это означает, что A=1. Цель наша - найти число A. Итак, данный предел равен 1.

Совершенно новая ситуация для нас, с которой раньше мы бы не справились без правила Лопиталя. Так, а здесь тоже ситуации, которые могут возникнуть при использовании правила Лопиталя. Вообще говоря, здесь неопределенность ∞/∞ на любой бесконечности: на плюс и на минус. Посмотрите, почему это так? Давайте попробуем применить правило Лопиталя (смотрите на видео). Опять получили ту же самую неопределенность, но вроде бы нас это не пугает. У нас уже много раз так бывало, что мы применяя правило Лопиталя неоднократно. Вычисляем еще раз предел, применяя правило Лопиталя (смотрите на видео). Это что-то новенькое. Посмотрите, мы пришли к тому же самому пределу, с которого начинали. Если мы продифференцируем еще раз числитель и знаменатель, мы получим предыдущий результат. То есть, в этой записи будут бесконечно много раз чередоваться эти два предела и ответ мы не получим. Просто правило Лопиталя вроде оно и работает, но ответа не возникает, чему он равен. Поэтому к этому тоже нужно быть готовыми. Давайте посмотрим, что можно сделать вообще. Лучше всего немного преобразовать: мы умножим числитель и знаменатель на е^x. Смотрим, что произойдет тогда: в числителе будет е^2x+1, а в знаменателе – е^2x-1. С неопределенностью ничего не произошло - она сохранилась, но правило Лопиталя приведет нас уже к другой ситуации. Применяем правило Лопиталя: в числителе будет 2е^2x + 0, а в знаменателе будет 2e^2x – 0 (смотрите на видео). Смотрите, здесь все сокращается, и ответ получается 1. Поэтому сделать важный вывод. Нельзя сказать, что правило Лопиталя это такая палочка-выручалочка, которая нас всегда спасёт. Нельзя забывать о тождественных преобразованиях. Нельзя забывать о тех приемах, которые мы изучили с вами в прежних разделах: о первом и втором замечательно пределе и их следствиях. Ну и обо всех тех приемах, которые мы уже разбирали.