Математика. Материалы курса

Прежде, чем приступить к изучению курса математики, очень важно познакомиться с символами, с языком математики, потому что математика – это особая наука, она использует свой язык символов, который истоками имеет математическую логику.

Главное понятие, которое мы используем – это понятие множества. Это одно из основных неопределяемых понятий, которое впервые было сформулировано (дано было его определение) и стало изучаться как математический объект в 19 веке. Основоположником теории множеств считается немецкий математик Георг Кантор, который, кстати, родился в России.

Для обозначения множеств мы используем прописные буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов – строчные буквы. Например, если a – это элемент A, мы используем знак принадлежности (Î), если a не является элементом множества A, мы говорим: «a не принадлежит», и этот знак перечеркиваем (Ï). Для обозначения пустого множества, мы тоже используем специальный знак, который означает, что в этом множестве нет элементов (Æ).

Давайте приступим к изучению символов. Первое, с чего мы начнём - понятие квантора. Различают два квантора: существования ($) и всеобщности ("). Их происхождение очень интересно, символы – это перевёрнутые первые буквы слов Exist (англ.) – существовать, и Any (англ.) – любой, всякий, каждый. Посмотрите, обычно рядом с квантором пишется переменная. Как прочитать эти символы? Существует x. Обратите внимание, если у вас стоит квантор существования рядом с переменной, то после этого обозначения всегда идет объяснение, что за элемент существует, следующее описание относится как раз к этому элементу. Если квантор всеобщности стоит рядом с какой-то переменной, мы читаем «для любого», «для всякого», «для всех».

Также при записи математических предложений мы используем логические связки, символы логических операций. Символ «перевернутая крышечка» (Ù) – знак конъюнкции, и читаем мы его как союз «и» (aÙb - а и b). Перевернем этот знак, получим знак дизъюнкции, и читаем мы его «a или b». Что нужно знать об этих символах? Они тесно связаны с другими обозначениями, с которыми вы встречались в школьном курсе математики. Знак конъюнкции связан со знаком системы из операции пересечения множеств. Например, если мы рассмотрим двойное неравенство x ≥ 1 и x ≤ 5 – это означает, что выполняется конъюнкция двух условий, которые мы можем записать уже не используя знак конъюнкции, а используя знак системы ({) – это означает, что x принадлежит пересечению решений этой системы неравенств. Решением служит отрезок [1; 5]. Что касается знака дизъюнкции, то он связан со знаком объединения и с записью совокупности ([). Посмотрите, дизъюнкция неравенств x ≤ 1 или x ≥5, равносильна записи совокупности этих неравенств, что в свою очередь означает объединение двух промежутков.

Следующая операция – импликация (Þ). Если она соединяет два высказывания a и b, то мы читаем «если a, то b». Эквиваленция (ó) – это конъюнкция двух импликаций, и читаем мы «a тогда и только тогда, когда b».

Ну и наконец, унарная операция (ранее были бинарные операции, поскольку связывали два высказывания) – отрицание (ù), выполняется для одного высказывания, и мы обычно в русском языке присоединяем частицу «не».

Еще в наших лекциях мы используем особый знак, он похож на импликацию, но читаем мы его «по определению означает» (definition (англ.) – определение), это помогает нам кратко сформулировать определяемый термин.

Отношение между множествами (Í). Это понятие, в общем-то, вам знакомо, обратите внимание, только мы обычно ставим еще дополнительно горизонтальную черту, имея в виду, что множества могут быть и равными. Как сформулировать определение включения (Í) двух множеств? AÍBó"x(xÎAÞxÎB): множество A включено во множество B, по определению означает (читаем кванторы), что для любого x выполняется (дальше идет высказывательная форма, иногда мы заключаем ее в круглые скобки, иногда не заключаем), если x принадлежит множеству A, то x принадлежит множеству B.

Отношение равенства множеств, в этом случае, эквивалентно равенству конъюнкции двух включений. Множества A и B называются равными, если множество A включено во множество B, и множество B включено во множество A.

Для понимания материала нам очень важно еще знать, как строятся отрицания высказываний, которые построены вот в такой логической системе обозначений (см. видео).

Давайте посмотрим, если мы хотим сказать, что множество A не включено в B, как построить отрицание? Во-первых, что нужно знать о кванторах: при построении отрицаний квантор всеобщности меняется на квантор существования и наоборот – квантор существования на квантор всеобщности, кроме того высказывательная форма меняет свое значение на противоположное, мы строим отрицание. Тут существует определенное правило, поскольку в определении включения у нас импликация, мы должны знать, как построить импликацию. Итак, отрицание импликации AÞB (если A, то B) означает, что выполняется конъюнкция высказываний A и не B. Посмотрите, как трансформируется определение включения, когда мы переходим к отрицанию. Множество A не включено во множество B означает, что существует такой элемент x, что (поясняем какой) x принадлежит множеству A, и x не принадлежит множеству B.

Давайте посмотрим, как построить отрицание равенства множеств. В определении здесь у нас присутствует конъюнкция двух условий, и мы должны знать, как построить отрицание конъюнкции и дизъюнкции. Смотрите, A и B, строим отрицание, означает или не A, или не B, имеется в виду не разделительная дизъюнкция, может быть и одновременно не A, и не B. Итак, отрицание конъюнкции A и B – это дизъюнкция отрицаний не A или не B. Точно так же с отрицанием дизъюнкции. Что мы делаем? Разрываем черту, и знак конъюнкции заменяем на дизъюнкцию, и наоборот. В таком случае множества A и B не равны, если A не включено в B, или B не включено в A.

Основные числовые множества. Они развивались на протяжении всей истории развития математики, первое множество, которые мы используем и в жизни – это множество натуральных чисел: N = {1, 2, 3, …}. Обратите внимание, что для записи в обозначениях этих числовых множеств мы используем утолщение символа, потому что это международная практика, это принятые символы для обозначения множеств мировым сообществом математиков. Множество натуральных чисел – это 1 2 3 и так далее, числа которое мы используем для счета предметов. Во множество целых чисел мы добавляем ноль и числа противоположные натуральным числам: Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Множество всех рациональных чисел (в переводе с латинского – отношения, дробь) – это множество всевозможных дробей m/n, в которых m - это целое число, а n - это натуральное: Q = {m/n | mÎZ, nÎN}. Множество иррациональных чисел - это те числа, которые не являются рациональными: I. И в объединении множества Q и множество I дают нам все множество действительных чисел: R = {-∞; +∞}, которые мы отождествляем с числовой прямой (на прямой мы указываем направление, точку начала отсчета и единицу).

В математическом анализе мы изучаем числовые функции, которые связаны с понятием числового множества. Что такое числовое множество? Это любое подмножество множества действительных чисел, значит, его элементы изображаются точками числовой прямой.

К чему надо быть готовыми? Что одна и та же запись в математике может быть прочитана по-разному. Например, x содержится в R: xÍ R. Как иначе сказать? x – это часть множества R, x – это подмножество R, но правильнее всего сказать, x – это числовое множество, и эта запись означает ровно это.

Также мы используем записи не просто R, а R², мы сейчас не будем вдаваться в подробности, почему так, просто давайте договоримся, что R² мы обозначаем координатную плоскость, элементами которой являются пары действительных чисел – это точки координатной плоскости. Если мы написали R³, то это уже координатное трехмерное пространство, элементы этого пространства имеют три действительные координаты.

На этом вводная лекция, посвященная символике, завершена. Мы желаем вам успешного изучения, кроме того, мы рекомендуем вам не торопиться, чаще ставить видео на паузу, и вникать в записи, которые мы вам предлагаем.