Математика. Материалы курса

   

 

Предел числовой последовательности.

Лекция посвящена важнейшему понятию математического анализа – пределу числовой последовательности. И прежде чем мы введём определение этого понятия, давайте рассмотрим, что же такое окрестность точки.

Итак, нам дана точка, обозначим ее а на числовой прямой, и некоторое положительное число ℇ(эпсилон), для того, чтобы построить ℇ окрестность точки а мы откладываем интервалы длиной ℇ справа от точки а и слева от точки а. Получаем интервал с концами (а - ℇ, а + ℇ), этот интервал мы и называем ℇ окрестностью точки а.

Например, окрестность точки 2 радиуса 1 это интервал от 1 до 3. Что нужно нам для дальнейшего изучения определения предела последовательности?

Мы должны уметь переходить от окрестности к неравенству. Что значит, что точка x принадлежит ℇ окрестности точки а? А это значит, что x удовлетворяет неравенству с модулем, x минус а по абсолютной величине меньше ℇ.

Кроме того, мы рассмотрим понятия окрестности бесконечно удаленных точек. Итак, по-прежнему ℇ положительное число, плюс бесконечность - абстрактная точка и на самом деле ее нет, она расположена правее любого действительного числа, любой точки числовой прямой. Вот так мы ее условно отметили (см. рис.).

Итак, что же мы назовем ℇ окрестность точки плюс бесконечность? Откуда будем откладывать это ℇ?

У нас всегда есть на числовой прямой точка начала координат и это точка 0. Мы откладываем ℇ от точки 0, в этом случае ℇ окрестностью точки, мы называем интервал от ℇ до плюс бесконечности. Аналогично определяем точку минус бесконечность, это точка, лежащая левее любого действительного числа. Для построения ℇ окрестности мы откладываем интервал длиной ℇ левее точки 0 и получаем ℇ окрестность точки минус бесконечность, это интервал от минус бесконечности до минус ℇ.

Обобщая эти два понятия, мы получаем ℇ окрестность бесконечно удаленной точки беззначной бесконечности, так мы называем объединение двух интервалов.

Снова нам потребуется умение переходить от условий принадлежности окрестности к неравенству. Принадлежать ℇ окрестности точки плюс бесконечность, минус бесконечность и беззначной бесконечности, значит удовлетворять, соответствующему неравенству (см. на видео).

И, наконец, мы сейчас можем перейти к определению предела числовой последовательности. Абстрактная логическая форма записи этого определения выглядит следующим образом (см. видео).

Ваша задача научиться читать это определение.

Во-первых, вы должны, запомнить, как оно записывается, а во-вторых, уметь читать.

Определение звучит следующим образом: число а называется пределом числовой последовательности а_n , если для любой ℇ окрестности точки а существует такое натуральные число N, что каково бы ни было натуральное число n > N, выполняется условие а_n принадлежит ℇ окрестности точки а.

Переход от записи определения на языке окрестности к определению на языке неравенств осуществляется с помощью тех переходов о которых мы уже говорили, что значит принадлежать ℇ окрестности точки а.

Как записывается определение в логической форме мы видим (см. на экран), как читается данное определение: число а называется пределом числовой последовательности а_n, если для любого положительного числа ℇ существует такое натуральное число N, что для всех натуральных чисел n>N, выполняется неравенство модуль а_n минус а меньше ℇ.

Итак, ваша задача выучить это определение, научиться переходить от определения на языке окрестностей к определению на языке неравенств и читать оба эти определения.

А сейчас давайте попробуем разобраться с пределом последовательности. Так а_n равно 5 для любого n. Эта последовательность называется стационарной, все элементы это 5,5,5 и так далее. Давайте докажем, что предел этой последовательности равен 5. Итак, на числовой прямой мы отмечаем точку 5. Она выделена красным цветом. Все элементы находятся здесь их бесконечно много, но изображаются они одной точкой 5. В каком случае мы скажем, что число 5 является пределом последовательности? Вспоминаем определение. Это означает, какова бы ни была окрестность точки 5, в нее начиная с некоторого номера должны попасть все члены последовательности. Давайте возьмем ℇ окрестность точки 5, это интервал с центром в этой точке. Что мы видим? Какова бы ни была ℇ окрестность точки 5 все члены последовательности, а это числа 5, попадают в эту окрестность, но это и означает, что предел данной последовательности равен 5.

