Математика. Материалы курса

Тема лекции непрерывность функции в точке. Понятие исключительно важное, а возникло оно двести лет назад. В 1817 году впервые определение непрерывности на языке ε-Δ создал Больцано. Представление непрерывности у нас есть, это непрерывная кривая, которую мы можем построить, не отрывая руки.

А как перевести это понятие на язык символов? Давайте посмотрим. Во-первых, функция должна быть определена в точке x₀. Определение непрерывности на языке ε-Δ можно записать, используя символику окрестности – это первое определение, а, во-вторых, на языке неравенств.

Посмотрим на определения (см. на видео). Они очень напоминают определение предела функции в точке x₀, исключение составляет то, что в последней импликации f(x) принадлежит ε-окрестности числа f(x₀), и окрестность точки x₀ берется не проколотая. Как понять это определение? Как им пользоваться? Это конечно не простая задача.

Мы рассмотрим четыре определения непрерывности. Это первое (см. на видео). Именно в таком виде было оно образовано в первой половине 19 века на языке последовательностей точно также как определение предела. Функция называется непрерывной точке x₀, если какова бы ни была последовательность x_n, составленная из точек области определения, если она сходится к точке х₀, то соответствующая последовательность значений функций сходится к числу f(x₀).

Те два определения являются общими. Там не было требований, что х₀ предельная точка области определения. В принципе она могла быть изолированной точкой. Определения 3, 4 применяются только в том случае, когда x₀ предельная точка множество D(f). Это определение называется определением на языке пределов. В общем-то, мы его и узнали в определении 1 и в определении 2.

Функция называется непрерывной в точке x₀, если предел функции в этой точке равен значению функции. Очень важное определение, которые мы в дальнейшем будем использовать, когда будем говорить о точках разрыва.

Давайте проанализируем. Здесь, на самом деле, заключено три условия. Существования левой части. Предел функции в точке x₀ должен существовать и быть числом. Второе условие: функция должна быть определена в точке x_0, существует правая часть f(x₀). И третье условие: эти два числа (левая и правая части) должны быть равными.

Определение 4, которое нам понадобится в следующем разделе, который мы будем изучать очень скоро.

Отметим на графике точку x₀ и f(x₀). Дальше мы начинаем выполнять такие действия. Придадим аргументу изменение, мы говорим, приращение Δ x не равна нулю, получаем на оси x новую точку x₀+Δx. Давайте посмотрим, на оси y что при этом будет происходить. Значение функции тоже изменится на величину, было f(x₀) стало f(x₀+Δx₀). Величина изменения (см. на видео) называется приращением функции f(x₀). Итак, приращение аргумента на оси x, приращение функции на оси y. Получаем два приращения.

Вспомним определение на языке пределов. Функция непрерывна в точке x₀, если предел в точке 0 равен числу f(x₀). Воссоздадим доказательства и придем к определению 4. Довольно очевидно, что в этом случае предел разности f(x) и f(x₀) равен нулю. Ведем новое обозначение Δx – это разность x минус x₀. Очевидно, Δx стремится к 0, если x стремится к x₀. Из замены выражаем x. Что же мы получаем в этом случае? Предыдущая запись приобретает новый вид (см. на видео), и нетрудно заметить, что предел при этом вычисляется от приращения функции в точке x₀. Мы получили новое определение. Функция называется непрерывной точке x₀, если предел приращения функции в точке x₀ равен нулю при стремлении Δx к нулю. Часто это определение читают так, бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Давайте посмотрим, как работает это определение для простой функции f(x)=x². Пусть x₀ произвольная точка числовой прямой. Придадим ей приращение Δx. Получаем новую точку x₀+Δx, составим приращение функции Δf(x₀) по формуле, вычисляем, подставляя вместо x выражение для функции величину x₀+Δх, раскрываем скобки и получаем (см. на видео). Помним, функция непрерывна, если предел приращения функции равен нулю при стремлении Δx к нулю, что мы и получаем. Итак, Δx – это переменная, которая стремится к нулю, x₀ – это число, в ответе получаем 0. Вывод данная функция непрерывна в любой точке числовой прямой.

Мы говорим о непрерывности функций в целом или на множестве, что мы под этим имеем в виду? Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в любой точке этого множества. Если множество не упоминается, речь идет о непрерывности на всей области определения. График непрерывной функции, соответственно, это непрерывная кривая. Предыдущий пример нам говорит, что функция y=x² непрерывна. Мы помним, что графиком квадратичной функции является парабола, соответственно, парабола – это непрерывная кривая.

Мы не будем доказывать непрерывность остальных элементарных функций. Во-первых, все основные элементарные функции непрерывны, доказательства порой бывает непростым, но оно на самом деле проводится и доказывается. Что такое элементарная функция? Эта функция, которая получена с помощью основных элементарных функций, когда мы применяем к ним конечное число арифметических операций сложения и умножения, вычитания, деления и композиции функций. Так вот доказывается, что все элементарные функции непрерывны, то есть непрерывны на своих областях определений. Мы будем пользоваться этим важнейшим фактом.

Что же такое точка разрыва? Это такая точка x₀, в которой нарушено определение непрерывности. Давайте мы будем пользоваться третьем определением, которое у нас было на языке пределов, то есть предел функции в точке x₀ не равен числу f(x₀). Мы имеем ввиду, что x₀ это предельная точка области определения как с левой, так и с правой стороны.

Рассмотрим классификацию точек разрыва. Пусть x₀ точка разрыва, то есть не выполняется указанное равенство. По каким причинам это может быть? Односторонние пределы в точке x₀ конечны, они могут быть равными, неравными, не важно, это точка разрыва, в этом случае x₀ называется точкой разрыва первого рода. Если мы построим отрицание, что значит, односторонние пределы в точке x₀ не являются конечными. Мы получаем точку разрыва второго рода. В каком случае? Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует, в этом случае x₀ называется точкой разрыва второго рода.

Мы продолжаем классификацию точек разрыва первого рода. Разберемся с односторонними пределами. Что может быть? Односторонние пределы могут быть равными числами, могут быть неравными числами. Если эти два односторонних предела равны, то разрыв называется устранимым, а если не равны, то разрыв называется неустранимым. Мы говорим, что функция в точке x₀ имеет скачок. Мы уже упомянули, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Особую роль играют теоремы о функциях непрерывных на отрезке. Авторство этих теорем принадлежат математикам (см. на видео). Больцано мы уже упоминали, он первым заговорил об определение непрерывности. Еще два имени математиков Коши и Вейерштрасса. Итак, первая теорема Больцано-Коши. Коротко ее называют теоремой о нулях непрерывной на отрезке функции. Если функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения, на одном конце плюс, на другом минус, то существует точка, принадлежащая этому отрезку, в которой значение функции равно нулю. Это первая теорема из теорем о функциях, непрерывных на отрезке.

Вторая теорема тоже Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывных на отрезке функций. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то любое число r, заключенное между значениями функции на концах f(a) и f(b) является также значением функции в некоторой точке этого отрезка. То есть существует точка c, принадлежащая отрезку, в которой значение равно этому числу r.

Третья и четвертая теорема принадлежат Карлу Вейерштрассу. Первая из них – теорема об ограниченности непрерывной функции на заданном отрезке. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем.

И еще одна теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. То есть, существует такая точка, что значение функции в этой точке является самым большим из всех значений, принимаемых функцией на отрезке. Точно также есть такая точка, принадлежащая отрезку, в которой значение является наименьшим из всех принимаемых функции на отрезке.