Математика. Материалы курса

Эта лекция посвящена понятию дифференциала функции. У вас, думаю, возникал вопрос о том, что изучаем дифференциальное исчисление, но однокоренных слов для прилагательного «дифференциальное» не встречали. Оказывается, есть и такое слово – дифференциал. Сегодня мы раскроем это понятие, а также рассмотрим производные и дифференциалы высших порядков.

Итак, начнем с очень важной теоремы, необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Помним, под дифференцируемостью мы понимаем существование конечной производной в точке, равной числу. Это условие эквивалентно теореме: функция дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда приращение функции в этой точке, представимо в следующем виде: Δf(x₀)=A*Δx₀+o(Δx), где А – это некоторое действительные число, o(Δx) - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx (предел отношения этих величин равен нулю при Δx стремящемся к 0, слагаемое o(Δx) стремится к нулю гораздо быстрее, чем величина Δx).

Проведем доказательство, оно несложное. Итак, в одну сторону: пусть f дифференцируема в точке x₀. Значит, что в точке x₀ существует конечная производная, равная пределу дроби Δf(x₀)/Δx. Из сказанного легко получаем следующую запись: предел разности Δf(x₀)/Δx – f’(x₀) при Δx → 0 равен 0. Если предел некоторой функции равен нулю, значит, эта функция называется бесконечно малой при Δx → 0. Так, α(Δx)=Δf(x₀)/ Δx – f’(x₀) - бесконечно малая величина. Выразим приращение функции: Δf(x₀)= f’(x₀)Δx+ α (Δx)Δx. Проанализируем полученную формулу: перед Δx стоит число равное f’(x₀), скажем, что это А, а второе слагаемое как раз и есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx (o(Δx)= α (Δx)Δx). Итак, на самом деле, приращение функции представимо в виде, о котором мы говорили.

Проведем доказательства в другую сторону. Пусть приращение функции представимо в виде Δf(x₀)=A*Δx₀+o(Δx). Нам нужно доказать, что функция дифференцируема, то есть существует конечная производная. Начнем вычислять производную по определению (предел Δf(x₀)/Δx при Δx → 0), вместо приращения подставим значение, которое нам дано по условию, и почленно разделим числитель на знаменатель. Имеем предел A*Δx₀/Δx +o(Δx)/Δx при Δx → 0. Простые вычисления приводят нас к результату: f’(x₀)=А. Мы получили, что из представимости приращения функции в точке следует дифференцируемость функции. Два пункта доказательства нам говорят, что эти два утверждения равносильны. Дифференцируемость функций в точке означает, что приращение функции имеет указанный вид.

Давайте проанализируем еще раз это равенство Δf(x₀)=A*Δx₀+o(Δx). Первое слагаемое A*Δx₀ - главная линейная часть, потому что вторым слагаемом можно пренебречь, оно очень мало. A*Δx₀ - это главная, существенная часть приращения функции, именно она и называется дифференциалом функции f в точке x₀, будем обозначать её df(x₀). Получили, дифференциал функции f(x₀), если функция дифференцируема, имеет вид df(x₀)=f’(x₀)Δx. Мы будем использовать немного другой вид дифференциала. Давайте рассмотрим функцию h(х)=х. Вычисляя ее дифференциал dx=x’Δx=1Δx (производная этой функции в любой точке равна единице), мы видим, что dx и Δx это одно и то же. Для симметрии этого равенства мы используем формулу дифференциала в следующем виде df(x₀)=f’(x₀)dx или dy=y’dx. Формула дифференциала получена.

Заметим, что из последней формулы следует обозначению производной. Нам было непонятно, почему одно из обозначений имеет вид частного. Так вот, с одной стороны, у’ – частное дифференциалов, с другой стороны, частное дифференциалов служит и обозначением производной. Свойства дифференциалов, практически такие же, что и правила дифференцирования.

Производная суммы равна сумме производных:d(U+V)=dU+dV. Производная разности - разности производных: d(U-V)=dU-dV. А также, d(UV)=UdV+VdU, d(cU)=cdU, d(U/V)=(VdU - UdV)/(V^2). Если мы букву d заменим на штрих, то мы получим в точности правила дифференцирования.

Доказательства обосновываются довольно быстро. Рассмотрим доказательства для произведения, со всем остальным доказательствами вы справитесь самостоятельно.

Итак, дифференциал произведений находим по формуле d(UV)=(UV)’d, раскрываем по правилу дифференцирования произведения (U’V+V’U)dx, затем объединяем множители и получаем требуемый результат: U’dxV+V’dxU=dU*V+dV*U=UdV+VdU.

Важнейший факт, который мы используем дальше, не только в дифференциальном, но и в интегральном исчислении, поэтому на него следует обратить особое внимание. Инвариантность формулы дифференциала первого порядка. Инвариантность - это неизменность, сохранение чего-то. Формула дифференциала df(x)=f’(x)dx не зависит от того, зависимой или независимой является переменная х. Свойство инвариантности говорит, что формула остается одинаковой. Давайте проведем рассуждения.

Формула дифференциала у нас было изначально получена df(x)=f’(x)dx, когда х – независимая переменная. Давайте будем считать, что х сама является функцией переменной t, x=f(t), то есть независимая переменная уже не x, а t. Тогда, находя дифференциал функции, мы понимаем, что df(x)=df(x(t))=(f(x(t)))’dt. Вычисляем производную сложной функции и заменяем x(t) на x и x’(t)dt на dx: f’(x(t))*x’(t)dt=f’(x)dx. Получаем ту же самую формулу, здесь x – это уже сама функция переменной t, зависимая переменная, a формула осталась прежней. Итак, свойство инвариантности работает.

