Математика. Материалы курса

Лекция посвящена определению предела функции в точке. Мы уже рассматривали с вами понятия окрестности точки: пусть x₀ - точка числовой прямой, e>0, e-окрестность точки x₀ - это интервал с центром в точке x₀ и расстояние от этой точки до концов равно e.

Сейчас мы с вами рассмотрим еще понятие проколотой e-окрестности. Если мы удалим из e-окрестности центр, мы получим объединение двух интервалов, и такую окрестность мы называем проколотой, она получается без центра, без точки x₀.

Переход к неравенствам осуществляется следующим образом: принадлежность e-окрестности - это неравенство с модулем: xÎU_e(x₀) ó |x – x₀| < e , а принадлежность проколотой окрестности - это конъюнкция двух условий, либо двойное неравенство: xÎU_e(x₀) ó |x – x₀| < e Ù x ¹ x₀ ó 0 < |x – x₀| < e.

Каждый раз, когда мы будем говорить о пределе функции в точке, мы будем считать, что x₀ - это предельная точка области определения, даже если мы это не упоминаем. Что мы под этим имеем в виду? Точка x₀ называется предельной точкой множества X, если какова бы ни была окрестность точки х₀, в ней находится бесконечно много точек множества X.

Определение предела. Опять перед вами стоит задача научиться записывать определение на языке окрестностей, выучить это определение и уметь читать его. Число A называется пределом функции f в точке x₀, если для любой e-окрестности точки A существует такая σ–окрестность точки x₀, что для любой точки x из области определения функции f, если x находится в проколотой σ-окрестности точки x₀, то значение функции f в этой точке находится в e-окрестности точки A: lim f(x) = A, при x®x₀ ó "U_e(A)$U_δ (x₀)"xÎD_f(xÎ U_δ(x₀) Þ f(x)Î U_e(A)).

Давайте попробуем проиллюстрировать это определение, потому что, конечно, эти слова нам очень трудно понять, что же за этим скрывается. Итак, построим график функции f, зададим ее графически, и попытаемся аргументировать графически, что пределом функции в точке x₀ служит число A. Будем действовать по определению.

Первый пункт: построим e-окрестность точки A. Итак, число A находится на оси y, e-окрестность точки тоже находится на оси y. Дальше нам нужно по определению искать σ-окрестность точки x₀ - это следующая запись в определении. Как найти эту окрестность? Мы обращаемся к последнему выражению, к последнему высказываю в определении, и находим те точки на оси x, для которых f(x) находится в e-окрестности точки A. Посмотрите, мы отметили на оси Ox это множество (см. видео).

Следующим пунктом мы находим δ - окрестность точки x₀. Что это за множество? Это окрестность точки x₀, может быть без центра, которая находится в отмеченном множестве - это симметричное относительно точки x₀ множество. Нетрудно заметить, что это и есть искомая δ - окрестность точки x₀. Действительно, если мы возьмем произвольную точку x из отмеченной δ–окрестности, то f(x) будет находиться в e-окрестности точки A.

Из этой иллюстрации не очень понятно, чем же отличается значение функции от предела функции. Давайте посмотрим такую картинку: если значение функции в точке x₀ равно не A, а какому-то другому значению. Все предыдущие рассуждения остаются верными, по-прежнему пределом функции в точке x₀ служит число A. Как можно себе представить, что же такое предел функции? Если мы двигаемся по графику функции по направлению к точке x₀, то мы окажемся в точке, ордината которой равна A. Итак, предел - это в некотором смысле движение по графику функции.

Существует другое эквивалентное определение. Если то определение на языке окрестности, на языке неравенств мы называем определением по Коши, то это определение на языке последовательности или по Гейне. Опять можно записать символически, а можно и нужно уметь читать это, произнеся просто слова.

Итак, число A называется пределом функции f в точке x₀, если какова бы ни была последовательность (x_n), составленная из точек области определения функции f, отличных от точки x₀, если последовательность (x_n) сходится к точке х₀, то последовательность значений функции (f(x_n)) должна сходиться к числу A.

По-прежнему помните, что x₀ должно быть предельной точкой области определения функции f, только в этом случае работает определение предела.

Когда мы используем это определение? Чаще всего тогда, когда мы хотим установить, что предела функции нет.

Давайте попробуем доказать, что функция f(x) = sgn x не имеет предела в точке 0. Мы такую функцию с вами рассматривали, она задается таким образом: (см. видео). Что мы будем делать? Мы рассмотрим последовательности, сходящиеся к точке 0, последовательности x_n, они будут располагаться на оси x.

Итак, первая последовательность составлена из чисел 1/n, а другая -1/n, они обе сходятся к числу 0. Но, если мы найдем значения функции в этих точках, то в первом случае мы получаем, значения всегда равны 1, стационарная последовательность, ее пределом будет 1, во втором случае стационарная последовательность составлена из -1, ее пределом является число -1.

Итак, нашлись две последовательности, сходящиеся к нулю, для которых соответствующие последовательности значений функций сходятся к разным числам, это говорит о том, что предела функций в точке 0 не существует. Здесь мы столкнулись с новой ситуацией - предела функции не существует. Но, если мы рассмотрим движение по графику функции слева и справа к точке 0, то мы увидим, что движение, то есть, просто мы попадаем в разные точки на оси y - в точку (0; -1) и в точку (0; 1).

Здесь мы сталкиваемся с новым понятиям – с понятием односторонних пределов. Давайте вначале отталкиваться будем просто от иллюстрации, зададим функцию f графически и рассмотрим предел в точке x₀. Итак, если мы будем двигаться по графику функции f по направлению к точке x₀ слева, то мы придем в точку с координатами (x₀; A), число A - это предел функции f слева, а если мы будем двигаться к точке x₀ по графику с правой стороны, то мы придем в точку с координатами (x₀; B), точка B - это предел функции в точке x₀ справа, хотя значение функции в точке x₀ = C. Так же как в случае с sgn предела функции f в точке x₀ не существует, хотя односторонние  пределы есть - числа A и B.

Давайте попробуем дать определение односторонних пределов более строго. Если в определении предела присутствует понятие δ-окрестности и δ – окрестности проколоты, то для односторонних пределов мы рассматриваем те интервалы, из которых составлены проколотые δ-окрестности, мы их называем левая полуокрестность и правая полуокрестность точки х₀ радиуса δ – δ-полуокрестности.

Здесь также возникает понятие правосторонней и левосторонней предельной точки, точно также, как и в общем случае.

Давайте познакомимся с определениями, вернее с обозначениями, которые возникают, когда мы рассматриваем понятие одностороннего предела.