Математика. Материалы курса

Это занятие посвящено числовой последовательности, а если точнее – исследованию свойств числовой последовательности по определению. Все определения были рассмотрены на лекции, были записаны логические формы записи. Итак, давайте начнем. Последовательность задана формулой общего члена (см. видео) и есть такие две задачи: доказать, что эта последовательность ограничена и, во-вторых, исследовать ее на монотонность. Давайте посмотрим на ограниченность. Попытаемся найти несколько членов этой последовательности. Вычислим a₁=2/3, a₂=1, a₃=5/6 и так далее (см. видео). Что значит, последовательность ограничена? Это означает, что ее члены можно заключить в некоторый отрезок, вообще говоря, вычисление нескольких первых членов нам ни о чем не говорит, членов бесконечно много, все они разные. Наша задача сделать оценку дроби с двух сторон. Очевидно, что для любого n эта дробь больше, либо равна нуля. Почему? Для любого n числитель и знаменатель строго больше нуля. Итак, для любого n эта оценка выполняется. Левое ограничение у нас есть, получили тем самым ограниченность снизу. Мы потом сделаем вывод. А вот с другой стороны, какая оценка? Можно на самом деле по-разному решать. Можно сделать оценку этой дроби пользуясь преобразованиями. Запишем 2, умноженное на (n+2), минус 4, деленное все на (n+2). Делим почленно числитель на знаменатель, получаем 2 минус 4, деленное на (n+2) (см. видео). Итак, для любого n члены последовательности получаются вычитанием из двойки некоторого положительного числа, при каждом n это будет свое число. Очевидно, что все эти числа меньше, либо равны двум. Итак, что же мы получили? Мы можем сказать, что такое число есть два, и это неравенство верно для любого натурального числа n малое. Давайте вспомним определение. Мы получили, что все члены последовательности находятся между числами ноль и два. Итак, нашлись два действительных числа – ноль и два, что какое бы n натуральное мы не взяли, a_n находится между этими числами - последовательность ограничена. Первый пункт выполнен. Давайте перейдем ко второму пункту. Нам нужно исследовать последовательность на монотонность. Давайте вспомним, как выглядит определение. Допустим, если последовательность a_n строго возрастает, то по определению это означает, что для любого натурального n, a_n строго меньше, чем a_n+1 (если у нас убывание, то будет строго больше, если стационарно, то равенство, если возрастание, убывание не строгое, то добавляется знак равенства). Значит, наша задача выяснить, существует ли такой знак, который для любого n связывает a_n и a_n+1. Итак, a_n у нас уже есть, давайте  найдем a_n+1. Что мы делаем? Например, если бы нам нужно было найти a₃, то мы бы вместо n подставили 3, но нам нужно найти a с индексом (), значит, подставляем вместо n (). Получили (2n+2) деленное на (n+3) (см. видео). Нам нужно выяснить каким знаком связаны между собой a_n и a_n+1. Давайте попробуем определить знак разности, если это удастся для любого n, то наша задача будет выполнена (см. видео).  Запишем 2n, деленная на (n+2), вычитаем дробь с числителем (2n+2) в знаменателе (n+3). Приведем дроби к общему знаменателю (n+2), умноженное на (n+3) (у первой дроби  дополнительным множителем будет (n+3), у второй (n+2)). Аккуратно выполняя действия, в числителе получим минус 4, а в знаменателе произведение (n+2)(n+3). Для любого натурального числа n в знаменателе имеем знак плюс, а в числителе – минус. Итак, дробь получается меньше нуля для любого произвольного числа n.  Мы получили, что для любого натурального n a с индексом меньше, чем a с индексом (n+1). Мы как раз и написали в самом начале определение, которое отражает этот случай, последовательность a_n строго возрастает. Задача решена. Рассмотрим последовательность b_n. Как доказать, что эта последовательность не ограничена? Что значит последовательность не ограниченная сверху? Это значит, что на числовой прямой нет такой точки, которая бы ограничивала справа эту последовательность (т.е. где бы ни взяли точку, всегда найдутся элементы, которые находятся еще правее), это будет означать неограниченность сверху. Почему последовательность b_n ограниченная снизу? Очевидно, что для любого натурального n это выражение принимает не отрицательное значение (т.