Математика. Материалы курса

Это занятие мы посвятим определению предела числовой последовательности. Как доказать, что предел последовательности равен числу или бесконечности, пользуясь только определением?

Давайте перейдем к конкретному примеру: предел 2n/(n+2) = 2, n стремится к бесконечности. Эту последовательность мы рассматривали на предыдущем практическом занятии, было установлено, что она ограничена и строго возрастает. Сейчас новый факт об этой же последовательности: мы докажем, что предел этой последовательности равен числу 2.

Если мы хотим доказывать по определению, то мы должны написать определение на языке неравенств. Не будем еще раз зачитывать общее определение предела, давайте просто запишем его в такой символической форме: предел 2n/(n+2), при n ® ∞ = 2 ó "e>0 $NÎN "nÎN (n>N Þ |2n/(n+2)-2| < e). Доказательство нужно провести, пользуясь определением.

Определение у нас начинается с «"e > 0» (для любого эпсилон больше нуля). Для доказательства мы произносим слова: возьмем произвольное e >0. Далее мы должны искать номер N. Как его найти? Как установить, что оно существует? Поиск числа N мы начинаем с решения неравенства: |2n/(n+2) - 2| < e. Мы выясняем, для каких натуральных n оно выполняется (ведь e мы уже взяли, только не оговорили, что это за число – 2, 10 или еще какое-то). N - это одно из решений этого неравенства. Давайте попробуем его решить: |2n/(n+2) - 2| < e (приведем к общему знаменателю)ó |-4/(n+2) < e | (модуль частного равен частному модулей) ó 4/(n+2) < e (заметим, что 4, (n+2), e - положительные, поэтому дробь перевернем, при этом неравенство поменяет свой знак) ó (n+2)/4 > 1/e (умножим на 4 обе части) ó (n+2) > 4/e ó n > 4/e - 2. Наша задача – сконструировать натуральное число, которое больше, чем 4/e - 2. Давайте обозначим эту цепочку преобразований (*), она нам еще понадобится.

Давайте подумаем, как сконструировать натуральное число больше: 4/e - 2 < [4/e - 2] + 1 (для любого действительного числа, если мы возьмем целую часть этого числа и прибавим единицу, то мы получим целое число, которое строго больше, чем данное число). Здесь мы воспользовались тождеством: [x] ≤ x < [x] + 1. В чем проблема? Целая часть указанного числа – это число больше либо равно, чем -2, если мы прибавим единицу, будет -1, тогда наименьшее целое число, которое мы можем здесь получить – это -2. Для того чтобы получить натуральное число -2, мы должны прибавить +3. Очевидно, неравенство, по-прежнему, будет верно, но это целое число, оказывается, принадлежит множеству натуральных чисел. Мы практически получили N.

Пусть N – это число, которое вычисляется по формуле N = [4/e - 2] + 3. Смотрите, мы сейчас указали натуральное число N, но мало ли кто что нашел, указал, всегда после квантора существования идет объяснение, что за объект мы искали, а это N такое, что если n – это какое-то натуральное число больше, чем указанное N, то для этого n должно выполняться неравенство.

Давайте проверим. Возьмем произвольные натуральные n, которые больше, чем N (N = [4/e - 2] + 3). N по построению больше, чем 4/e - 2. По транзитивности получаем n > 4/e -2. Для чего же мы там цепочку преобразований отмечали (*)? Посмотрите, мы получили неравенство последнее в этой цепочке, также как мы двигались слева направо, мы можем двигаться в другую сторону (пользуемся цепочкой преобразованием (*)), получаем (2n/(n + 2)) – 2. Что же произошло? Смотрите, мы взяли произвольное e > 0, нашли натуральное число N, оно оказалось таким, что если взять произвольное n > N, то будет выполнено неравенство. По определению это означает, что предел данной последовательности равен двум. Доказательство завершено.

Еще один пример, когда пределом служит не число, а какая-нибудь бесконечность. Что мы делаем? Мы записываем определение: предел (2n + 1), при n ® ∞ = +∞ ó "e>0 $NÎN "nÎN (n>N Þ 2n + 1 > e). Смотрим на определение, возьмем произвольное e > 0. Следующий этап – поиск числа N. Для того чтобы его найти, мы будем решать последнее неравенство, e у нас есть, для каких n оно выполнено, и N возьмем одно из решений этого неравенства. Итак, рассмотрим неравенство 2n + 1 > e, решаем для каких n оно выполнено: 2n > e - 1 (делим на 2 обе части), n > e/2 – 1/2. Сейчас мы должны найти натуральное число N, которое является решением этого неравенства, то есть сконструировать N, которое больше, чем указанное действительное число. Давайте опять будем использовать свойство целой части. e/2 – 1/2 < [e/2 – 1/2] + 1. Давайте посмотрим, оценим эту целую часть. Наименьшее значение здесь может быть -1, потому что все эти числа ≥ -1/2, e > 0. Целая часть может оказаться -1, чтобы получилось натуральное число, мы прибавляем не 1, а 2. Число [e/2 – 1/2] становится натуральным целым числом, которое больше либо равно единице. Смотрите, мы сконструировали N, мы его нашли, для каждого e это N задается формулой: N = [e/2 – ½] + 2. Но сейчас мы должны проверить, что это N искомое. Еще раз обратите внимание, что после квартира существования идет описание свойства этого объекта, которого мы искали – N. Если мы возьмем произвольное n больше, чем N, то для этого n должно выполняться неравенство. Давайте проверим. Возьмем произвольные натуральные n, которые больше, чем N. По построению N > e/2 – 1/2. По транзитивности получаем, что n > e/2 – 1/2. Давайте вернемся к самым первым записям. Смотрите, это неравенство последнее в цепочке преобразований, по которой мы двигаемся справа налево, и приходим к 2n + 1 > e. Мы взяли произвольный e > 0, для этого произвольного e мы нашли число N (оно каждый раз зависит от e), и дальше убедились, что каково бы ни было натуральное число n > N, это n удовлетворяет неравенству. По определению предела это означает, что предел данной последовательности равен +∞. Задача решена.