Математика. Материалы курса

Раздел: «Проверка статистических гипотез». Тема: «Статистический критерий хи-квадрат».

Критерий хи-квадрат применяется для сравнения законов распределений двух независимых статистических совокупностей.

Предлагаю мини-тест. Вопрос первый. Статистические гипотезы условно подразделяются на следующие типы… Даны варианты ответов. Выберите верный. Вопрос второй. Критерий хи-квадрат применяется для сравнения выборочных совокупностей… Варианты ответов: независимых, зависимых, случайных, неслучайных. Выберите верный вариант ответа. Вопрос третий. Ошибка первого рода состоит в том, что будет… Даны варианты ответов. Выберите верный вариант ответа по вашему мнению.

Проверим ваши ответы Вопрос первый. Верный ответ под цифрой четыре. Вопрос второй. Верный ответ под цифрой один. Вопрос третий. Верный ответ под цифрой два.

Рассмотрим пример. Производится проверка знаний студентов при помощи тестовой системы на допуск к выполнению лабораторной работы. Результаты проверки оценивались по номинальной шкале: «допущен» – 1, «не допущен» – 0. Цель исследования состоит в сравнении подготовленности студентов факультета А и факультета Б.

Решение. Сформулируем нулевую гипотезу – «уровень подготовки студентов факультетов А и Б одинаков». Альтернативная гипотеза – «уровень подготовки студентов факультетов А и Б различен». Сами выберем уровень значимости 0,05. Полученные данные представим в виде такой таблицы. Подсчитаем столбец Всего. Запомним его. Обратите внимание, что у нас все значения ячеек больше 10. Поэтому можем воспользоваться формулой, представленной на экране. Расчет произведем в `MS Excel подстановкой значений в соответствующую формулу. Эмпирическое значение, найденное по этой формуле равно 1,496. Чтобы найти критическое значение критерия зайдем в Функции (категория Статистические) и выберем функцию ХИ2.ОБР.ПХ. Так как мы взяли уровень надежности 0,05, то в окне Вероятность введем 0,05. Степень свободы равна произведению количества строк -1 на количество столбцов -1. У нас дана таблица – 2 на 2. Степень свободы равна 1. Получили приближенное значение 3,841. Сейчас выполним сравнение. В силу того, что эмпирическое меньше критического (1,496 меньше 3,841), принимается нулевая гипотеза.

Вывод. Таким образом, подготовка студентов факультетов А и Б не отличается друг от друга на уровне значимости, равном 0,05 или с надежностью 95%.

Пример. Оценивается мнение студентов относительно содержания методических указаний к лабораторным работам по одной из учебных дисциплин. Сравнивается мнение студентов очного и заочного факультетов: «методические указания требуют доработки с целью улучшения их содержания». Ответ «Да» -1, ответ «нет» - 0.

Нулевая гипотеза – «мнения студентов очного и заочного факультетов, состоящее о необходимости доработки методических указаний совпадают». Альтернативная гипотеза – «мнения студентов о необходимости доработки не совпадают». Здесь выберем уровень значимости 0,05. Обратите внимание как выглядит таблица данных. Здесь мы видим, что значение в первом столбце, в первой строке – 7. Оно меньше 10, поэтому воспользуемся иной формулой, она представлена на экране. Подсчет происходит в MS Excel. Ссылки на ячейки здесь представлены. То есть след остался. Эмпирическое значение для нашей задачи составляет 5,149. Найдем критическое значение функции критерия. Воспользуемся функцией категории Статистические ХИ2.ОБР.ПХ. Уровень значимости мы взяли 0,05, поэтому это значение вносим в ячейку Вероятность. Степень свободы найдем по той же формуле: количество строк минус 1 умножить на количество строк минус 1. Таблица имеет размерность 2 на 2, поэтому степень свободы равна 1. Значение функции приблизительно равно 3,841. Сейчас выполним сравнение. Так как 5,149 больше 3,841 (эмпирическое значение больше критического), можно сделать вывод, что нулевая гипотеза отвергается, и может быть принята альтернативная гипотеза. Чтобы убедиться, что может быть принята альтернативная гипотеза, выполним дополнительную проверку. А пока можем сделать вывод, что мнение студентов о необходимости доработки методических указаний различается на уровне значимости 0,05, то есть с ошибкой 5%, и с надежностью 95%. Для того, чтобы убедиться в принятии альтернативной гипотезы, оценим соотношение вероятностей Р1 и Р2, вычислим частоты. Видим, что отношение Q11 к N1 составляет 0,24, а отношение Q2 к N2 равно 0,57. Очевидно, что 0,57 больше, чем 0,24. Поэтому можем сделать вывод, что Р2 больше чем Р1.

Таким образом, можем сделать вывод о том, что студенты заочного отделения с большим трудом, чем очного, понимают смысл этих указаний и поэтому в большем количестве высказывают мнение о необходимости их улучшения.

Предлагаю задачи для самостоятельного решения.

Задача первая представлена на слайде. Здесь приведена таблица данных.

Задача вторая. Исходная таблица не дана, нужно ее составить самостоятельно с учетом данных из условия, затем искать ответ на вопрос задачи.

Желаю успешного решения. Спасибо за внимание.