Математика. Материалы курса

Эта лекция посвящена важнейшему понятию математического анализа – числовой последовательности.

Мы уже с вами говорили, что числовая последовательность – это числовая функция, областью определения которой служит множество натуральных чисел.

Что это значит? Каждому натуральному числу ставится в соответствие однозначно определенное действительное число. Итак, пусть n – натуральное число, число, которое ставится ему в соответствие, мы обозначим а с индексом n. В этом случае числовая последовательность наделяется символом а с индексом n в круглых скобках. Итак, вот символ для числовой последовательности.

Если мы пишем фигурные скобки, то давайте договоримся, это означает множество значений этой функции. Множество значений числовой последовательности. Иногда можно встретить в литературных источниках и в учебниках по математике, таким символом обозначают и саму числовую последовательность. Но у нас будет с вами такая договоренность в нашем курсе.

Несложный пример. Числовая последовательность – отличие от множества – числовая последовательность всегда содержит бесконечно много элементов. Каждому натуральному числу соответствует действительное число. Смотрите, что такое последовательность а_n: -1, 1, -1, 1, -1, 1 и так далее. Членов бесконечно много. Первый член – -1, второй – 1, третий – -1, четвертый – 1. Порядковый номер нам говорит номер индекса n. А вот множество значений? Какие числа здесь есть? Только два числа -1 и 1. Итак, множество значений – это двухэлементное множество.

Способы задания числовой последовательности.

Также как для функции – аналитический способ. Здесь мы это называем Задание формулой общего члена. Указывается формула, по которой вычисляется элемент последовательности для каждого n. Вот пример. Давайте начнем подставлять вместо n 1, 2, 3 и так далее. Получаем действительные числа. Мы их записываем через запятую в линеечку, и порядковый номер это и есть номер n, для которого это число найдено.

Новый способ, которого не было для функций. Задание числовой последовательности иногда осуществляется с помощью рекуррентного соотношения. Слова «рекурсия» означает, вообще говоря, возврат. Мы должны к чему вернуться. Давайте разберем пример. Итак, первый пример. Сказано, первый член последовательности равен 3. А каждый n + 1 как получается? Нужно взять а_n - предыдущий и прибавить 2. Значит, а₂ получается, если мы к предыдущему, а₁, прибавим 2, 3 + 2 это 5, далее к 5 прибавляем 2, получаем 7, к семи прибавляем 2, получаем 9, потом 11, 13 и так далее. Это и есть рекуррентное соотношение. Для того, чтобы можно было пользоваться, нужно указать один или несколько первых членов последовательности или рекуррентное соотношение, которое позволяет находить следующие члены.

Вот второй пример. Он очень интересен. а₁, а₂ заданы, это две единицы. А дальше сказано, каждый член последовательности (вот эта формула) равен сумме двух предыдущих. Итак, если первые два числа даны 1, 1, следующий получается – 2 (это один плюс один), потом мы складываем 1 плюс 2, получаем 3, потом 2 плюс 3, 5, 7 и так далее. Это очень важная, очень интересная последовательность, которая имеет название – последовательность Фибоначчи. Она связана с очень интересными разделами: золотым сечением, например.

Описательный способ. Формулы никакой нет, тем не менее, последовательность мы легко можем получить. Например, в словах один, два, три, четыре, пять и так далее будем называть натуральные числа и считать число букв в названии. Тогда число букв в слове один – это 4, число букв в слове два – это три и так далее. Мы получаем числовую последовательность. Но, наверное, задать формулой тут даже не надо пытаться. Это описательный способ.

Как изображается числовая последовательность? Чаще всего мы изображаем последовательность точками числовой прямой. Давайте снова рассмотрим тот же самый пример. a_n =1 / n. Числа 1, ½, 1/3 …  Как мы поступаем? Мы изображаем на числовой прямой первый элемент, кроме того, что мы отмечаем единицу, мы подписываем, что это один, а_1. Потом 1/2 – это а₂, 1/3 – это а₃ и так далее, потому что одно и то же изображение может соответствовать разным последовательности.

Второй способ изображения – точками координатной плоскости. Мы же помним, что числовая последовательность – это функция, а для числовой функции мы строили график. График числовой последовательности состоит из n точек 1/n для данной последовательности. Итак, строим координатную плоскость, изображаем для каждого n  указанные точки. Мы получили изображение числовой последовательности.

Свойства числовой последовательности. Поскольку это функция, то некоторые свойства мы, наверное, повторим, хотя изображается последовательность иначе. Тут есть некоторая специфика.

Итак, последовательность называется ограниченной сверху, если все ее члены не превосходят некоторого действительного числа. Логическая форма записи определения на слайде, как эта запись читается, мы только что произнесли.

Ограниченность сверху, когда мы изображаем последовательность точками числовой прямой, означает, что на прямой есть такое число М, правее которого нет точек данной последовательности. Вот простой пример. а_n=-n – формула общего члена последовательности. – 1, - 2, - 3… Нетрудно заметить, что если мы возьмём в качестве М число 0, правее 0 нет точек данной последовательности. Заметим, что это М определяется неоднозначно. Мы можем взять 2, мы можем взять и -1, правее точки -1 тоже нет членов данной последовательности. Главное, что такое число есть.

Ограниченность снизу определяется аналогично. Существует число m, левее которого нет точек последовательности. Итак, на числовой прямой есть такая точка m, левее который нет точек последовательности.

Пример. Последовательность заданная формулой а _n = n, то есть числа 1, 2, 3… – все натуральные числа. Мы видим, что левее нуля нет точек данной последовательности. Снова мы можем взять в качестве m 1, 0,5, -2 и так далее. Таких значений m бесконечно много. Главное, что оно находится.

И так же, как для функции, мы вводим определение ограниченности. Последовательность ограничена в том случае, если она ограничена сверху и снизу. Два эквивалентных определения, так же как для функции. Эти определения являются рабочими. Мы их используем для доказательства ограниченности последовательности.

Монотонность можно сформулировать так же, как и для функции, но, учитывая специфику последовательности, мы вводим такое определение.

Последовательность называется возрастающей, если для любого n а_n меньше либо равно а _{n + 1}. Пример такой последовательности: единицу взяли один раз, 1, потом идет дважды двойка, 2, 2, трижды тройка, 4 четверки. Мы видим, что каждый следующий член последовательности больше либо равен предыдущему. Это пример возрастающей последовательности.

Строгое возрастание означает, что каждый следующий член строго больше предыдущего. Аналогично определяется строгое убывание.

В отличие от функций, мы вводили там термин постоянной функции, последовательность называется стационарной, если все ее члены равны между собой равны.

Стационарная последовательность. Давайте посмотрим, как работают такие определения. Для этого рассмотрим несложный пример: доказать, что последовательность с общим членом а_n=2n + 1строго возрастает. Если нам нужно доказать строгое возрастание, то мы записываем определение строго возрастающей последовательности. Что нужно сделать? Возьмем произвольное n и докажем, что а_n меньше, чем а_{n + 1}. Условие у нас заключается в том, что а_n задано: 2n +1. Чтобы доказать, что a_n меньше a_{n + 1}, мы вычисляем а _{n + 1} по формуле общего члена. Получили 2n + 3. Очевидно, это больше, чем 2 n + 1. То есть а_n строго меньше, чем а_{n + 1}. по определению строгого возрастания. Доказательство на этом завершено.