Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величины
Практическое занятие «Вычисление характеристических функций».
Напомню, что характеристической функцией случайной величины называется функция от вещественного параметра t, которая вычисляется, как математическое ожидание от следующей функции еitξ: ψ(t)=M[еitξ], где ξ случайная величина, а i – мнимая единица.
Таким образом, значения характеристической функции будут комплексными, то есть у нас функция ψ: R→C действует из множества действительных чисел в множество комплексных чисел.
Научимся искать характеристические функции для дискретных и непрерывных распределений.
Пример 1. Случайная величина ξ – индикатор случайного события (т.е. имеет распределение Бернулли) с вероятностью p. Построить характеристическую функцию этой случайной величины.
Пусть ξ является индикатором случайного события, то есть распределение величины ξ дискретно и имеет следующий вид: значение 0 и значение 1 – это множество значений случайной величины. Причем значение 1 она принимает с вероятностью p, a 0 – с вероятностью 1–p (см. видео).
Тогда характеристическая функция этой случайной величины в точке t будет равна математическому ожиданию дискретной случайной величины. Как его вычислить? Нужно вероятность случайной величины умножить на ее значение. У нас случайная величина еitξ будет принимать значение 1 и значение еit. Поэтому мы получим: ψ(t)= еit0(1–p)+еit1p. еit0=1. А значит, мы получим 1–p+еitp.
Заметим, что если мы рассмотрим более сложные случайные величины, то и их характеристические функции будут выглядеть более сложно (будет больше слагаемых, которые, возможно, сократятся). Таким образом, можно найти характеристическую функцию для любой случайной величины, имеющей дискретное распределение.
Найдем характеристическую функцию для случайной величины, имеющей непрерывное распределение.
Для примера рассмотрим равномерное распределение на отрезке [a, b].
Пример 2. Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b]. Построить характеристическую функцию этой случайной величины.
Напомню, что для такой случайной величины плотность распределения является константой на отрезке [a, b]: f(x)ξ= 1/(b–a), если a≤x≤b, и 0, если x<a или x>b (см. видео). Тогда характеристическая функция величины ξ в точке t ψ(t) будет равна интегралу от –∞ до +∞ от произведения, причем вторым множителем является плотность распределения.
Так как плотность распределения отлична от нуля только на промежутке от а до b, то здесь мы можем считать интеграл только на промежутке от а до b.
ψ(t)= см. видео. 1/(b–a) – константа, ее можно вынести за знак интеграла. Под интегралом останется экспонента. Мы знаем, что интеграл от экспоненты – это та же самая экспонента, но нужно будет еще разделить на коэффициент при x. Поэтому данный интеграл будет равен еitx/(it(b–a)) (см. видео). И все это нужно рассмотреть в границах от а до b. То есть вместо x мы подставляем сначала b, потом а.
Помним, что если мы работаем с комплекснозначными функциями, то мнимую единицу в знаменателе не оставляем, поэтому нужно числитель и знаменатель умножить на –i, тогда в знаменателе мнимая единица уйдет.
Получится –1/(t(b–a))(еitb–еita) (см. видео). То есть вот такой вид будет иметь характеристическая функция для равномерного распределения.
На второй лекции мы этим найденным фактом воспользуемся для того, чтобы понять, является ли равномерное распределение устойчивым.
На практическом занятии вам также нужно будет найти характеристические функции для некоторых известных нам распределений. Всем успехов!