Математика. Материалы курса

Что-то витает воздухе. Это неопределенности, но мы наведем сегодня порядок с парочкой из них. Мы рассмотрим неопределенности 0/0 и

бесконечность, деленная на бесконечность и разберемся, как же их раскрывают. Итак, первая неопределенность из указанных – это бесконечность, деленная на бесконечность. Что нужно запомнить? Мы об этом правиле должны помнить. Итак, если вычисляется предел отношения двух многочленов при x стремящемся к бесконечности, то правило такое: мы должны разделить числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной x.

Так, давайте рассмотрим пример, как это правило работает. Итак, вот пример: предел отношения многочленов при x стремящемся к бесконечности, мы говорим на бесконечности. Итак, это неопределенность: бесконечность, деленная на бесконечность. Как мы выясняем? Вместо x подставляем бесконечность и понимаем, в числителе - это какая-то бесконечно большая величина, в знаменателе тоже.

Итак, наивысшая степень переменной в этой дроби x квадрат. Делим числитель и знаменатель на x-квадрат. Что мы получаем, посмотрите. Мы получаем выражение: дробь, это дробь, что если мы подставим вместо х бесконечность, то неопределенности уже нет. Мы помним, число, деленное на бесконечность это 0 в теории пределов. В результате ответ получается моментально: неопределенность исчезла, мы ее раскрыли.

Второй пример. Итак, посмотрите, изменение небольшое. Во втором примере я убрала степень, 3 x квадрат было, стало 3x. Степень на единицу меньше. И степень числителя на единицу меньшей степени знаменателя. Но по-прежнему наивысшая степень переменной, которые здесь встречается, x квадрат. Преобразование каждый раз тождественные. Делим на x квадрат и что же получаем? Опять неопределенности исчезли, только в числителе оказался 0, знаменателе 5, 0 деленное на 5 – разрешенное действие, ответ 0.

Ну и третий пример. Здесь степень числителя большей степени знаменателя, но, по-прежнему, наивысшая степень x в квадрате. Делим, неопределенности исчезли, только при вычислении предела числителя и знаменателя мы получаем в числителе 3 в знаменателе 0, но в теории пределов – это разрешенное действие, в ответе получаем бесконечность. Итак, все проблемы решены.

Но что можно заметить? Посмотрите, каждый раз я обвожу ответы, которые мы получили. Ответ 3 / 5 . Как он связан с первым примером? Это коэффициенты при x-квадрат, при наивысшей степени переменной, 3 и 5. Во втором примере. Что такое 0 и 5, полученные в ответе? Это коэффициенты при наивысшей степени переменной, при х квадрат, в числителе – это 0, а в знаменателе – 5. И в третьем примере что такое 3 и 0? Дробь, полученная на последнем этапе. Это коэффициенты при наивысшей степени переменной x квадрат. 3 и 0.

Поэтому в таких примерах, если с нас не требует выполнять тождественные преобразования, ответы мы можем получить очень быстро, практически устно.

Итак, давайте сделаем вывод, который нам порой будет полезен: предел отношения двух многочленов на бесконечности, то есть при х стремящемся к бесконечности, равен отношению коэффициентов при наивысшей степени переменной этих многочленов. Очень полезное правило.

Так, давайте рассмотрим другую неопределенность – 0 на 0. Как с ней поступать? Имейте ввиду, что для каждой неопределенности абсолютно свое правило. Вы можете проверить, что эта неопределенность вот тем преобразованием, которые мы только что рассматривали, не раскрывается, ничего не получится. Итак, что мы должны помнить? 0 деленное на 0. Оказывается (это правда тут не сказано), при отношении многочлена и так что нужно сделать? Нужно разложить числитель и знаменатель на множители. И, обратите внимание, вы обязательно потом будете сокращать на x минус а. В этот момент будет исчезать указанная неопределенность. x стремится к а, и сокращать мы будем на x минус а. Давайте посмотрим на примерах.

Так, ну, во-первых, как раскладываете на множители, еще немножко об этом поговорим. Мы можем пользоваться для квадратного трехчлена формулой корней и разложить на множители, а можно пользоваться теоремы Виета. Помним, как связаны корни с коэффициентами квадратного трехчлена. И еще очень важная теорема Безу. О чем она говорит? Если действительное число является корнем многочлена, то этот многочлен раскладывается на множители, одним из которых является x минус а, тот самый, помните, на которой мы будем сокращать.

Так, ну давайте разберемся с примерами. Итак, с чего мы начинаем. Вообще это железное правило: любой предел вычисляем, подставляем вместо x здесь единицу, итак, вычисляем, мы получаем 0 деленный на ноль. Дальше я не показываю, как это мы сделали (мы вычисляем дискриминант, находим корни квадратного трехчлена, не забываем написать коэффициенты 3 и 5). Смотрите, х стремится к единице, a в числителе и знаменателе появились как раз необходимые множители x минус 1. Если у вас они не получились, значит, ищите ошибку, либо неопределенности не было, либо вы допустили ошибку в разложении на множители. Обязан по тереме Безу появится множитель x минус 1. Осталось сократить, ну и дальше подставить вместо х единицу, а тут мы вначале раскрыли скобки, и, смотрите, неопределенности как не бывало. Она исчезла. Мы получаем ответ.

