Математика. Материалы курса

На данной лекции рассмотрим понятие кривой второго порядка и подробно исследуем одну из таких кривых.

Ранее мы уже изучали линию первого порядка, называемую прямой. Она задается уравнением первой степени. Определим понятие линии второго порядка.

Линией или кривой второго порядка называется плоская фигура, которая в декартовой системе координат может быть задана уравнением второй степени вот такого вида (см. видео), уравнением от переменных x и y. При этом требуется, чтобы среди коэффициентов a, b, c нашелся хотя бы один не равный нулю, иначе, если все эти коэффициенты обнулятся, мы получим уравнение первой степени.

Отметим, что при некоторых значениях параметров данное уравнение может не иметь решения. Например, если параметры a и f равны 1, остальные равны 0, то уравнение не будет иметь корней, т.е. в этом случае мы получим пустое множество точек. Фигуру, задаваемую таким уравнением, условно называют мнимой. В дальнейшем рассмотрим реально существующие фигуры и вначале дадим их классификацию.

Для этого составим указываемые на видео два определителя. Один обозначим Δ, другой δ.

Если Δ ≠ 0, то фигуру называют невырожденной. В этом случае может получиться эллипс, в частности, окружность. Сегодня мы поговорим об этой фигуре. Далее может получиться гипербола. Например, гиперболой является график обратной пропорциональности. А также парабола, которая, как известно, является графиком квадратичной функции.

Если же Δ = 0, то линию называют вырожденной. Например, эллипс может выродиться в точку, тем самым может получиться точка, заданная, например, указанным на видео уравнением. Далее мы можем получить две пересекающиеся прямые, например, вот такие (см. видео), либо две параллельные прямые, которые в частности могут совпасть.

Сегодня на лекции рассмотрим более подробно линию второго порядка, называемую эллипсом. Дадим общее определение: эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек постоянна. Указанные фиксированные точки называют фокусами. Пусть расстояние между фокусами равно 2c, это расстояние называется межфокусным расстоянием. Взяв произвольную точку M, лежащую на эллипсе, мы получаем в силу определения, что сумма отрезков MF₁ и MF₂ равна некоторому постоянному числу, которое мы обозначим через 2a. Для того чтобы эллипс существовал, т.е. получилась не мнимая, а реально существующая фигура, требуем, чтобы a было больше c. Сами отрезки MF₁ и MF₂ называют фокальными радиусами в точке M.

Давайте построим несколько точек, удовлетворяющих указанному равенству. Каждый раз у нас точка меняется, но сумма указанных расстояний постоянна (см. видео). Получается некоторая фигура, которую назвали эллипсом, при этом, как я уже сказал, a > c, что вытекает из неравенства треугольника. Теперь давайте будем сближать два фокуса. Вот если мы их нарисуем поближе, то фигура немножко изменится (см. видео) и в пределе, если мы дальше продолжим их сближать, когда точки-фокусы сольются, наш эллипс превратится в известную кривую – окружность (см. на видео). Окружность – это эллипс, у которого два фокуса совпадают. В этом случае радиус окружности равен параметру a, и он совпадает с двумя фокальными радиусами эллипса.

Теперь рассмотрим произвольный эллипс и определим специально подобранную систему координат, в которой выведем уравнение эллипса, т.е. зададим эллипс аналитически. В качестве начала координат рассмотрим точку O – середину отрезка F₁F₂, ось абсцисс направим вдоль точек F₁, F₂, ось Oy изображаем перпендикулярно оси абсцисс, коль скоро у нас система декартова. Отмечу, что эллипс симметричен относительно выбранных осей, поэтому эти оси называют осями симметрии эллипса, точку O называют центром эллипса. Рассмотренная система координат, называется конической системой. В частности, если мы имеем окружность, то оси можно выбрать произвольно, а начало координат – это центр окружности.

В выбранной системе координат фокусы получают определенные координаты с абсциссами –c и c, сам эллипс пересекает ось абсцисс в точках a и –a. Теперь введен еще один параметр, обозначаемый b, в этом случае эллипс пересечет ось ординат в точках –b и b. Параметр a называют большой полуосью, параметр b - малой полуосью. Обратите внимание, что b не превосходит параметр a. Указанные четыре точки пересечения эллипса с осями координат называют вершинами эллипса. Есть через вершины провести прямые параллельные осям координат, то получится прямоугольник, в который целиком заключен эллипс. Этот прямоугольник называют опорных прямоугольником. Отрезки MF₁ и MF₂, который мы назвали фокальными радиусами, могут быть вычислены для любой точки M из радиуса по указанным формулам (см. видео).

