Математика. Материалы курса

Тема занятия "Исследование свойств функций с помощью производной". Причем мы будем рассматривать производную не только первого порядка, но и второго. Посмотрим на такие свойства как монотонность, экстремум, выпуклость и точки перегиба.

Первая задача: исследовать на монотонность и экстремумы функцию. Итак, мы видим функцию правая часть – это многочлен четвертого порядка. Монотонность и экстремумы – это мы применяем f’. Начинаем. Находим производную. Поскольку нам нужно находить критические точки, тут логично найти только стационарные, где производная равна нулю, то мы значение производной получили 4x³-4x. Логично разложить на множители, чтобы определить стационарные точки. Кроме того, для f’ мы будем применять метод интервалов, поэтому именно разложение на множители нам позволит это эффективно сделать. Итак, стационарные точки появились. Отмечаем их на числовой прямой, дальше определяем знак f’ на каждом из интервалов. И у нас появляется вот такое изображение (см на видео). Посмотрите там, где минус стрелочка вниз, там, где плюс стрелочка вверх. Кроме того эти стрелочки нам показали, где находится максимум, где находится минимум. Все точки у нас закрашены это точки, где производная равна нулю, значит, эти точки являются точками экстремума.

Как записать правильно ответ? Давайте посмотрим. Итак, мы пишем: f строго убывает на промежутках, поскольку функция непрерывна всюду, то к интервалам можем добавить концы интервалов, и строго возрастает на промежутках, пишем без знака объединения. Фиксирую ваше внимание, вы не должны допускать такую ошибку. Точки -1 и 1 – точки минимума и точка 0 - точка максимума. График этой функции выглядит таким образом (см. на видео). Мы не ставили задачу построения графика, но по графику мы можем увидеть, что все эти свойства хорошо читаются. И кстати, вы можете с помощью этого графика понять, почему же функция не является, например, строго убывающей на объединении, строго возрастающей на объединении. Почему эта ошибка?

Вторая задача: исследовать функцию на выпуклость и перегиб. У нас дана та же самая функция. Итак, для решения этой задачи нам понадобятся те же самые приемы, только находить мы будем функцию f”. Первую производную мы уже находили, находим вторую, дифференцируя. Раскладываем на множители, определяем, где производная второго порядка равна нулю. Итак, это две точки минус единица, деленная на корень из трех и единица, деленная на корень из трех. Критические точки второго рода, так мы называем эти точки. Что мы делаем? Точки отмечаем на числовой прямой и определяем знаки на каждом из интервалов для функции f”. Запомните, f’ мы применяли для исследования на экстремум и монотонность. Метод интервалов мы применяли для функции f’. Для решения этой задачи метод интервалов применяется для функции f”. Итак, мы пишем над числовой прямой функцию f” и ее знаки, а ниже прямой функции f и ее поведения. Итак, знак плюс второй производной, мы рисуем, чаша наполняется выпуклость вниз, знак минус чаша опрокинута, выпукла вверх.

Итак, выводы. Точки минус единица, деленная на корень из трех и со знаком плюс, закрашены это точки области определения, функция непрерывная хорошая в этих точках, поэтому эти точки оказываются точками перегиба, вторая производная в них меняет свой знак. Как записать вывод? Вот здесь, в отличие от монотонности, мы можем написать знак объединения, концы мы не добавляем. В точках, отмеченных на числовой прямой, функция имеет перегиб, выпуклости вверх или вниз в них нет. Так что это особенности ответа, обратите на них внимание. Если мы посмотрим по графику до какой-то поры направлении выпуклости было вниз, затем, оно изменилось вверх и потом снова вниз, направление выпуклости. Точки перегиба не выделяются на графике, мы только условно можем представить себе, где они находятся. Примерно, в каком месте изменилось направление выпуклости, их не нужно отмечать специальным образом на графике функции.

Давайте посмотрим текстовую задачу, которая тоже использует знание исследования функции. Консервная банка имеет форму цилиндра объема V, каковы должны быть ее размеры (высота, радиус основания), чтобы на ее изготовление ушло наименьшее количество жести. В общем, задача показывает, что знания дифференциального вычисления жизненно необходимы. Как производителю решить такую задачу? Давайте ему поможем.

Итак, консервная банка имеет форму цилиндра, обозначим радиус основания r, а высоту банки h. Итак, нам нужно выяснить, какие должны быть r и h, чтобы площадь поверхности была наименьшей. Составили форму площади. Первое слагаемое это две площади основания вверх и низ банки, и 2*π*r*h – это площадь прямоугольника, развертка боковой поверхности. Итак, эта величина должна быть минимальной. Что нас не устраивает в этой записи? Здесь участвует сразу две переменные величины r и h, они меняются каждый раз, а мы бы хотели получить функцию одной переменной. Что мы используем? Знания условия задачи. У нас фиксированный объем V. Посмотрим, как V связано с r и h. И так отсюда мы видим, что h выражается через r. В результате функция оказывается функцией одной переменной r. Давайте отметим, что r, поскольку это радиус основания, эта величина положительная, других ограничений здесь нет. Итак, функция задана на интервале от 0 до плюс бесконечности и нам нужно выяснить, при каком r эта функция принимает наименьшее значение. То есть задача получила совершенно абстрактное математическое звучание.

Итак, дана функция S(r), мы исследуем ее на экстремум. Для этого найдем производную. Аккуратно преобразуем это выражение и смотрим, при каком r значение производной равно нулю. И так r₀, определяется как корень третей степени из V, деленного на 2π. Стационарная точка, в которой производная равна нулю. Как выяснить, есть ли экстремум у функции S в этой точке или нет? И что это за экстремум? Вдруг там как раз получится наибольшее значение количества жести, которое пойдет на изготовление банки. Что мы сделаем? Давайте вспомним исследование на экстремум с помощью второй производной.

Итак, вторую производную нашли, если мы подставим r0, то мы получаем, что вторая производная в точке r₀ не равна нулю. Это означает, что r₀ это точка экстремума. А знак плюс, это означает что r₀ не только точка экстремума, но еще и точка минимума. Итак, мы можем сказать, каковы должны быть размеры банки. r₀ – это значение стационарный точки и h ₀ находим при этом значение r₀ и получаем нужный ответ. Итак, мы можем посоветовать производителю, изготавливать банки с такими значениями r и h.