Математика. Материалы курса

  

Операции над функциями. Свойства функции.

Сегодня мы продолжаем изучать функцию, и мы рассмотрим операции над функциями и свойства функций.

Первая операция Вам хорошо знакома – это сложение функции. На что нужно обратить внимание в этих определениях: все они содержат два пункта.

Первый пункт относится к области определения, а второй к тому как вычисляются значения функции. Сумма функции определена на пересечении области определений данных двух функций, а значения в любой точке определяется как сумма значений данных функций на области определения (см. видео).

Что касается других арифметических операций, то разность и произведения функций определяется очень похоже: эти операции определены на пересечении областей определений, и значение функции определяйте соответственно операции (см. видео). Немножко иначе определено частное. Итак, частное функции f и g определено на пересечении областей определений функций f и g, кроме того берутся те точки этого пересечения, в которых знаменатель дроби функции g не обращается в ноль (см. видео). Второй пункт определяется понятно как частное значений функции.

Операции над функцией, которая не является арифметической.

Композицией функции f и g называется функция, которую мы обозначаем символом °. Кроме того ее называют еще сложной функцией, образованной с помощью функции f и g. Где она определена? Она определена в тех точках области определения функции f, в которых значение функции f(x) принадлежит области определения функции g. Значение этой функции определяется как g(f(x)) в точках указанной области определения.

Давайте рассмотрим простой пример. Итак, даны функции f(x) и g(x). Составим композиции, читаем эти символы справа налево f и g, и вторая композиция функций g и f. Так в соответствии со вторым пунктом, композицию находим функций f и g как g(f(x)). Заменяем f(x) на ln x и вычисляем значение функции g. Обратите внимание на функцию композиции функций g и f. Мы в результате получаем абсолютно другую функцию. Поэтому на этом примере это хорошо видно, что композиция функции не является коммутативной операцией. Если вы поменяли порядок действий, то вы получаете другую функцию.

Еще одна функция, которая не является арифметической – сужение функций, в результате которой мы получаем новую функцию. Итак, что такое Е множество? Это подмножество области определения. Оно и становится областью определения новой функции. Во всех точках значения новой функции находится точно так же, как и у функции f. Как сужение функции связано с функцией f? График этой функции является частью графика функции f.

Давайте рассмотрим простой пример. Квадратичная функция f(x)=х². Графиком является парабола. Рассмотрим подмножество области определения множество R. Например, [0;+∞) и рассмотрим сужение функции f на этом множестве. Мы получаем новую функцию, потому что у нее другая область определения, но график этой функции является частью графика функции f. Надо сказать, что существует еще и другой термин относительно функции g функция f является продолжением.

Следующий пункт нашей лекции – свойства функций.

Монотонность. Монотонность связана с возрастанием и убыванием функции. Определений довольно много. Давайте рассмотрим первое из них.

Например, функция называется строго убывающей на множестве Е, которое является частью области определения, если для любых точек x₁ и x₂ из множества Е, удовлетворяющих неравенству x₁<x₂ выполняется неравенство f (x₁)> f (x₂). Как записывается логическая форма этого определения? Именно на это вы должны обратить внимание и выучить логическую форму записи. Итак, то что мы произнесли словами, то что здесь написано текстом, в логической форме записывается следующим образом (см. видео). Остальные определения мы не будем записывать словами.

Давайте посмотрим общую структуру этих определений и отличия.

Итак, с возрастанием/убыванием на множестве связаны следующее определение: строгое убывание, убывание, строгое возрастание, возрастание и постоянство функции на множестве.

Сравните эти определения, они абсолютно одинаковы за исключением одного момента: последние неравенства разные, и они отражают термин, который определяется. Слова мы поэтому произносим те же самые, которые были сказаны прежде для строгого убывания, за исключением того неравенства, которое находится на последнем месте.

Что же мы называем монотонной функции? Монотонное – это значит возрастающее и убывающее. Строго монотонное – это значит строго возрастающее или строго убывающее. Мы говорили про множество Е. Иногда бывает так, что множество не указано, например, функция называется убывающей (множество не указано) – это значит, что речь идет о всей области определения. В этом случае определение выглядит так: для любых x₁ и x₂ из области определения функции f если x₁<x₂ выполняется неравенство f (x₁) ≥ f (x₂). Аналогично мы пишем определение монотонности для всех остальных случаев.

Рассмотрим пример. Функция задана графически. Задание для самостоятельного изучения. Назовите промежутке монотонности этой функции, используя те термины, которые мы только что ввели. Мы не будем разбирать этот пример, попробуйте выполнить его самостоятельно. Ответы даны на следующем слайде. Сравните свои выводы с этим ответом.

Четность, не четность. Определение снова содержит два пункта. Функция называется четной, если: для любой точки x, если она принадлежит области определения, то и минус х тоже принадлежит области определения (область определения функции является симметричным относительно нуля множества), и в любой точке области определения значение функции равно значению функции в симметричной точке.

Определение нечетной функции формулируется аналогично, за исключением 2 пункта. Итак, область определения симметрична относительно нуля и в симметричных точках значения функции противоположны по знаку.

Как отражается поведение четной и нечетной функции на графике? Из определение следует, если М(х;у) точка графика, т.е. f(x)=у, а функция четная, то точка N(-х;у) тоже точка графика, значит, график четной функции симметричен относительно оси Оу. Для нечетной функции если М(x;y) точка графика, то из определения следует что точка K(-x;-y) тоже точка графика, она симметрична относительно точки начала координат. Значит, график нечетной функции обладать свойством центральной симметрии относительно точки начала координат.