е. b_n больше либо равно нуля) значит, последовательность ограничена снизу. Как написать определение? Что мы будем доказывать? Как мы будем доказывать, что последовательность не ограничена сверху? Давайте, во-первых, напишем определение, если бы  последовательность была ограничена сверху, как бы это было написано?  Итак, последовательность b_n ограничена сверху, по определению означает следующее - существует такое действительное число b, что какое бы натуральное n мы не взяли, члены последовательности меньше, либо равны b. Наша задача доказать, что последовательность не ограничена сверху. Правило построения отрицания следующее: каждый квантор меняется на противоположный (квантор существования на всеобщность, квантор всеобщности на существование). Запишем это определение. Последовательность не ограничена сверху, если для любого действительного числа b, существует такой индекс n, что члены последовательности с таким индексом будут больше любого наперед заданного числа b (все-таки n малое здесь не фиксированное, давайте мы скажем, что здесь мы будем искать какой- то индекс N большое).  Итак, существует N большое, что b с этим индексом N , больше, чем b. Действуем по написанному определению. Возьмем произвольное число b (мы не указываем какое, это может быть 2, 3, -10, - 1,7, оно произвольное и рассуждения мы производим в самом общем случае, оно не зависит от того, чему равно это b). Мы должны найти формулу для N, задать такую программу: как для любого действительного числа, указать номер N так, чтобы член последовательности с этим номером был больше этого b? Давайте сначала разберемся, для каких индексов N b_N больше b, и есть ли вообще решение. Видим, один из индексов N мы можем и взять: n + 1, деленное на n больше b. Нам надо задать натуральное число так, чтобы дробь была больше, чем b. Возьмем такую конструкцию: b это произвольное действительное число (оно может быть отрицательным, мы сейчас пытаемся сконструировать натуральное число, которое его будет больше) и возьмем модуль b, мы уже попали в неотрицательное число. Допустим, это число одна вторая – это не натуральное число. Дальше, пользуясь свойствами целой части числа, мы скажем, что для любого действительного числа, нашлось число такого вида, которое строго его больше. Давайте посмотрим, к какому классу чисел оно принадлежит. Итак, целая часть неотрицательного числа больше или равна нуля и прибавили единицу, это число из множества натуральных чисел. Давайте мы его обозначим N - натуральное. Очевидно, что это натуральное число будет строго меньше, чем дробь - 1, деленная на N, а это и есть b с индексом N. Получили, что для произвольного числа b, какого бы оно не было, нашлось такое натуральное число N, что b с индексом N , будет строго больше, чем b. Итак, такой номер N всегда существует, более того мы даже нашли формулу для этого числа. Получили, что последовательность сверху не ограничена. Рассмотрим еще одну задачу. Как доказать, что последовательность монотонна, мы разбирали, опять работа с отрицанием. Как доказать что последовательность не монотонна? Что это значит? Это значит, что последовательность c_n не является возрастающей, и в то же время не является убывающей.  Давайте найдем несколько элементов этой последовательности c₁ = 0, c₂ = 4, c₃ = 0 (см. видео). Нам этого уже достаточно, чтобы показать, что последовательность не является монотонной. Видим, что первый элемент меньше, чем второй. Это говорит о том, что последовательность c_n не может быть убывающей. Нам не надо сравнивать все остальные элементы, нашлась пара двух соседних членов таких, что первый меньше второго. Отсюда следует, что последовательность c_n не является убывающей. Рассмотрим следующую пару чисел: второй элемент больше, чем третий (смотрите, с увеличением индекса члены последовательности уменьшились, мы начали двигаться влево на числовой прямой), значит, последовательность c_n не может быть возрастающей. Итак, мы показали на примере (здесь достаточно привести номер N, который показывает, что последовательность в первом случае не может быть убывающей, и во втором - не может быть возрастающей), что последовательность c_n монотонной не является.