Где же находится дифференциал? Что ж это такое? Давайте запишем определение и построим картинку, которую мы строили, когда рассматривали геометрический смысл производной (см. видео). Введем буквенные обозначения вершин треугольников, появились точки N, T. Рассмотрим треугольник М₀NT: tgα= f’(x₀). Катеты этого треугольника связаны с помощью тангенса следующей формулой: |NT|=|M₀N|*tgα=f’(x₀)Δx=df(x₀). Остаётся сделать замену, и мы понимаем, что по формуле дифференциала катет NT в этом треугольнике, это и есть дифференциал функции. Посмотрите, дифференциал функции – это длина отрезка NT, это главная линейная часть приращения функции. Если Δx→0, то другой отрезок, дающий в сумме приращение функции MT практически исчезает. Итак, точка Т находиться на касательной, чтобы найти дифференциал нужно из ординаты точки Т вычесть ординату точки N или M₀. Итак, дифференциал функции в точке x₀ – это превращение ординаты по касательной, длина отрезка NT.

Дифференциал применяется, например, для вычисления приближенного значения функции. Давайте посмотрим, мы сказали, что приращение функции примерно равно дифференциалу функции, если Δx достаточно мало, то есть f’(x₀)Δx. Заменяя приращение функции на разность значений функций в точках x₀, x₀+Δx, получаем приближённое равенство: f(x₀+Δx)≈ f(x₀)+ f’(x₀)Δx. Значит, в точке x₀+Δx значение может быть найдено по указанной формуле.

Давайте посмотрим, как этим можно воспользоваться.

Допустим нужно вычислить приближёно √3,99. Мы не пользуемся калькулятором, понимаем, что это число довольно близко к 4, из которого корень извлекается без проблем. Мы рассмотрим функцию f(x)=√x, изначальная точка x₀=4, новая точка x₀+Δx=3,99 (она получилась в результате изменения точки х₀ на -0,01), Δx=0,01. Осталось воспользоваться формулой, для этого нам нужно знать значение функции в точке x₀ и значение производной в точке x₀. Значение в точке f(x₀)=2, значение производной в точке x₀ это f’(x₀)=1/4. Подставляя в формулу, мы получаем приближённый ответ: √3,99 приближенно равен 1,9975.

А сейчас рассмотрим производные, а потом и дифференциалы высших порядков. Мы уже заметили, в общем-то и пользовались этим фактом, если мы в каждой точке x₀ вычислим значение производной (допустим функция дифференцируема на каком-то интервале), то мы получим новую функцию, которую мы обозначаем f’. Эта функция в свою очередь тоже может быть дифференцируемой, ее производная называется производной функции второго порядка. По индукции, таким же образом, мы можем вычислить значение производной любого порядка: fⁿ⁺¹(x)=(fⁿ⁺¹(x))’.

Ну и чтобы нам пользоваться производными высших порядков, посмотрим, какие применяются обозначения. Мы можем использовать римские цифры, особенно это касается первых пяти производных, штрихи мы воспринимаем как римские единицы. А вот 10 порядок, мы можем написать римской цифрой f^Х(x₀). Если мы используем арабские цифры, то чтобы не путать со степенью, мы их заключаем в скобки f⁽¹⁰⁾(x₀).

Также как мы знали, что производную десятого порядка, тоже можно обозначить в виде частного d¹⁰f/dx¹⁰ (x₀).

У нас было обобщение формулы производной произведения UV, когда количество сомножитель увеличивалось. Можно рассмотреть обобщение этой формулы и по порядку производной. Производную произведения функции UV n-го порядка, можно вычислить по формуле Лейбница (см. видео).

Давайте посмотрим на примере производной третьего порядка произведения sin(x)*e^x: (sin(x)e^x)’’’=(sin(x))’’’e^x+3(sin(x))’’(e^x)’+3(sin(x))’(e^x)’’+sin(x)(e^x)’’’. Коэффициенты как в формуле (a+b)³, коэффициенты перед четырьмя слагаемыми 1, 3, 3, 1. Вот это и есть те самые числа, которые мы написали перед нашими слагаемыми. Дальше осталось только найти производные 3, 2, 1 порядка для данных функций. Ну и ответ довольно быстро получается: 2e^x(cos(x)-sin(x)). Имейте в виду полезную формулу, которую можно использовать при решении задач.

Что же такое дифференциал высших порядков? Дифференциал второго порядка находится как дифференциал от дифференциала первого порядка d²f(x)=d(df(x))=f’’(x)dx² . Тут, конечно, возникает вопрос: в формуле дифференциала два сомножителя и получается, что он зависит и от x, и от dx (dx это Δx). Дифференциал второго порядка находятся из предположения, что dx остается тем же самым, постоянной. В результате мы получаем следующую формулу (см. видео). По индукции находятся дифференциалы любого более высокого порядка. В результате мы получаем формулу дифференциала n-го порядка функции f: dⁿf(x)=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Отсюда мы видим, откуда взялось обозначение производной n-го порядка: f⁽ⁿ⁾(x)= dⁿf(x)/dxⁿ. Дифференциал второго порядка, а значит, и более высокого порядка, не обладает свойством инвариантности. Нужно помнить, что дифференциал первого порядка является инвариантным, формула является инвариантной, а вот дифференциал второго и более высокого порядка формула свойством инвариантности не обладает. Вы можете проверить, также как мы это делали для дифференциала первого порядка, и сравнить формулы дифференциала второго порядка, когда х – независимая переменная или зависимая. Вы увидите, что результаты отличаются.