Ограниченность. Функция f называется ограниченной сверху (на множестве Е), если существует такое действительное число b, что для всех точек x из области определения функции, если речь идет о множестве Е, то мы говорим из множества Е, выполняется неравенство f(x) ≤ b. Символическую форму записи вы видите на видео. Если множество Е не упоминается – это первый случай, если говорится об ограниченности сверху на множестве Е, то мы записываем для любого x из множества Е, все остальное то же самое.

Для ограниченности снизу ситуация похожа, но для начала давайте посмотрим, как это выглядит. Функция ограничена сверху – это означает, что существует такая горизонтальная прямая y=b, выше которой нет точек графика функции f.

Для ограниченной снизу функции мы записываем определение аналогично (см. видео). С геометрически точки зрения, ограниченность снизу означает существование такой горизонтальной прямой, ниже которой нет точек графика функции f.

Определение ограниченной функции. Ограниченность означает ограниченность сверху и снизу. Для работы с определением нам конечно удобно пользоваться логической формой записи.

Существуют две эквивалентные формы записи этого определения. Итак, функция ограниченна, если существуют два числа а и b, такие что значение функции находится между этими числами, какова бы ни была точка из области определения. Или посмотрите пункт 3 на видео, определение ограниченности записано, где используется всего одно неотрицательное число m.

Вы можете попытаться доказать эквивалентность этих трех определений. Ограниченность функции означает, что существуют две горизонтальные прямые, между которыми расположен график функции, то есть график функции располагается в некоторой горизонтальной полосе.

Периодичность. Что такое период? Число Т≠0 называется периодом функции если выполнены два пункта: 1) если какая-то точка принадлежит области определения, то ей принадлежат точки, которые сдвигаются на Т вправо-влево, они должны тоже принадлежать области определения, 2) в этих точках значения функции равны. Определение периодической функция: функция периодическая, если она имеет такой период. Легко из определения можно получить такой вывод, если Т период функции, то периодом является любое число nТ, где n – это целое число, не равное нулю. Поэтому периодическая функция имеет бесконечно много периодов, среди них есть как положительные, так и отрицательные. Наименьший положительный период называется основным периодом, и мы будем обозначать его Т₀.

Не всякая периодическая функция имеет основной период. Например, константа возьмем f(x)=1 – это периодическая функция, ее область определения R. Все ее значения во всех точках равны, поэтому любое число Т≠0 является периодом, но среди положительных чисел нет наименьшего числа, нет самого маленького положительного числа, поэтому основного периода нет. Мы помним, что все известные нам тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс, имеют период, кроме того они имеют и основной период.

Задание: назовите основной период этих функций.

Важные свойства периодической функции, которые позволяют нам часто выяснить очень быстро является функций периодический или нет. С чем она связана? С тем, что если функции принимает какое-то значение, то она его принимает бесконечно много раз. Поэтому справедливо следующие утверждения: если функция f периодическая, то любое уравнение вида f (x)= а, а – это некоторое число, либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

Давайте посмотрим, как это свойство работает. Возьмем f(x)= x + 1. Как ответить на вопрос, обосновать, что функция не является периодической? Рассмотрим уравнение f(x) = 1. Это уравнение имеет одно решение: х=1. Поэтому функция не может быть периодической. Свойство периодической функции не выполнено.

Обратимость. Обратная функция.

Пусть функция f инъективна, в этом случае, она, мало того, что является инъективной, она отображает взаимно однозначно область определения множества Х на область значений множества Y. Итак, f – это биекция x на у. В этом случае мы можем взять и поменять направление стрелочек, и мы получим новую функцию, которую мы обозначаем f^-1 и называем обратной функцией. Она определена на множестве Y и принимает значение во множестве Х. Посмотрите на картинку, у функции f – это отображение из Х в Y, у f^-1 – из Y в X. Мы поменяли направление стрелочек. Определение: функция f^-1 называется обратный для функций f, 1) если ее областью определений служит множество значений функции f, 2) значение функции значение функции f^-1(x)=у в том, и только в том случае, когда f(y) = x. Функция называется обратимой, если она имеет обратную функцию. Функция может быть и необратимой.

Когда же функция обратима? Исходя из первых наших рассуждений, мы понимаем, функция обратима тогда и только тогда, когда она инъективна. Это первое утверждение. Мы проверяем функцию на инъективность: если инъективна, то и обратима.

Второе утверждение. Опирается на свойства строго монотонной функции, если функция строго монотонна, то она инъективна, следовательно, и обратима.

Свойство, которое связывает графики данной функции f и обратной. Они симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов прямая y = x.

Давайте рассмотрим небольшое рассуждение. Пусть значение функции в точке а равно b, функция обратима, тогда значение обратной функции в точке b равно а. Значит, если точка (a; b) – это точка графика функции f, то точка (b; a) – это точка графика функции f^-1. Поскольку эти точки симметричны относительно прямой у = х, то свойство мы это аргументировали. Мы не будем разбирать алгоритм нахождения обратной функции, вы можете его прочитать и разобрать на конкретных примерах. На практических занятиях разберем решение этой задачи по этому алгоритму, так он перед вами (см. видео).