Давайте рассмотрим другой пример. Последовательность а_n задана формулой общего члена – единица, деленная на n, все члены этой последовательности различны 1, 1/2, 1/3, 1/4 и так далее, но, что мы замечаем, с увеличением номера элементы этой последовательности становится все ближе и ближе к точке 0. Заметим точки 0 среди членов последовательности нет, однако именно это число является пределом данной последовательности.

Давайте попробуем аргументировать. Мы должны доказать, что какова бы ℇ окрестность точки 0 не было, начиная с некоторого номера все члены последовательности в нее попадают.

Это нестрогое доказательство, а иллюстрирующее определение предела. И так возьмем окрестность радиуса 1/2 точки 0, мы видим, что, начиная с третьего члена (выделено красным цветом на экране) 1/3,1/4 и так далее находятся в ℇ окрестности точки 0, если мы возьмем окрестность меньшего радиуса, то иллюстрация нам покажет снова, что начиная с некоторого номера, все члены последовательности окажутся в этой окрестности.

Не всякая последовательность имеет предел. Пусть последовательность b_n задана формулой (см. на экран). Подставляя вместо n натуральные числа, мы получаем последовательность -1, 1, -1, 1 и так далее. На числовой прямой мы отметим всего две точки -1 и 1. С нечетными индексами это -1, с чётными это 1.

Итак, почему же эта последовательность не имеет предел? Давайте попробуем аргументировать, почему единица не является пределом, ведь в точке 1 находится бесконечно много членов последовательности. Итак, давайте возьмем окрестность точки 1 радиуса 1 это будет интервал от 0 до 2. Что мы видим? Если бы единица была пределом, то, начиная с некоторого номера, все члены должны были бы там оказаться, но видим, какой бы мы ни взяли номер, найдется бесконечно много членов с большими индексами, которые расположены в точке -1. Вне этой окрестности оказалось бесконечно много членов последовательности, значит единица не предел. Точно также мы легко аргументируем, что -1 и любое другое действительное число не является пределом этой последовательности. Про эту последовательность, мы говорим, что ее предел не существует.

Итак, числовая последовательность может иметь конечный предел, в этом случае, мы говорим, последовательность сходится, значит, предел равен числу.

Все остальные последовательности – не сходящиеся – мы называем расходящимися. Итак, все последовательности делим на сходящиеся, те которые имеют конечный предел и расходящиеся.

Возникает вопрос, чему же может быть равен предел, если он существует? Мы видели, что предел может быть равен числу, еще возможна ситуация, когда предел равен бесконечности. Итак, определение такое. Последовательность называется бесконечной большой, если ее предел равен бесконечности. Может быть со знаком плюс, может быть со знаком минус, может быть беззначная бесконечность.

Для того чтобы написать определение в любом из этих случаев, мы обращаемся к общему определению предела.

На языке окрестностей записывается и читается каждое из этих определений точно так же, как мы читали это определение в случае, когда а число, поэтому ваша задача научиться записать определение и прочитать все правильно, опираясь на то что мы уже с вами рассмотрели. И так понятие бесконечно большой последовательности мы разобрали.

Есть еще бесконечная малая, это сходящаяся последовательность, предел которой равен числу, но числу особому равному нулю.

Итак, сходящуюся последовательность, предел которой равен нулю, мы будем коротко называть термином бесконечно малой.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями существует связь, которая формулируется в виде следующей теоремы. Если последовательность а_n бесконечно большая, то последовательность 1/а_n бесконечно малая, и наоборот, если последовательность а_n бесконечно малая, только среди членов ее нет нулей, то 1/а_n бесконечно большая последовательность. Доказательство этой теоремы мы не будем рассматривать.

