Математика. Материалы курса

Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

На этом практическом занятии мы продолжаем тему дифференцирования функций. Потому что, оказывается, класс функций мы еще не весь рассмотрели. Остался еще один.

Итак, это функция U в степени V, где U и V это в свою очередь функции переменной x, такая функция называется степенно-показательной.  Мы не можем применить таблицу производных, поскольку у нас есть формула дифференцирования степенной функции, есть формула дифференцирования показательной  функции, а для степенно-показательной эти формулы не годятся. На помощь нам приходит метод логарифмического дифференцирования. Что нам понадобится для этого метода? Конечно, правила дифференцирования и немного, немного знания логарифмов.

Во-первых, давайте рассмотрим формулу производной логарифма y, если y это функция. Применяя формулы дифференцирования сложной функции, мы видим это: 1/y умноженное на y’. Давайте из этого равенства выразим y’, видим y’ это y умноженное на производную логарифма y.

Сейчас я вас призываю обратить внимание на эту формулу, и ее даже можно добавить к списку правил дифференцирования, и использовать в этих особых случаях. Давайте посмотрим, как работает эта новая формула. Новое правило, которое мы называем логарифмическим дифференцированием.

И так, рассмотрим функцию y это U^V , так, обращаемся к выделенной формуле. Что мы записываем, производные данной функции y’ это U^v умноженное, дальше логарифм от U в степени V и все это под знаком производной. Вот в этом месте нам понадобится как раз свойство логарифма. Мы показатель степени V выносим как множитель перед логарифмом. И что же мы видим. Проблемы исчезли поскольку, на этом этапе все, что нам нужно это найти производную произведения V и логарифма U. Проблем дальше нет.

Давайте сейчас применим этот способ для конкретного примера. Итак, формула у нас перед глазами. И степенно показательная функция имеет вид х в степени х. По указанной формуле мы записываем: множитель y это данная функция х в степени х и дальше умножаем на производную логарифма этой функции. Выносим х как множитель перед логарифмом и все, дальше работают совершенно простые правила дифференцирования функции. Итак, производные произведения, приходим к табличным  функциям, ну и следующим шагом только преобразуем чуть-чуть и получаем ответ. Все довольно просто.

Давайте рассмотрим еще пример. Опять это степенно-показательная функция в основании переменной х, в показателе степени тоже переменная х. Не допускайте ошибок, не применяйте формулу х в степени альфа или а в степени х. Вы допустите ошибки. Те формулы не применимы. Применяем метод логарифмического дифференцирования. Формула. Итак, записываем первый множитель - это y, дальше логарифм y’. Множитель логарифм x появляется перед логарифмом. И применяем теорему об арифметических операциях. Здесь производная произведения со штрихами на первом этапе. Записали. Если вы хорошо умеете дифференцировать, в принципе, может сразу появится нужная запись, и даже можно сразу записывать ответ, если вы можете выполнять некоторые преобразования мысленно. На что я могу обратить ваше внимание: логарифмическое дифференцирование можно применять не только для степенно-показательной функции, но и для функции, в которых много сомножителей, особенно, если это степени или показательные функции, но чаще всего конечно мы применяем этот метод для логарифмического дифференцирования.

И второй у нас тип задач, которые мы рассмотрим: дифференцирование функции, заданной параметрически. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически. Применяем формулу,  вычисляем производные х и y, получаем ответ. Для производной второго порядка применяем эту же формулу. Получаем следующую запись.

Давайте рассмотрим пример функции, заданной параметрически, которую мы до этого не рассматривали. Очень интересная кривая астроида, как она появляется? Представьте, что у нас есть окружность радиуса r. А по внутренней части этой окружности катится другая, радиус которой в 4 раза меньше. На этой маленькой окружности зафиксирована точка, и она оставляет за собой след, так вот траектория движения этой точки и называется астроидой. И видите название немножко такое астрономическое, похожее на звезду. Вот, посмотрите, как появляется эта астроида. Ну и давайте рассмотрим решение этой задачи.

Найти производную этой функции данной, заданной параметрически. Итак, применяем формулу, производная вычисляется как y’ деленная на х’, где x и y – это функции переменной t. Дальше подставляем данные из системы функции и вычисляем производную сложной функции. Не трудно заметить, что на синус, косинус и на 3r сокращается дробь, и у нас остается косинус t в числителе и в знаменателе синус t и знак минус, итак минус катангенс t. Все, задача решена.