Математика. Материалы курса

Правила дифференцирования

Сегодняшнее занятие посвящено отработке правил дифференцирования. Что мы должны знать, подготовившись к этому занятию. Конечно, таблицу производных, формулу производных, суммы, разности, произведения, частное двух функций, правила дифференцирования композиций.

Первый пример самый простой. Итак, здесь участвуют сумма, разность функций. Применяем правила дифференцирования суммы разности, и то, что мы можем постоянный множитель вынести за знак производной. Корень мы записали как x^1/2 и последние слагаемые записали тоже: 1/х заменили на х^-1 для удобства дифференцирования. Дальше все, что нам нужно -  это знать формулу производной степенной функции. Применяя эту формулу для каждого из трех случаев мы получаем следующую запись.  Дальше преобразуя, заменяя х^-1/2 на 1/корень из х, х^-2 на 1/х^2, записываем окончательный ответ.

Второй пример. Вообще, какой вопрос вы всегда должны себе задавать. Действие, которое в указанной формуле выполняется последним? Последнее действие здесь деление, поэтому применять мы будем формулу производной частного этих двух функций. Вот эта формула. В функции U и V -  числитель, знаменатель нам известный. Получаем следующую запись, все, что остается нам - применить  формулы из таблицы производных.

Дальше небольшое преобразование, окончательный ответ получен.

Пример третий. Смотрите, здесь произведение, опять последнее действие какое? Вообще это произведение трех функций. У нас было важное следствие. Мы рассматривали его в лекции. Как оно выглядит, мы говорили, что производное любого конечного числа функции перемноженных может быть вычислено с последующей формулой. Смотрите, у нас участвует 3 функции значит будет 3 слагаемых, в каждом из которых мы повторяем три функции. И штрих у нас в первом слагаемом над первой функции, во втором над вторым множителем. И в третьем слагаемом над третьей функцией.

И все что остается нам это применить знания формул таблицы производных. Записываем, и небольшое преобразование приводит нас к окончательному ответу.

Ну и давайте сейчас разберемся с дифференцированием композиций. С дифференцированием сложной функции. И опять задаем себе вопрос, какое действие здесь выполнялось последним. Мы видим - возведение в 5-ю степень. У нас есть формула х в степени альфа, здесь у нас U в 5-й степени. Вычисляя производную, мы видим это 5 U^4 на U’, применительно к данному примеру мы получаем следующую запись. Остается найти производную 3х-1, очевидно это тройка и поучаем окончательный ответ.

Еще один пример, синус аргумента х^2. Последнее действие, которое здесь выполнялось это вычисление синуса. Синус х это табличная формула. Формула приводит нас к следующему применению теоремы о производной сложной функции. Производная синусовой это косинус U умноженное на U’. Применительно к данному примеру это косинус того же самого Uх^2 умноженное на х^2. А дальше штрих у нас уже стоит над х^2, табличная формула дальше применяется. И записываем окончательный ответ.

Посмотрите, здесь тоже участвует две функции синус и возведение в квадрат. Но давайте зададим себе вопрос. Какое действие к этой композиции выполнялось в последнюю очередь. Какое последнее действие – это возведение в квадрат. Но для возведения в квадрат, табличная формула U^2 это 2U умноженная на U’, в роли U – sin х, в результате, применения этой формулы мы получаем 2sin х умноженное на sin’x, это cos х. Мы видим, получили хорошую формулу синуса двойного угла. Ответ получен.

Попробуйте, пользуясь формулами правил дифференцирования, кроме того, следствиями и таблицей производной вычислить, найти значения этих производных.

И ответы, кроме того, здесь тоже есть. Поэтому, не подглядывая, попробуйте найти результат и сравнить с указанными решениями.