Математика. Материалы курса

На данном занятии рассмотрим ряд задач, который решим с использованием скалярного произведения векторов.

Итак, первая задача. Имеется два вектора а и b, известны их длины и угол между этими векторами, он равен 90º. Найдем скалярное произведение двух следующих векторов: 3а+2b и 4b-а. Для этого воспользуемся свойствами скалярного произведения и, возможно, применим основное определение. Итак, чтобы преобразовать данное выражение, необходимо воспользоваться следующими свойствами. Умножим каждое слагаемое в скобке на каждое из слагаемых в другой скобке, получим следующее выражение (см. видео): 3а умножаем на 4b, при этом числовые коэффициенты из данного произведения можно вынести, получится 3 на 4, а на b, далее 3а умножаем на -а, получается минус 3а в квадрате, то есть а умножается на а. Говорят, это скалярный квадрат вектора. Далее 2b на 4b умножаем, 2 на 4 это 8, 8b в квадрате и, наконец, 2b на -а, -2bа. Давайте поймём, какими свойствами теперь нужно будет воспользоваться. Во-первых, аb и bа – это одно и то же, что, очевидно, вытекает из определения скалярного произведения. Во-вторых, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Поэтому раз нам известны длины векторов, мы можем легко найти и скалярные квадраты. Итак, давайте, во-первых, сгруппируем слагаемые, содержащие произведение аb, и вычислим 12аb - 2аb = 10аb и, учитывая, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, запишем -3*7², то есть 49, плюс 8 умножается на квадрат длины вектора b, то есть на 5², на 25. Осталось найти скалярное произведение аb. Вспомним определение. Чтобы найти скалярное произведение, нужно умножить длинные этих векторов, которые нам известны, на косинус угла между ними. Так как угол 90º, то косинус этого угла будет равен 0. Кстати, можно было воспользоваться следующим свойством. Коль скоро векторы ортогональны, значит, скалярное произведение равняется нулю, значит, все первое слагаемое обнуляется. Итак, осталось вычислить числовое выражение, 3 на 49 это 147, причем со знаком минус, минус 147, 8 до 25, 200, плюс 200. В итоге получается 53. Это является ответом, то есть скалярным произведением указанных векторов.

Сейчас для этого задания еще один вопрос. Допустим, мы хотим найти, чему равен вектор, точнее, чему равна длина вектора 4b-а. Итак, постарайтесь самостоятельно ответить на этот вопрос. Давайте разберем, в чём здесь может крыться ошибка. Конечно же, неправильно считать, что длина вот такого вектора равна разности длин 4b и а. Мы не можем таким простым способом найти длину разности, также, как и длину суммы. Чтобы ответить на вопрос, можно снова воспользоваться тем, что квадрат вектора – это квадрат его длины, поэтому вместо того, чтобы найти длину вектора, давайте найдем его квадрат. Квадрат длины, то же самое что и квадрат вектора. То есть возведем 4b-а во вторую степень, и подобным образом преобразуем данное выражение. Справедлива формула квадрата разности, потому что все основные свойства, которые используются для вывода этой формулы, здесь справедливы. Итак, можем записать 16b² - 8bа + а². Итак, мы уже обсудили, что скалярное произведение аb = 0, потому что векторы ортогональны. Значит, среднее слагаемое обнулится. Скалярный квадрат вектора b мы находили, это 25, а скалярный квадрат вектора а = 49. Итак, 25 * 16 + 49 = 449. Итак, разность данных векторов в квадрате равна вот такому числу, тем самым мы нашли квадрат длины вектора. Значит, чтобы найти саму длину, надо извлечь квадратный корень из полученного числа. Получается длина вектора 4b-a равна √449. Задача решена.

