Математика. Материалы курса

Когда мы говорили о способах задания функции, в общем-то, у нас был один способ – аналитический – самый важный, с которым мы знакомы еще со школы. Но он не ограничивает все многообразие. Еще были другие способы. Способов заданий функции на самом деле гораздо больше. Cегодня мы познакомимся с заданием функций параметрически и с заданием функции неявным образом (так это говорится). Ну и, соответственно, поскольку мы изучаем дифференциальное исчисление, то мы поговорим и о вычислении производных таких функций.

Итак, для начала рассмотрим, что же такое функция, заданная параметрически. Пусть дана система двух функций от переменной t. x = φ(t), y =ψ(t), где t пробегает значения из некоторого интервала от α до β. Если мы берем какое-то конкретное значение t из этого интервала, мы вычисляем два числа x и y, но пара чисел x, y определяет на плоскости точку М с такими координатами. Так каждому значению t из интервала от α до β соответствует точка на координатной плоскости. Значит, если t пробегает значения от α до β, на плоскости по очереди появляются точки, которые соединяясь, образуют кривую. Итак, данная система функций задает параметрическую кривую, а t при этом называется параметром.

Если функция φ – обратима, то, посмотрите, значит, t можно выразить через x, и, подставив в y, мы получаем, что y становится функцией от переменной x. Таким образом, данная система функций задает еще и функцию в обычном смысле этого слова. Функцию от переменной x. Такая функция, мы говорим, задана данной системой функций параметрически. Итак, система функций задает кривую и задает функцию.

Давайте рассмотрим некоторые примеры.

Первый пример. Параметрическое уравнение окружности. Итак, кривая – окружность на плоскости – оказывается, может быть задана системой функций. Легко заметить, если мы возведем каждое из уравнений в квадрат, потом найдем сумму левых частей, получится x²+y². Справа в силу основного тригонометрического тождества мы получаем r². На самом деле, точки плоскости, мы видим, образует окружность с центром в начале координат радиуса r. Как связаны x, y, t и r? Это видно из этой иллюстрации. Итак, t – параметр – это угол между направлением оси Оx и лучом ОМ, связывающим точку начала координат и точку (x, y).

Еще одна кривая – эллипс. Эллипсом называется множество точек на плоскости, заданное параметрически следующим уравнением (см. видео). Если мы исключим параметр из этого уравнения, то нетрудно заметить, что x и y удовлетворяют следующему уравнению (см. видео). Мы получаем уравнение эллипса в системе координат Оху. На самом деле существует и другой способ задания эллипса, как геометрическое место точек, и способ построения эллипса указан на этом изображении (см. видео).

Еще одна очень интересная кривая –циклоида – это кривая, которая задается параметрический системой функций, где t пробегает все действительные значения. Как можно себе представить циклоиду? По прямой катится окружность, а на окружности зафиксирована точка. Траектория движения этой точки и называется циклоидой. Посмотрите на эту иллюстрацию (см. видео). Появляющаяся дуга и называется циклоидой. Она состоит из арок.

Существует много и других интересных кривых, которые задаются параметрически.

Что особенного у функций, заданных параметрически, и у кривых, заданных параметрически. При изменении параметра появляется новая точка, появляется движение, а, значит, и направление на кривой. Еще надо иметь ввиду, что если вам задана функция аналитически в обычном виде у=f(x), то ее легко можно параметризовать, причем таких способов введения параметра бесконечно много. Значит, параметрический способ задания шире, чем аналитическое задание функции. Мы всегда можем считать, что x – это и есть параметр t, и тогда от y = f(х) мы легко переходим к параметрическому заданию x = t, у = f(t). Мы можем считать, что x = t - 1, тогда получаем другой способ задания этой же функции.

Как дифференцировать функцию, заданную параметрически? Пусть функция задана параметрически системой функций. Чтобы найти ее производную в точке x₀, которая является значением функции φ в некоторой точке t₀, мы пользуемся определением производной – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Что можно сделать? Разделим числитель и знаменатель на Δt. Мы в результате получаем в числителе значение производной функции ψ, в знаменателе значение производной функции φ в точке t₀. Конечно, при условии, что эти функции дифференцируемы в точке t₀, и значение знаменателя не равно нулю.