Так, давайте во втором примере. Опять отношению многочленов нам дано. Подставляем вместо x двойку и видим в числителе 0, в знаменателе 0. Это неопределенность, то есть мы не знаем, что в ответе получится. Мы помним, что неопределенность исчезнет, если мы сократим на x минус 2. Вопрос: это же не квадратные трехчлены. Как мы будем раскладывать на множители? Существуют разные приемы. В принципе можно добиться разложений, используя тождественные преобразования некоторые, а можно, используя теоремы Безу, разложить на множители. Итак, мы помним: раз двойка является корнем и числителя, и знаменателя, то и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, одним из которых служит x минус 2. Вопрос: когда мы сократим на x минус 2, что останется? Так вот деление числителя и знаменателя на x минус 2 можно осуществить столбиком. Вы можете попробовать это сделать самостоятельно. Я очень настоятельно рекомендую именно самостоятельно выполнить эту задачу. Итак, числитель делим столбиком на x минус 2 по тем же самым правилам, как мы это делаем с числами. И знаменатель делим столбиком на x минус 2. Я сейчас покажу результат этого деления. Попробуйте разобраться, как эти действия выполнены.

Посмотрите, на что мы обращаем внимание. В остатке должны получиться нули, потому что по теореме Безу деление осуществляется без остатка. В частном мы получаем многочлены второй и третьей степени – это и есть недостающие множители в разложении. Так давайте посмотрим. Итак, x минус 2, и второй множитель в числителе и знаменателе появляется. Это результат деления многочленов на x минус 2.

Смотрите, сокращаем на x минус 2, подставляем вместо x двойку и видим, неопределенность исчезла. Иногда бывает, что по-прежнему остается 0 на 0, значит, надо еще раз делить столбиком, ну или раскладывать каким-то другим способом на множители.

Итак, разложение на множители с последующим сокращением на x минус а, к чему стремится x.

Здесь ситуация немножко иная. Третий пример. Если вместо x подставляем единицу, получаем 0 на 0. Но ведь это не многочлены, раскладывать на множители мы не можем. Но правило то же самое: неопределенность исчезнет после того, как мы сократим на x минус 1. Где брать х -1? Мы восстановим многочлены. Чем мы будем пользоваться? Для числителя, смотрите, если мы умножим на сумму корень из x + 1, то мы получим как раз x минус 1, это произведение a минус b на a плюс b (формула разности квадратов). А вот для знаменателя (там корень третьей степени), чтобы он исчез нам нужно воспользоваться формулой разности кубов. Смотрите, если мы домножим корень третьей степени из х минус единица на неполный квадрат суммы, мы тоже получим необходимое выражение x минус 1. Так. Давайте посмотрим, как мы поступаем. Смотрите. Итак, во-первых, дробь первоначально мы записали, пользуемся первой формулой, преобразования тождественны, поэтому мы домножаем на корень из x + 1 числитель и знаменатель. Итак, это мы действуем для числителя. Для того чтобы знаменатель преобразовать, мы домножаем на неполный квадрат суммы, пользуемся второй формулой. Посмотрите, в числителе мы обвели то, что мы можем объединить формулой (разность квадратов) и в знаменателе обвели те выражения, которые объединяются формулой (разность кубов).

И что в результате получаем? x минус 1 в числителе и знаменателе появились. На них сокращаем, и неопределенность исчезает чудесным образом. Пишем ответ.

Ну и давайте уж немножко поговорим о других неопределенностях. Вот 0, умноженный на бесконечность. Трудно оценить: вроде бы 0 умноженное на все что угодно – это 0, с другой стороны: бесконечность … любое число поглощает, получается бесконечность. Ноль и бесконечность борются друг с другом, и не понятно, кто кого победит, и вообще, что в ответе будет.

Так вот, как бороться, как раскрывать неопределенности бесконечность на бесконечность мы уже умеем, так вот здесь показано как эта неопределенность легко сводится к рассмотренным неопределенностям.

Ну, а дальше мы работаем с указанными неопределённостями по правилам.

Неопределенность бесконечность минус бесконечность тоже чаще всего сводится к предыдущим рассмотренным выше неопределённостям.

Например, смотрите, начинаем предел вычислять, подставляем вместо x двойку, получаем 1, деленное на ноль, это бесконечность в теории пределов. И минус 3, деленное опять на 0 – тоже бесконечность. Это неопределенность бесконечность минус бесконечность. Здесь все просто. Просто что мы делаем? Приводим к общему знаменателю эти дроби, дополнительный множитель у первой дроби x плюс 2, и, смотрите, неопределенность тут же исчезла. Иногда появляется какая-то неопределенность, например, бесконечность деленная, на 0, еще какая-то, так в этом случае неопределенность исчезла.

Так, что здесь подход бывает творческим при вычислении пределов, и порой надо подумать, что же сделать.

Но основными неопределенностями являются 0, деленный на 0, и бесконечность, деленная на бесконечность. Многие неопределенности к нему сводятся.