Видеолекция (часть 1)
Мы открываем раздел, который называется дифференциальное исчисление функций одной переменной. Центральным понятием этого раздела является понятие производной функции. Начало этим понятиям положили известные математики Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, жившие в XVII веке.
Начнем с понятия производной функции в точке. Функция f определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности. Изменим значение функции x0 на некоторую ненулевую величину Δ(дельта) x, которую принято называть приращением аргумента, получаем новую точку на оси абсцисс точку x0+ Δx. Что же при этом произойдет с функцией f? Новое ее значение на оси y в точке x0 + Δx, величина на которую изменилось значение функции, называется приращением функции f в точке x0, обозначается Δf(x0). Посмотрите, как это значение вычисляется (см. на видео).
Если существует конечный предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента при стремлении его к нулю, то значение этого предела и называется производной функции f точке x0. Функция f при этом называется дифференцируемой в точке x0. f’(x0) – общепринятое обозначение производной. Кроме того, при решении задач, мы будем использовать и другие обозначения (см. на видео) Все это – обозначения производной функции f в точке x0.
Надо иметь ввиду, что иногда функция бывает и не дифференцируемой. Это те случаи, когда указанный предел или не существует или равен бесконечности. Что является необходимым условием дифференцируемости? Сформулируем теорему. Если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Непрерывность является необходимым условием дифференцируемости. Давайте проведем доказательства. Оно не сложное. Функция дифференцируема в точке, значит в этой точке x0, существует конечная производная, которая определяется, как предел. Чтобы установить непрерывность, нам нужно воспользоваться определением. Посмотрите, функция называется непрерывный, если предел приращения функций при стремлении к нулю равен нулю. Давайте вычислим предел приращения функции. Что мы для этого сделаем? Разделим на Δx и умножим на Δx приращение функций и применим теорему о пределе произведения. Предел первого множителя – это f’(x0), предел приращения равен нулю, получаем ноль. На основании определения непрерывности на языке приращений мы делаем вывод, функция непрерывна в точке x0. Теорема доказана.
Давайте заметим, что обратная теорема не верна, то есть классы дифференцируемых функций и непрерывных не совпадают. Существует непрерывные функции, которые не являются дифференцируемыми.
Примером такой функции служит очень простая функция f(x) = |x|. В качестве x0 рассмотрим точку ноль. Довольно очевидно, что функция непрерывна в точке 0. Давайте установим, что она не является дифференцируемой в точке 0. Попробуем вычислить производную. Если производная существует в точке 0, то она вычисляется, как предел отношения приращения функции в точке 0 к приращению аргумента Δx при стремлении последнего к нулю. Попробуем вычислить этот предел. Для начала разберемся, что такое Δf от нуля. По формуле (см. на видео) вычисляем приращение и видим, что это |Δx|, очевидно, что он будет раскрываться по-разному в зависимости от знака Δx. Первый случай. Пусть Δx>0, то есть приращение функции это Δx. Вычисляя предел отношения при Δx>0, мы получаем, что предел равен единице. Второй случай. Вычисляем этот же предел при Δx<0. Что мы получаем? Предел отношения равен -1. Итак, предел отношения приращения функции в точке 0 к приращению аргумента Δx, при стремлении Δx нулю, зависит от того дельта Δx>0 или Δx<0, то есть односторонние пределы не равны. Вывод: предел указанный не существует, а значит, и производной в точке 0 не существует. Функция непрерывна в точке 0, но дифференцируемость в точке 0 нарушена.
Как же мы определяем на вид по графику, что функция не является дифференцируемой? Графики дифференцируемых функций называют гладкими. В точке 0 нарушена гладкость этой кривой, функция не дифференцируема, несмотря на то, что она непрерывна.
А сейчас давайте попробуем вычислять производные функции, пользуясь определением. Задание: найти производную функции в произвольной точке x для функции константы. f (x)=c в любой точке x числовой прямой. Составим определение. x это произвольная точка числовой прямой, найдем приращение функции - числитель дроби. Придаем аргументу в произвольной точке x приращение Δx. Получаем новую точку x0 + Δx. Что мы видим? Поскольку значение функции в любой точке равно c, то приращение функции всегда равно нулю. Что же мы получаем в результате? Приходится вычислять предел дроби 0 / Δx. Эта функция – константа везде, кроме, где Δx равно нулю. Предел константы равен нулю. Делаем вывод, что производная константы в любой точке равна нулю.