Перейдем к свойствам сходящихся последовательностей, тех, которые имеют конечный предел.

Первая теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Если последовательность сходится, то ее предел единственный.

Выясним структуру этой теоремы. Последовательность сходится, значит по условию существует такое число а, которое является пределом последовательности а_n. Нам требуется доказать, что это число а единственное.

Попробуем это доказать. Предположим от противного, что еще существует число b отличное от а, для определенности пусть, а<b. И так число b тоже предел этой последовательности по предположению. Образуем положительное число ℇ равное b минус a пополам, это половина длины отрезка от а до b, и построим окрестности точек а и b указанного радиуса. Сейчас обратимся к условию предел последовательности а_n равен а, это означает, что начиная с некоторого номера все члены а_n находится в ℇ окрестности точки а, ну скажем, что все члены с индексами больше некоторого числа N₁. По предположению предел последовательности а_n равен b, по определению предела это означает, что все члены последовательности находятся в ℇ окрестности точки b, начиная с тех номеров, которые больше N₂. А сейчас образуем число N равная N₁ + N₂ . Мы понимаем, что это число, как сумма двух натуральных чисел больше и N₁ и N₂, а это значит, что а с этим индексом находится в ℇ окрестности точки а, поскольку N больше N₁, и находится в окрестности точки b, так как N больше чем N₂. Противоречие.

Мы уже построили окрестности, которые не пересекаются. Вывод: предположение было сделано неверно, никакого другого числа равного пределу последовательности а_n не существует, то есть предел единственен.

Вторая теорема необходимые условия сходимости. Если последовательность сходится, то она ограничена. Оставим доказательства без обоснований. На самом деле это все следует сразу из определений последовательности.

Единственное, что нужно помнить всегда, что обратная терема не верна, то есть если последовательность ограничена это не означает, что она сходится. Такой пример мы уже рассматривали. Последовательность -1 в степени n, ее члены -1, 1 и так далее. Последовательность ограничена, она закрывается отрезком от -1 до 1. Мы разбирали этот пример и говорили, что последовательность не имеет предела. Она расходящаяся.

Следующая теорема позволяет в некоторых случаях нам уже вычислять пределы последовательности. О произведении бесконечной малой и ограниченной последовательности, теорема утверждает, что произведение таких последовательностей является бесконечно малой, то есть предел равен нулю.

Рассмотрим простой пример предел дроби sin(n) деленная на n. Докажем, что предел равен 0. Представим эту дробь в виде произведения 1/n и умноженная на sin(n). Последовательность 1/n мы рассматривали ее предел равен нулю, она бесконечно малая. А sin(n) при любом n расположен между числами -1 и 1, следовательно, это последовательность ограничена.

Произведения бесконечно малой на ограниченную последовательность бесконечно малая, предел равен нулю.

Ещё одно свойство связано с понятием подпоследовательности. Вначале определим, что это такое. Если у нас есть числовая последовательность то, что мы называем ее подпоследовательностью? Из натуральных чисел мы выбираем любую строго возрастающую последовательность. Например, 1357 и так далее. С этими индексами мы и выбираем члены последовательности а_n. Это и будет подпоследовательность данной последовательности.

Теорема 4 утверждает, если данная последовательность а_n сходится, то и любая ее подпоследовательность тоже сходится и имеет тот же самый предел.

И важнейший теорема 5, которой мы пользуемся при вычислении пределов звучит следующим образом: если последовательности а_n и b_n сходятся, то есть имеют конечные пределы, то сходящимися являются сумма, разность, произведения и при некотором ограничений частные этих последовательностей, причем предел суммы равен сумме пределов a + b, предел разности равен разности чисел а и b, произведение а и b, отличается единственный пункт про частное, появляется ограничение на число b, оно не должно быть равно нулю, то есть последовательность b_n не бесконечно малая последовательность.