Математика. Материалы курса

Мы продолжаем изучать дифференциальные исчисления функции одной переменной. Сегодня тема нашей лекции: основные теоремы дифференциального исчисления. Эти теоремы связаны с именами великих французских математиков и было это очень давно – 17 век. Давайте рассмотрим каждую из этих теорем. Первая теорема – теорема Ферма (о равенстве нулю производной). Формулировка теоремы. Пусть функция f удовлетворяет следующим условиям: она дифференцируема на интервале (a,b) и достигает наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке x₀ из этого интервала. Теорема утверждает, что производная у функции в этой точке равна нулю. Давайте докажем это. Итак, пусть функция f достигает наибольшего значения  в точке x₀ из интервала (a,b) (ситуация на картинке представлена в видео). Давайте будем вычислять значение производной в точке x₀ . По условию функция дифференцируема на интервале (a,b), значит, она дифференцируема  и в точке x₀. Вычисляем по определению предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если предел существует, то он равен значению односторонних пределов слева и справа. Заметим, что числитель этой дроби (приращение функции в точке x₀) всегда меньше либо равно нулю (если это строгий максимум, то строгое неравенство). А сейчас вычислим односторонние пределы, вернее оценим их значения. Итак, в первом случае, если Dx больше нуля под знаком предела находится дробь меньше либо равная нулю, а значит и значение производной меньше либо равно нулю. Во втором случае, если Dx меньше нуля, вся дробь принимает не отрицательное значение, а значит и значение производной больше либо равно нулю. Итак, число f ¢(x₀) одновременно не отрицательное и не положительное, очевидно, этому условию удовлетворяет только число ноль. Теорема доказана. Каков геометрический смысл теоремы Ферма? Значение производной равно нулю, это означает, что в соответствующей точке график имеет горизонтальную касательную. Итак, в точках наибольшего и наименьшего значения у графика функции имеются горизонтальные касательные. Давайте отметим, что обратная теорема не верна (иногда мы допускаем такую логическую ошибку). Рассмотрим функцию f(x)=x³, в качестве x₀  мы берем точку ноль. Очевидно, что значение производной равно нулю (см. видео). Итак, если значение производной равно нулю, это вовсе не означает, что в этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение, посмотрите, здесь этого не происходит. Следующая теорема – теорема Ролля. (о нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения). Давайте обратим внимание на условия теоремы, что мы  знаем про функцию f: она непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Заключение теоремы гласит, если значения функции на концах отрезка равны, то в некоторой внутренней точке интервала (a,b) значение производной равно нулю. Доказательство разбивается на два случая. Первый, когда во всех остальных точках значение функции то же самое, что и на концах - функция константа (мы знаем, что производная константы равна нулю) итак, в качестве x₀  можно взять любую точку из интервала (a,b). Второй случай это, конечно, отрицание первого - функция непостоянна, тогда она принимает наибольшее и наименьшее значения в разных точках этого интервала. Мы помним, что у функции есть наибольшее и наименьшее значения, это два числа, по крайней мере, одно из них отлично от числа f(a) или f(b), а по теореме Ферма значение производной в этой точке равно нулю. Каков геометрический смысл теоремы Ролля? Если на концах отрезка значения функции равны, то в некоторой точке этого отрезка функция имеет в соответствующей точке графика горизонтальную касательную, возможно, такая точка не одна на графике (см. картинку в видео). Теорема Лагранжа (о конечных приращениях). Важнейшая теорема, которой мы будем пользоваться при доказательстве других фактов дифференциального исчисления. Снова, первые факты напоминают условия предыдущих теорем. Итак, функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема внутри этого отрезка, тогда существует точка x₀ , в которой выполняется равенствоf(b)-f(a) = f ¢(x₀)(b-a), оно называется формулой конечных приращений Лагранжа. Вы скажете: «Где тут приращения?». Посмотрите, (b-a) – это изменение аргумента на оси X (можем считать это приращением аргумента), а f(b)-f(a) – это изменение, которое претерпевает функция (можем считать это приращением функции), итак, эти два приращения связаны формулой. Проведем доказательство. Отметим точки, которые являются концами графика на отрезке AB, буквами a и b. Проведем секущую через точки a и b и составим уравнение (см. видео). Дальше, мы образуем новую функцию φ(x), она является разностью функции: f(x), которая нам дана, и линейной функции (уравнения секущей AB) - двух функций, которые и дифференцируемы на интервале (a,b), и непрерывны на отрезке [a,b]. Легко проверить, что на концах отрезка [a,b] значения функции φ(x) равны нулю, тогда по теореме Ролля есть такая точка x₀, в которой значение производной равно нулю. Осталось посмотреть производная функции φ в точке x₀ , что из себя представляет. Итак, φ ¢ в точке x₀, это левая часть этого равенства, справа это значение равно нулю. Осталось преобразовать, и мы получим формулу конечных приращений Лагранжа (см. видео). Теорема доказана. Каков геометрический смысл теоремы Лагранжа? Давайте преобразуем полученную формулу снова к виду f(b)-f(a) = f ¢(x₀)(b-a) и выразим f ¢(x₀). Вспоминаем геометрический смысл производной, f ¢(x₀) – это угловой коэффициент касательной в точке x₀, а правая часть это угловой коэффициент секущей AB. Итак, о чем же говорит теорема Лагранжа? При выполнении условий теоремы, на графике есть такая точка, в которой касательная параллельна секущей AB, и снова такая точка может быть не одна. Последняя теорема в этом списке (четвертая) – теорема Коши, которая говорит уже об отношении конечных приращений двух функций f и g. Для них снова выполнены условия непрерывности на отрезке [a,b], дифференцируемости на интервале (a,b), еще добавляем условие, что производная g¢(x) не превращается нигде в ноль. В заключение теоремы говорится, что существует точка x₀ в интервале (a,b) для которой выполнено равенство (см. видео). Мы не будем доказывать эту теорему, ее доказательство немного напоминает доказательство теоремы Лагранжа, а перейдем уже к применению теорем. Сейчас мы применим теорему Коши. Для чего? Для правила Лопиталя. Мы снова возвращаемся к вычислению пределов - важнейшая задача математического анализа. И снова, как по спирали, мы возвращаемся к тому же вопросу , но уже на новом, более высоком уровне. Мы получим мощнейший инструмент, который нам позволит без проблем раскрыть неопределенности вида (0/0), (∞/∞) и мы увидим на примерах, что мы научимся справляться и с другими неопределенностями. Итак, имя математика Лопиаль, и это снова 17 век. Правило Лопиталя состоит из двух теорем: первая говорит о раскрытии неопределенности (0/0), и вторая - (∞/∞). Давайте рассмотрим первый случай. Что мы знаем? Функции f и g дифференцируемы в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки а, и еще известно, что пределы f и g в точке a равны нулю. Если существует предел отношения производных этих функций в точке a, то существует и предел отношения данных функций в точке a и он равен A. Посмотрите в заключение, когда мы вычисляем предел отношения f к g, мы как раз имеем дело с неопределенностью (0/0) (т.к. предел числителя равен нолю, и предел знаменателя равен нолю). Давайте рассмотрим доказательство. Итак, по условию пределы функций f и g в точке a равны нулю. Будем считать (мы про точку a вообще ничего не знаем), что значения функций f и g в точке a равны нулю. На вычислении пределов это никак не отразится. Вычислим односторонние пределы. Мы сделаем это для предела справа, а для предела слева вы выполните самостоятельно.  Итак, x стремиться к точке a справа, значит x>a. Тогда на отрезке [a,x] выполняются условия теоремы Коши. Если мы устремим x к a, то x₀,находясь между a и x, тоже стремится к a. Остается вычислить предел (x₀ стремится к a, поэтому последний предел по условию равен числу A). Правило Лопиталя раскрытия неопределенности (∞/∞). Все то же самое, только пределы функций f и g в точке a равны бесконечности. Этот пункт мы оставим без доказательства, но пользоваться этим правилом мы, конечно, можем. В результате мы получаем формулу для вычисления пределов (см. видео). Итак, если вы вычисляете предел, сталкиваясь с неопределенностью (0/0) или (∞/∞), то вы можете применить правило Лопиталя, при условии, что правая часть этой формулы существует. Давайте вычислим предел (см. видео), где предел числителя бесконечность, предел знаменателя тоже бесконечность. Если поделим почленно, то несложно заметить, что предел равен единице (предел константы равен одному, предел (sin x/x) равен нулю). Это (∞/∞), кажется можно применить правило Лопиталя. Давайте попробуем. Для функций f и g вычислим предел отношения производных этих функций. Производная f = 1+cos x, производная функции g = 1, но предел функции 1+cos x на бесконечности не существует. Итак, предел отношения f к g не равен в этом случае пределу отношения  производных этих функций, потому что этот предел не существует.