Давайте рассмотрим еще один пример. Задание найти производную функции sin(x) в произвольной точке x числовой прямой. Снова записываем определение, придаем аргументу x ненулевое превращение Δx. Составляем приращение функции. Дальше для удобства воспользуемся формулой разности синусов и преобразуем Δf(x) к новому виду. А сейчас давайте вычислим предел. Получили отношение под знаком предела (см. на видео) видим здесь неопределенность 0 / 0, тригонометрия, значит, используем первый замечательный предел. Нетрудно заметить, что вот это выражение, эта указанная дробь (см. на видео) по первому замечательному пределу стремится к единице. Дальше вычисляя предел, Δx стремится к нулю, получаем cos(x). Вывод: производная sin(x) в любой точке числовой прямой равна cos(x).
Мы можем продолжить вычисление производных любых функций по определению, в результате мы получим факты, которые легко объединяются в таблицу производных. Это то, что вы должны знать для вычисления производных. Для справки вы видите последние формулы в этой таблице, которые касаются гиперболических функций. Так они называются гиперболический синус, косинус, тангенс и котангенс. Часто задачи в учебниках на вычисление производных бывают связаны с этими функциями. Чтобы вы знали, что это такое справочный материал справа вам говорит об этих функциях.
Вычислять производную, как предел, бывает порой очень трудоемкой задачей и, наверное, не нужной, поэтому на помощь нам приходят правила дифференцирования, которые упрощают задачу вычисления производных. И первая теорема это об арифметических операциях над производными. Если функции U и V дифференцируемы в точке x0, то в этой точке дифференцируемы сумма, разность, произведение и частное функций, частное при некоторых ограничениях. Формулы вычисления производных в точке x0 в общем-то хорошо известны и вычисляются, как пределы. Получается не так уж и сложно. Мы не будем это делать. Запоминаем эти правила, и мы будем их использовать при решении задач на нахождение производных.
Следствия, которые также бывают удобны. Первое: постоянный множитель можно выносить за знак производной. Второе: если у нас была формула для производной произведения двух множителей, то она легко обобщается на произведение любого конечного числа функций. Здесь применяется метод математической индукции для доказательства. Посмотрите, как работает в этом случае эта формула (см. на видео).
Кроме того, функции могут быть связаны операцией композиции, поэтому необходима теорема, как действовать при вычислении производной композиции двух функций. Если функцию u дифференцирована в точке x0, а функция f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0, то композиция этих функций функция F оказывается дифференцируемой в точке x0 и производная вычисляется по формуле (см. на видео).
Давайте обратим внимание, что если хотя бы одна из функций u или f константы, то правая часть, вообще функции F становится константой, производная F будет равна нулю и правая часть будет тоже равна нулю, то есть если хотя бы одна функция константа формула очевидно справедливо. Для доказательства будем считать, что это не константы. Придадим аргументу x приращения Δx. Что при этом произойдет с функцией u? Она получит приращение Δu и производная функции u в точке x0 вычисляется, как предел отношения Δu к Δx, при стремлении Δx к нулю. Но Δu в свою очередь является приращением аргумента для функции f. Приращение аргумента изменяет значение функции f на величину Δy. Поэтому производная функции f в точке u0 вычисляется уже, как предел отношения Δy к Δu, при стремлении Δu к нулю. В то же время Δy является приращением и всей функции F сложной функции, композиции функций u и f. По определению производная функции F вычисляется, как предел отношения ее приращения к приращению аргумента. Что нам остается сделать? Разделим на Δu, умножим на Δu и, применяя теорему о пределе произведения функций, мы получаем нужный вывод о производной композиции двух функций.
На практике, чтобы не вводить лишних обозначений эту теорему можно записать коротко так ее вывод (см. на видео). Если u – некоторое выражение содержащий переменную x, то производная вычисляется как f' при том же значение аргумента u и дальше мы умножаем на производную этого аргумента u. Как эта формула работает. Давайте на некоторых примерах посмотрим из таблицы производных. Вообще всю таблицу производных можно переписать еще раз. Допустим вот у нас есть три формулы в таблице производных. Как преобразуется формула дифференцирования, если вместо x стоит некоторое выражение? Посмотрите, мы пишем ту же самую формулу, что было прежде написано с x, но дальше всегда появляется множитель u’. Итак, вся таблица производных может быть переписана заново следующим образом (см. на видео).