Таким образом, значение производной определяется по формуле (см. видео), часто мы говорим, надо разделить у’(t), конечно, как функцию переменной от t, на x’(t). Это функция производной, которую мы только что нашли. Можно считать, она тоже задана параметрически.

В какой точке вычисляется значение производной? В точке x, значение которой остается прежним – φ(t). Как мы находили значение y? В какой точке? φ(t). Значение производной в какой точке? В той же самой – φ(t). Поэтому для вычисления производной второго порядка, мы пользуемся этим же самым правилом. Чтобы найти вторую производную, мы должны будем разделить производную у на производную x.

Давайте рассмотрим пример. Итак, найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически системой функций (см. видео). t пробегает все действительные значения. Здесь на t нет никаких ограничений.

Итак, находим производную первого порядка по формуле, у’(t) делим на x’(t). Вычисляем производную синуса 4t, в знаменателе 2t - 1, и получаем результат. Итак, производная функции в результате оказывается задана параметрически. Аргумент – это 2t - 1. Значение производной – это то самое значение 2 косинус 4t, которые мы только что нашли.

Поэтому вторая производная вычисляется снова по тому же самому правилу. Вычисляем значение у’, как функции переменной t, в числителе и делим на x’(t), вычисляя производную, получаем ответ. Продолжая таким же образом действовать, мы можем получить производные и второго, и третьего, и любого другого порядка.

Следующий момент. Что же такое функция, заданная неявно? Рассмотрим окружность x² + у² =1. Это множество точек плоскости, которое, вообще говоря, не является графиком функции. Почему? Мы можем провести вертикальную прямую так, что она пересечет окружность в двух точках. Посмотрите, значит, аргументу x соответствует два значения у. Это не функция. Но если мы уберем некоторые точки на окружности и оставим только те части, чтобы любая вертикальная прямая пересекала оставшееся множество не более, чем в одной точке, мы получим уже функцию, которой удовлетворяет любая точка плоскости. Эта функция задана неявно. Если мы оставим нижнюю часть окружности, это будет та же функция, заданная неявно этим же самым уравнением.

Вообще говоря, функций оказывается бесконечно много. Из них только две оказываются непрерывными. Графиками этих непрерывных функций являются верхняя полуокружность или нижняя полуокружность.

Как найти производную этой функции? Таким образом, посмотрите, какие возникают вопросы? Глядя на это уравнение, первое, что мы отметили, что этим уравнением задается неявно функций бесконечно много. Но для этих функций что является областью определения, как вычисляются значения, сколько непрерывных, мы сказали две, и как вычислить их производные? Итак, областью определения служат те точки x, для которых существует у такое, что пара x, у удовлетворяют этому уравнению. Как вычисляется значение? Вообще-то неоднозначно решается этот вопрос. В качестве значения может быть выбрано одно из двух, если соответствует 2 точки на окружности, то можно взять любое из них.

Ну, а, чтобы выяснить, как вычисляются производные, давайте решим эту задачу. Итак, найти производную функции, заданной неявно указанным уравнением (см. видео). Что мы делаем? Продифференцируем правую и левую части, при этом мы считаем, что x – это аргумент, а у – это та самая функция, заданная неявно, у –это функция от переменной x. Это мы будем учитывать при дифференцировании. Посмотрите, производная x² – 2x, а производная у² – это же функция, это 2у*у’, производная единицы – это 0, и что же получается? Дальше легко: y’ вычисляется, отсюда выражается, и мы получаем это – -x / у. Таким образом, у‘ зависит не только от x, но еще и от у. Это как раз и дает нам право понимать, какую же точку y мы выбрали, значение в точке x. Итак, значение производной определяется не только аргументом, но и значением функции в точке x, которая выбрана в качестве значения функции.