Следующая задача. Обратите внимание, что в формулировке нигде не присутствует понятие скалярного произведения, однако, для решения этой задачи необходимо применить это понятие. Даны 4 точки, необходимо найти угол между прямыми, которые задаются данными точками. Итак, какие-то точки М и N у нас есть, через них проходит одна прямая. Далее есть точки P и Q, через них также проходит некоторая прямая. Напоминаю, что углом между прямыми называется наименьшей из углов, которые образуются при пересечении данных прямых. Отмечу, что так как у нас точки заданы в пространстве, прямые возможно скрещиваются, поэтому напомню, что угол между скрещивающимися прямыми понимается как угол между пересекающимися прямыми, каждая из которых параллельна данной прямой. То есть при параллельном переносе угол у нас не изменяется. Поэтому мы всегда можем считать, что прямые пересекаются, когда определяем угол между ними. Так вот, для того чтобы найти угол на потребуются, так называемые, направляющие векторы, которые легко находятся через координаты точек. Итак, вектор МN, чтобы найти его координаты, применяем уже известное правило, из координат точки N вычитаем координаты точки М. Получается -1, далее 0, и 1. Это, так называемый, направляющий вектор прямой МN. Далее прямая PQ задается вектором PQ. Найдем его координаты: (1, 2, -3). И теперь, чтобы найти угол между прямыми, в начале ищем угол между векторами. Если мы рассмотрим для данных прямых направляющие векторы и отложим их от одной точки, то, учитываем тот факт, что эти векторы параллельны прямым (вот на рисунке угол φ будет равен углу α). Однако, обращая внимание, что у нас вектор направляющей прямой может быть для данного рисунка взят в противоположном направлении. И тогда, если угол φ острый, его дополнение может быть тупым. Однако, мы знаем, как отличить острый угол от тупого, для этого необходимо знать косинус, знак косинуса совпадает со знаком скалярного произведения, поэтому давайте найдём скалярное произведение взятых векторов и поймем, какой угол между ними, острый или тупой. Вспомним, как находится скалярное произведение через координаты векторов. Для этого нужно перемножить соответствующие координаты и сложить полученные произведения. Получим -1+0-3, то есть -4. Итак, раз скалярное произведение отрицательно, значит, мы выбрали векторы таким образом, что угол между ними оказался тупым. То есть имеет место такая картинка. Если мы отложим векторы от одной точки, то угол, который образуют данные векторы, у нас тупой, поэтому после того, как мы отыщем угол между векторами, угол между прямыми нам следует взять вот этот, то есть дополнение угла до 180º. Это нужно иметь ввиду. Итак, сначала отыщем угол φ. Мы уже знаем скалярное произведение, оно равно -4. Итак, вектор MN мы обозначили через а, вектор PQ через b. Учитывая, что скалярное произведение векторов расписывается по определению, как произведение длин на косинус угла между ними, мы легко можем выразить косинус угла φ. Для этого надо скалярное произведение, в нашем случае -4, разделить на произведение длин векторов а и b. Чтобы найти их длины, вспомним, какими координатами задаются векторы. Итак, а(-1, 0, 1), и вектор b(1, 2, -3). Вспоминаем формулу длины вектора. Кстати, из этой формулы можно получить в явном виде формулу расстояния между двумя точками. Можно было эту формулу применить, но для тех, кто ее забыл, я показываю общий путь решения, если мы забыли формулу расстояния между точками. Итак, длина отрезка MN это длина вектора MN, то есть вектора а, это квадратный корень из суммы квадратов координат этого вектора, то есть √2. Длина вектора b – это квадратный корень из суммы квадратов его координат. Вычисляем, √(1+4+9)=√14. Обращаю внимание, что возводим в квадрат, поэтому минус исчезает, получается √14. Подставляя в формулу, находим косинус угла между векторами, получается -4/(√2√2√7). Для того, чтобы немножко упростить полученное число, перемножаю два одинаковых корня, получаю число 2, сокращаю с четверкой, получается -2√7. Итак, если бы от нас требовалось найти угол между векторами, мы бы записали, что φ=arccos(-2√7). Напоминаю, что угол тупой. Так как нам нужен угол острый, потому что мы берем наименьшее из всех углов, мы должны знак минус у косинуса убрать, другими словами, косинус угла между прямыми это модуль косинуса угла между векторами. Соответственно, получаем для нашей задачи, что косинус угла α равен 2√7. Значение не табличное, поэтому ответ запишется с помощью функции арккосинус. Угол α= arccos 2√7, что и является ответом на вопрос задачи.

Так, решим ещё одну задачу. Допустим, что нам дан треугольник, причем известны координаты радиус-векторов его вершин. Другими словами, мы знаем координаты точек А, В и С. Давайте докажем, что треугольник равносторонний, и найдем его площадь.

