Математика. Материалы курса

Наше практическое занятие посвящено исследованию функций на непрерывность и классификации точек разрыва.

Давайте разберем примеры. Итак, функция f задана разными формулами на разных промежутках. На что мы обращаем внимание? Все три формулы: минус x минус 3, единица, деленная на x + 2, x минус 1 в квадрате, вообще говоря, если бы были выписаны отдельно, являются элементарными функциями, про которые мы знаем, что они непрерывны на своих областях определения.

Как же связать функцию f с этими функциями? Как использовать уже известные факты о непрерывности этих функций?

Итак, мы будем использовать следующую теорему: если две функции совпадают на некотором интервале, и одна из функций на этом интервале непрерывна, то мы говорим, что и другая функция непрерывна на этом интервале тоже.

Кстати, вы можете попробовать доказать этот факт.

Если бы здесь был не интервал, а, например, отрезок, то есть мы включили бы одну из точек хотя бы в этот промежуток, то теорема перестанет быть верной. Так что обратите: внимание о совпадении на интервалах идет речь.

Как мы будем использовать этот факт? Посмотрите: вернемся к функции f. Итак, элементарные функции (здесь они перечислены) непрерывны на своих областях определения, то есть в любой точке области определения, а значит, и на интервалах, смотрите, функция f совпадает с этими функциями на каких интервалах? Вообще она совпадает не только на интервалах, но и в точке -2, но теорему-то мы можем применить только на интервалах, поэтому мы указываем наибольшие интервалы, на которых функция f совпадает с указанными функциями.

Итак, совпадает с первой функцией на интервале от минус бесконечности до двух, со второй функций – на интервале от минус 2 до 0, и с третьей функцией – на интервале от 0 до плюс бесконечности. Итак, огромный класс точек мы уже знаем, где функция f непрерывна.

Нам всего-то и осталось выяснить: в точках минус 2 и 0 функция f непрерывна или нет? Давайте рассмотрим эти точки.

Запишем функцию f, чтобы нам помнить, как она выглядит.

Запишем и первую точку -2. Это та точка, в которой функция f переходит от одной формулы к другой. Итак, -2. Чем мы будем пользоваться? Мы будем пользоваться определением непрерывности. Функция непрерывна, если предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Итак, вычисляем односторонние пределы. Слева: функция f задана левее точки -2 (мы рассматриваем левее точки -2 – это первая формула минус x минус 3), итак, предел этой функции в точке -2, подставляем, получаем минус единица, итак, предел слева данной функции равен минус единице.

Справа вычисляем. Правее точке -2. Функция f задана совершенно другой формулой. Вычисляется значение по формуле: единица, деленная на х плюс 2. Подставляем -2, получаем единицу, деленную на ноль. В теории пределов это бесконечность. Ну и еще можно учесть знак бесконечности. x больше -2, значит, знаменатель имеет знак +, больше нуля, поэтому дробь всегда положительна. Хотя в общем-то знак здесь и не важен.

Самое главное, что мы видим? Что хотя бы один из односторонних пределов в точке -2 равен бесконечности.

А мы говорили: если хотя бы один из односторонних пределов в точке x₀ равен бесконечности или не существует, то x₀ – это точка разрыва второго рода.

Итак, первый вывод мы получили. -2 – это точка разрыва 2 рода для данной функции f.

Рассмотрим следующую точку x₂, равное нулю. Опять вычислим односторонние пределы. Итак, х стремится к 0 слева, то есть оставаясь меньшим 0, левее точки 0, функция вблизи задана формулой единица, деленная на x + 2, подставляя 0, получаем ½, справа (правее точке 0) функция задана как x минус 1 в квадрате. Вычисляем предел, подставляя вместо x 0, получаем единицу. Видим: оба односторонние пределы конечны, но не равны. Вообще говоря, это означает, что предела в точке 0 нет. Так вот, если односторонние пределы конечны, то это разрыв первого рода. При этом если эти пределы не равны, то этот разрыв называется неустранимым. Говорят, функция терпит скачок, вон какие значения, скачок от 1/2 к единице. И если мы посмотрим на график этой функции, посмотрите, в точке -2 предел справа равен плюс бесконечности, скачок, вернее это разрыв второго рода, а вот в точке 0 – скачок. Чтобы нарисовать картинку, у нас должна рука подпрыгнуть до от 1/2 до единицы (скачок), итак, это разрыв первого рода, скачок не устраняем разрыв.

Давайте рассмотрим второй пример. Функция задана двумя формулами на интервалах от минус бесконечности до 2, от 2 до плюс бесконечности, а в самой точке 2 значение, сказано, равны 5. Давайте попробуем разобраться, где функция непрерывна, и есть ли у нее точки разрыва.

Опять же смотрим: функция f совпадает с квадратичной функцией и с линейной функцией на двух интервалах, значит, функция непрерывна на этих интервалах. Нам остается разобраться только с точкой 2. Итак, x₀ – всего единственная точка, которая требует какого-то выяснения.

Начинаем вычислять односторонние пределы. Левее точки два – это квадратичная функция, подставляем, вычисляем, получаем 5. Справа подставляем значение 2 в выражение для линейной функции, и опять 5, итак, односторонние пределы конечны. Это означает, что предел функции в точке 2 равен этому общему значению, итак, предел функции в точке 2 существует, конечен и равен числу 5.

Итак, когда же функция непрерывна? Если значение функции равно пределу, предел и значение должны быть равны. По вычислению предел функции f равен 5, и значения в точке 2, посмотрите на задание функции, тоже 5. Итак, предел и значение функции равны, значит, по определению непрерывности функция f в точке 2 тоже непрерывна. Вывод: функция f непрерывна в точке 2, а значит она непрерывна на R (можно было бы сказать просто непрерывно, имею в виду ее область определения – это R). Если мы посмотрим на график этой функции, то мы видим, что всю эту линию мы можем построить без отрыва руки – графиком служит непрерывная кривая.