Теперь выведем уравнение эллипса в канонической системе координат. Рассмотрим эллипс. Возьмем произвольную точку, лежащую на эллипсе, и составим характеристическое равенство согласно определению (см. видео). Распишем расстояние от точки M до фокусов, выразим их через координаты этих точек по известной формуле, расстояние между двумя точками, получим вот такое равенство (см. видео): в левой части этого равенства стоят два квадратных корня. Чтобы от них избавиться, придется два раза возвести уравнение в квадрат, выполнить преобразования, после которых уравнение примет указанный вид (см. видео). Вспомнив, что разность a²–c² мы обозначили через b², это равенство можно упростить, поделив его на правую часть. Сделаем указанную замену и получим следующее уравнение (см. видео). Это уравнение называют каноническим уравнением эллипса.

Теперь опять же рассмотрим эллипс, мы уже знаем, каким уравнением он задается в канонической системе координат. Возьмем произвольную точку на эллипсе, зафиксируем ее и проведем через нее произвольному секущую. Она пересечет эллипс в некоторой другой точке. Будем приближать эту вторую точку к первой. В пределе вторая точка сольется с первой, т.е. получим так называемое предельное положение секущей. Это предельное положение секущей называют касательной к эллипсу в данной точке. Уравнение касательной может быть задано в указанном виде (см. видео). В частности, давайте рассмотрим касательную в одной из вершин эллипса, например, в вершине с координатами (0, b). Подставив координаты в указанное уравнение, получим касательную, которая задается уравнением y = b. Таким образом, можно показать, что эллипс касается всех сторон опорного прямоугольника.

Рассмотрим интересное оптическое свойство эллипса: если поместить в один из фокусов источник излучения, то все лучи, направленные в разные стороны, отразившись от эллипса, соберутся в итоге в другом фокусе. Рассмотрим рисунок. Возьмем произвольный луч, отразим его (см. видео). Напоминаю, что угол отражения равен углу падения. В этом случае этот луч перейдет во второй фокус. Совершенно аналогично произойдет со всеми другими лучами. Итак, все они направятся во второй фокус (см. видео). Отметим, что если вращать эллипс вокруг оси, которая проходит через фокусы, то получится пространственная фигура, которую называют эллипсоидом вращения. Для эллипсоида справедливо точно такое же свойство, которое мы указали для плоской фигуры. Таким образом, можно сказать, что фокус эллипса – это место, где одномоментно сосредотачивается большое количество энергии.

Теперь введем важную характеристику эллипса под названием эксцентриситет. Это число равное отношению параметров c и a, при этом т.к. у нас a > c, то эксцентриситет эллипса всегда меньше 1, но при этом очевидно является величиной неотрицательной.

Рассмотрим некоторые примеры эллипсов и укажем, какие эксцентриситеты они имеют. На слайде приведены три рисунка (см. видео). Можно заметить, что если эксцентриситет будет увеличиваться, т.е. отношение c к a будет отрасти, то и отношение параметров b к а будет наоборот уменьшаться, т.е. с увеличением эксцентриситета эллипс будет вытягиваться вдоль оси абсцисс. Обратите внимание, что у нас слева на рисунке эксцентриситет больше и эллипс более вытянут, чем тот, который изображен на правой картинке (см. видео). И наоборот, если эксцентриситет будет уменьшаться, то эллипс будет все больше и больше напоминать окружность, и в пределе, когда у нас эксцентриситет обнулится, мы получим в точности окружность (см. видео), т.е. эллипс, у которого фокусы совпадают.

Определим одно преобразование, называемое сжатием к некоторой оси. Выберем в качестве оси ось абсцисс и зафиксируем коэффициент сжатия, равный отношению b к a. В этом случае каждая точка плоскости переходит некоторую новую точку. Если исходную точку мы обозначим буквой M, то новую обозначим M’. Рассмотрим рисунок: M – исходная точка с координатами (z, y), новая точка имеет координаты (x’, y’). Определим соответствия координат следующим образом: первая координата не изменяется, а вторая координата y’ увеличивается, т.е. изменяется в k раз, где k это отношение b/a. Из этих равенств можно выразить значение координат исходной точки.

Давайте для примера возьмем некоторую линию, например, окружность, и каждую ее точку переведем в новую точку указанным преобразованием. На рисунке мы видим, что точки окружности перейдут в точке некоторой другой линии (см. видео). Докажем аналитически, что эта линия является эллипсом. Для этого в каноническое уравнение окружности с радиусом a подставим вместо переменных указанное соотношение, преобразуем и, как мы видим, получим равенство, которое относительно переменных x’, y’ задает уравнение эллипса с полуосями a и b. Таким образом, любой эллипс можно получить с помощью операции сжатия из окружности.

Второе: мы с вами знаем, что окружность можно задать системой параметрических равенств. Если в данную систему снова подставить указанные на слайде формулы, то эта система преобразуется в другую систему равенств, которые будут задавать эллипс. Таким образом, эллипс может быть также задан параметрически указанной системой равенств.