Математика. Материалы курса

На этом практическом занятии, мы научимся с вами находить производные и дифференциалы высших порядков. Для начала мы дифференциал первого порядка попробуем находить, затем рассмотрим более высоких порядков. Задача вычисления производной второго и третьего порядка и более высокого, в общем, это совершенно не сложно.

Я не буду рассматривать подробно, как это находится, я думаю, вы с этим легко справитесь. Например, дана функция, найти производную третьего порядка. Мы последовательно выполняем шаги. Находим производную первого порядка, удобнее это делать, преобразовав f к такому степенному виду. Получив производную первого порядка, находим производную второго. Затем, получив ответ, снова дифференцируем, и находим производную третьего порядка. Процедура не является сложной, и если вы умеете находить производную первого порядка, то с остальным у вас проблем тоже не будет.

Давайте разбираться с дифференциалом. Найти двумя способами, что здесь имеется ввиду?

Первый способ – самый простой и логичный. Давайте напишем его, пользуясь формулой: df(2) =f `(2)*dx; Всё довольно просто, запомните, слева есть дифференциал, а справа есть производная. Производная и дифференциал отличаются только множителями dx. Это очень важное замечание, когда вы пишете дифференциал – слева есть буква d, и справа тоже должен быть знак дифференциала. Производная в точке 2, производная y` = 2x-2 и производная в точке 2 будет равна двум. Поэтому дифференциал в точке 2, это 2dx. (df(2)=2dx).

А сейчас давайте попробуем найти этот дифференциал вторым способом, пользуясь определением: дифференциал – это главная линейная часть приращения функции. Значит надо действовать с приращением.  Формула приращения: мы придаём аргументу приращения ∆х и смотрим, как меняется значение функции: значение в точке 0 (2+∆х) и вычитает значение в первоначальной точке 2. Вычисляем по формуле значения функции: ((2+∆х)²) – (2(2+∆x) +1. Значение в точке 2, давайте сосчитаем: 4 – 4+1 = 1. Единицы можно сразу убрать. Раскрываем скобки, получаем: 4+4∆х+ ∆х^2-4-2 ∆х. Давайте переведём подобные слагаемые: четвёрки у нас уничтожились и ещё подобные слагаемые с ∆х. (2∆х+∆х^2) Посмотрите, приращение функции оказалось представимо в виде суммы двух слагаемых, 2∆х – главная часть, а ∆х^2 – бесконечно малая, более высокого порядка, чем  ∆х. Главная линейная часть – это и есть дифференциал. Давайте сравним, ответ: 2dx.

И так дифференциал функции и мы помним, ∆x=dx. Поэтому дифференциал функции f в точке 2 это 2dx - Это главная линейная часть приращения функции.

Иногда возникает задача, которую решить можно, но решать её совсем не хочется, и не потому что трудно, а потому что долго. Найти производную двадцатого порядка для функции. Это мы должны последовательно выполнить двадцать шагов, дифференцировать может и не трудна, но долго. Как в этом случае разумно поступить? Попытаться вывести n-ую производную, формулу для неё, а потом уже конкретизировать. И так, y` = 1/x. Для удобства давайте напишем х^(-1), чтобы нам было удобнее находить следующие производные. Y`` = -x^(-2), y```=2x^(-3). Давайте ещё одну найдём и попытаемся проанализировать. Y^IV = 2*(-3)*x^(-4), не будем двигаться до двадцатой производной. Попробуем на этом шаге. Давайте попробуем найти то общее, что есть в этих формулах: n-ая производная, сразу видно, что х находиться в степени (-n). Что представляют сомножители? Если чётная степень, порядок производной – степень у Х, то знак минус, у нечётных будет «+». Значит мы напишем, (-1) ^(n+1). И так со знаком разобрались. Что будет происходить с чистыми сомножителями? Знак мы учли. На следующем шаге добавиться 4, а произведение натуральных чисел – это факториал. Степень четвёртая, а произведения до трёх, значит (n-1).

Yⁿ= ((-1)^(n+1))* (n-1)!* x^(-n).

У нас возникла версия. Я не могу утверждать, что, то, что мы получили – верно. Это наша гипотеза. И доказательство формулы мы осуществляем методом математической индукции. На первом шаге для n=1, проверим, что база верна, что мы не ошиблись. Yⁿ=(x^(-1))(0!)(-1)²  - знак плюс. База выполняется для n=1 – это верно. Осуществим переход от n → n+1, мы найдём индуктивный переход, найдём n+1 производную, как производную n-ой. И посмотрим, будет ли выполняться указанная формула. Находим производную: y(n+1) = ((-1)^n+2)* n!* (x^(-n-1)). Чтобы нам было понятнее, что формула подтверждается, y(n+1) = ((-1)^n+1+1)* n!* (x^-(n+1)). Проверяем, если бы мы вместо n подставили n+1, мы получим эту формулу? Да! Мы на самом деле получаем эту формулу. Значит, наше предположение было верно. Метод математической индукции нам даёт основание заключить, что формула верна для любого n – натурального. Значит, мы двадцатую производную находим, пользуясь формулой. Y²⁰= ((-1)^21)*19!*(x^-20). Напишем:    y²⁰=-19!/(x^20). Ответ получен!

