Математика. Материалы курса

Практическое занятие посвящено геометрическому смыслу производной. Речь пойдёт о касательных. Давайте рассмотрим несложную задачу. Итак, дана квадратичная функция, помним, графиком является парабола. Нам требуется решить несколько задач для одной и той же функции f(x)=x²-2x-3. Во-первых, составить уравнение касательной и нормали к этой параболе в точке (3; 0). Во-вторых, определить, под каким углом график пересекает ось Ох в этой точке (точка (3; 0) лежит на оси Ох). А также ответить на вопрос, в какой точке график имеет горизонтальную касательную. Мы догадываемся, что касательная проходит через вершину, но мы это должны получить аналитически. И составить уравнение касательной и нормали уже в этой точке.

Давайте начнем решать. Итак, составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке (3; 0). Давайте проверим, принадлежит ли точка графику функции: х₀=3, действительно, f(х₀)=0, все верно, это всегда стоит проверить. Давайте посмотрим, как мы будем пользоваться уравнением касательной. Уравнение касательной: y-y₀=f’(х₀)(x-х₀).

Давайте с этого и начнем. Нам осталось найти значение производной в точке х₀: f’(х)=2х-2, f’(3)=4. Подставляем в уравнение найденное значение: y-0=4(x-3), у=4х-12. Найденное уравнение является уравнением касательной.

Чтобы написать уравнение нормали, можно посмотреть только на уравнение касательной, которое мы записывали, как уравнение с угловым коэффициентом. Точка, через которую проходит нормаль остается прежней, а вот угловой коэффициент нормали k_n=-1/4. Вспоминаем, две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1. Так, нормаль – это прямая, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной: y-0=-1/4(x-3), у=-1/4х+3/4. Мы получили ответ – уравнение нормали. Первый пункт задачи решен, перейдём к следующему пункту.

Под каким углом в точке (3; 0) график пересекает ось Ох? Ранее определили, что f’(3)=4. Геометрический смысл производной состоит в том, что тангенс угла, под которым касательная пересекает ось Ох равен 4, а значит, угол – это арктангенс 4: tgα =4, α=arctg 4. Всё, что нам нужно, знать это только значение производной. Совсем не нужно глядеть на уравнение касательной, все сразу получается.

Следующий пункт, в какой точке график имеет горизонтальную касательную? Горизонтальная касательная имеет угловой коэффициент, равный нулю k=0. Прямая у=kx + b является горизонтальной, если k=0. У касательной угловой коэффициент - это производная, значит, мы должны решить уравнение, определить, где производная равна нулю: f’(х)=0 => 2х-2=0 => х=1. В точке х значение производной равно нулю, значит в соответствующей точке графика, касательная горизонтальна. Посмотрим, что это за точка: х₀=1, у₀=1-2-3=-4. Горизонтальная касательная проходит через точку с координатами (1; -4), значит, y=-4 – это уравнение касательной, а прямая х=1 - это нормаль. Нам даже не потребовалось знать уравнение касательной и уравнение нормали (там, кстати, производная не должна быть равна нулю). Этот пункт у нас тоже решен. Давайте посмотрим на картинке, что же мы с вами выяснили (см. видео): парабола с вершиной в точке (1; -4), первоначальная касательная и нормаль, угол α=arctg 4, касательная и нормаль в точке (1, -4).

Следующая задача очень интересная, с ней надо разобраться. Под каким углом парабола у=х² видна из некоторой точки А(0, -2) (заметим, что точка не принадлежит параболе)?

Что здесь имеется ввиду? Итак, посмотрите на рисунок (см. видео), из точки А к параболе мы можем провести две касательные, полученный раствор (два луча) образует угол, про который мы говорим. Под этим углом парабола видна из точки А. Проблема в том, что мы не знаем точек, в которые проводятся касательные. Давайте решать задачу. Будем считать, что х₀, это искомая точка, их даже две. Значит, координаты точки касания (х₀; х₀²). В общем виде, уравнение касательной: y-y₀=f’(х₀)(x- х₀), y₀= х₀^2. Посмотрим значение производной в точке х₀: f’(х₀)=2х₀. Несмотря на то, что х₀ неизвестно, уравнение касательной мы можем составить: y-х₀²=2х₀(x- х₀). Это уравнение касательной, походящей через точку (х₀, у₀). Все было бы хорошо, но х₀ нам неизвестно. Мы ещё не воспользовались условием, что А принадлежит этой касательной, то есть координаты точки А удовлетворяют этому уравнению y-х₀²=2х₀(x- х₀). Подставляем координаты точки А в уравнение (y и x - это переменные, а х₀ – фиксированная точка, значение которой нам нужно найти): -2-х₀²= -2х₀². Получаем: х₀²=2 => х₀₁=2^1/2, х₀₂=-2^1/2 (точки можно увидеть на рисунке). Координаты точки касания нам становятся известны. Чтобы не начинать всё опять с нуля, мы можем воспользоваться уравнением y-х₀²=2х₀(x-х₀). Подставляем в это уравнение х₀=√2 и получаем, у=√2х-2 – это уравнение первой касательной. Во втором случае, вместо х₀ подставляем -√2, в уравнении изменится только знак, у=-√2х-2. У нас получились две касательные. Наше задание, найти под каким углом парабола видна из точки А. Задача, найти угол между прямыми у=√2х-2 и у=-√2х-2. Нужно воспользоваться тангенсом угла между прямыми. Если прямые заданы угловыми коэффициентами, то формула следующая: tgα=|(k₁-k₂)/(1+k₁*k₂)|. Осталось заметить, что k₁=√2, k₂=-√2. После того, как подставим в формулу k₁, k₂ и упростим выражение, получим: 4*√2/7. Остаётся выписать ответ: α=arctg(4*√2/7). Задача решена.

Мы вспомнили с вами условие перпендикулярности прямых, научились вычислять угол между прямыми, сейчас рассмотрим еще одну задачу, где рассматривается параллельность прямых.

Итак, снова та же самая парабола у=х², и в задаче нас спрашивают, в какой точке касательная к этой параболе параллельна секущей, проходящей через точки параболы А(-1, 1) и В(2, 4). Наша задача найти точку х₀, принадлежащую параболе, через которую проходит касательная. Вспомним, что две прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами k₁, k₂ параллельны, если значения угловых коэффициентов совпадают, k₁=k₂. Надо найти угловые коэффициенты прямой АВ и касательной в точке х₀.

Чтобы найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А, В, надо разность ординат разделить на разность абсцисс: (4-1)/(2-(-1))=1.

Угловой коэффициент касательной параболы в точке х_0, которую мы не знаем, будет равен 2х₀. Итак, 2х₀=1 => х₀=1/2. Мы нашли, в какой точке касательная параллельна прямой АВ. Первая координата точки равна 1/2, а вторую легко сосчитать, она равна 1/4. Задача решена.