Задача может быть изначально так записана: найти n-ю производную. Здесь ситуация совсем простая. Давайте посмотрим и ещё раз повторим рассуждение: y`=3e^(3x+1); y``= (3^2) *e^(3x+1). И мы уже сейчас догадываемся, что на каждом шаге просто добавляется множитель 3. Поэтому гипотеза возникает: n-я производная – это (3^n) *e^(3x+1). При n=1 – формула верна, база выполняется. Индуктивный переход. Находим (n+1)-ю производную, дифференцированием n-ой: y<sup>n+1</sup>=(3^n*n^(3x+1))`=3ⁿ⁺¹*e^3x+1. И так ответ получен по формуле: yⁿ= (3^n)*e^(3x+1).

Давайте вспомним, какие сложные ситуации возникают? Дана степенно-показательная функция. И задача уже найти производные и дифференциалы первого и второго порядка. Давайте вспомним формулу для логарифмического дифференцирования. И так: y`= y*(lny)`. Я прямо здесь и буду писать. Это y` = (x^ln(x))*(ln(x)*ln(x))`= (x^ln(x))*(ln²(x))`= x<sup>lnx</sup>*2lnx*1/x. Такой ответ. Конечно, двойку можно написать перед всеми сомножителями. Можно сразу написать дифференциал: dy=y`dx, скомпонуем: dy= 2x^lnx-1*lnx*dx.

А сейчас задача второго порядка. Я специально сохранила эту запись, для того, чтобы нам производную второго порядка было удобнее находить. Пусть даже в таком виде: здесь у нас 3 сомножителя, поэтому производная этой функции: мы переписываем обобщение формулы (y``=x^lnx*2lnx*1/2) Производная произведения двух функций, когда мы обобщаем её на произведение любого конечного числа сомножителей. Что мы делаем? Переписываем, поскольку сомножителя 3, то мы переписываем трижды. ((x^lnx)`    *2lnx*1/2))+ (x<sup>lnx</sup>*(2lnx)`*1/2)+ (x^lnx*2lnx*(1/2)`) – ставим штрихи над первым, вторым и третьим. А дальше практически будет запись ответа, возможно громоздкой, и мы не будем доводить до конца. Посмотрите: x^lnx – это данная функция, поэтому вместо первого множителя, мы можем написать выражение: 2x^lnx-1*lnx – это производная первого. И у нас остаётся: 2lnx, значит 2²x^lnx-2*ln²x – здесь производная логарифма (1/x).  2²x^lnx-2*ln²x+2x^lnx*(1/x² ) Здесь производная будет равна -1/x^2, поэтому напишем -(1/x).  y^II = 2²x^lnx-2*ln²x+2x^lnx*(1/x² ) - 2x^lnx*lnx*(1/x^2).  Можно ещё преобразовать ответ, но в принципе, можно оставить в таком виде. Я не буду записывать формулу в полном виде дифференциала второго порядка. Мы просто вспомним формулу. Дифференциал второго порядка находится как вторая производная умноженная на dx^2. Поэтому что нам нужно сделать? Всё длинное выражение заключить в скобки и умножить на dx^2. И задача решена. Немного громоздко, но всё решается и всё доступно.

Другое обобщение. Какие обобщение у нас есть у формулы?

Первое обобщение, когда мы рассматриваем, и мы только что это делали. Первое обобщение по количеству сомножителей. И в предыдущей задаче это обобщение рассматривали. В этой задаче обобщение формулы касается порядка производной. И так, производная произведения двух функция, но не первого порядка, а третьего. Формула для третьего порядка в этом случае выглядит так: (uv)```=u```v+3u``v`+3u`v``+uv```. Чтобы воспользоваться формулой, что нам нужно знать? Нужно у каждой из функций x и lnx знать все производные от первого до третьего порядка включительно. Поэтому я напишу: u=x, и найду все производные до третьего порядка включительно. Точно также напишу: v=lnx, и найду все производные до третьего порядка включительно. u`=1; u``=0; u```=0. V`=1/x; v``=-1/x^2; v```=2/x^3. Давайте смотреть. И так ответ получается сразу. (xlnx)```. Производная u```= 0 и Производная u``= 0, так что у нас остаются только 2 сомножителя. (xlnx)```=3*1-(1/x^2) +x*2/x^3=(-3/x^2) +2/x^2=-1/x^2. Можно было поступить так: найдём производную первого порядка, потому продифференцировав ответ – второго. И ответ был бы тем же самым. Наша задача, возможно, не самого оптимального решения, просто, показать, как работает формула обобщения и как ей можно воспользоваться. Возможно, непосредственное дифференцирование привело к ответу ещё быстрее, но в некоторых случаях особенно, когда нулевых производных нет, как здесь. Такое решение кажется оптимальным. И ещё давайте посмотрим, как написать коэффициенты. На самом деле это коэффициенты, которые вам известны из формул сокращённого умножения ещё со школы. Для второй производной – это коэффициенты от формулы (a+b) ^2; для третьей производной – (а+b) ^ 3; Для четвёртой (a+b) ^4 и так далее. Можно использовать формулы числа сочетаний, другие приёмы есть, но я думаю, этого нам пока достаточно.