Я сделаю схематичный рисунок, треугольник АВС. Опять же, мы рассматриваем точке в трехмерном пространстве. Но как известно, любые три точки образуют плоскость, поэтому всегда имеем плоскую фигуру, треугольника АВС. Учитывая, что заданы координаты радиус-векторов точек А и В, мы сразу же получаем координаты данных точек, А(1, 2, 3), В(3, 2, 1), С(1, 4, 1). Для того, чтобы проверить, будет ли треугольник равносторонний, надо убедиться, что все его стороны равны. Для этого требуется найти длины трех векторов, соответствующих сторонам треугольника, и убедиться, что эти векторы имеют равную длину. И опять же либо применяем формулу расстояния между точками, либо, если мы ее забыли, находим координаты векторов АВ, ВС и АС и вычисляем длины этих векторов. Давайте выполним данную процедуру. Вектор АВ(2, 0, -2), это вот наша сторона, лежащая против угла С (см. видео), можно ее обозначить маленькой буквой c. Далее сторона ВС, давайте обозначим маленькой буквой а, и сторону, лежащую против В, буквой b. Вектор ВС. Обратите внимание, для того, чтобы найти длины, нам неважно, каково направление векторов. Я могу взять СВ. ВС(-2, 2, 0). И, наконец, вектор АС(0, 2, -2). Итак, вот три вектора. Длины этих векторов дают нам длины сторон данного треугольника. Векторы, конечно, все различные. Однако, если будем считать их длины, то у нас, очевидно, будет одно и то же. Дело в том, что под корнем у нас появятся квадраты трех чисел, при этом модули двух из них одинаковые, и везде есть один 0. Итак, длина стороны а будет равна √8, то есть 8=4+4 под корнем. Эту же самую длину будет иметь сторона b. Проверяем, 4 плюс 4, это будет 8 под корнем. То же самое касается стороны c. Если найти длину вектора АВ, она тоже будет равна √8. Итак, все три отрезка а, b и с имеет одну и ту же длину. Это и означает, что треугольник равносторонний.

Для ответа на второй вопрос рассмотрим формулу, которая позволяет найти площадь треугольника, который построен на двух векторах. Давайте посмотрим на наш рисунок, у нас имеется три вектора a, b и c, причем вектор b это АС. Так вот, у нас вектор b и с отложены от одной точки, и они определяют треугольник АВС. Соответственно, площадь этого треугольника может быть найдена по следующей формуле: 1/2 умножается на корень из следующего выражения (см. видео). Перемножаем скалярные квадраты векторов b и c, я буду использовать маленькие буквы, но, указывая, черту сверху, подчеркивая, что мы рассматриваем именно векторы. Итак, перемножаем их квадраты и вычитаем квадрат скалярного произведения этих векторов. Обращаю внимание, что на двух векторах, отложенных от одной точки, можно также построить параллелограмм, при этом его площадь будет в два раза больше площади треугольника, поэтому, если мы ищем площадь подобного параллелограмма, коэффициент 1/2 исчезает. Раз у нас треугольник, мы этот коэффициент записываем. Итак, чтобы найти квадраты векторов b и c, мы должны знать их длины. Знаем: у нас все стороны равны одному и тому же числу. Чтобы найти скалярное произведение bc, можно идти двумя путями, либо воспользоваться формулой через координаты, либо определением. Я предлагаю воспользоваться координатной формулой, то есть рассмотреть сумму произведений соответствующих координат. Итак, bc = 4. Получается 4. Так длина вектора равна √8, тогда квадрат длины будет равен 8. Итак, квадрат b – то же самое, что и квадрат вектора c, и равняется 8. Подставляем в формулу, получая 2√3 (см. видео). Обращаю внимание, что для разностороннего треугольника есть отдельная хорошая формула, которой также можно было воспользоваться, т.е. эта формула общая, справедлива для любого треугольника, который построен на двух неколлинеарных векторах. Однако, возможно, кто-то помнит из школьного курса математики, что если дан равносторонний треугольник со стороной, скажем, равной b, то его площадь может быть найдена следующим образом: b²√3/4. Итак, эта формула исключительно для равностороннего треугольника. Давайте проверим. Получаем верное равенство (см. видео).

Наконец, еще одна задача. Необходимо найти координаты вектора а, он нам неизвестен, если он коллинеарен известному вектору b(3, 2, 1), и при этом скалярное произведение этих векторов равно 3. Итак, давайте запишем условие задачи, скалярное произведение векторов ab = трем, вектор b(3, 2, 1), и вектор а || b. Требуется отыскать координаты вектора а. Вспомним, какое есть характеристическое свойство для коллинеарных векторов. У коллинеарных векторов пропорциональны координаты, значит, если мы неизвестные координаты вектора а обозначим через x, y, z, то можем утверждать, что тройка чисел x, y, z пропорциональна тройке 3, 2, 1. Это означает, что каждая координата вектора а равна соответствующий координате вектора b, умноженной на некоторое число k, x = 3k, y = 2k и, наконец, z = k. Так как у нас вектор b ненулевой, то и вектор а тоже ненулевой. Воспользуемся условием, что скалярное произведение равняется 3, причем вспомним координатную формулу. Умножаем соответствующие координаты и складываем. Получаем, 3x + 2y + z = 3. Имеем уравнение с тремя неизвестными, однако, вспомним, что эти три неизвестные выражаются через один параметр, подставим и получим равенство, относительно неизвестного числа k. Из этого равенства легко найдем k. Итак, (см. видео) 14k=3. Значит, коэффициент пропорциональности k = 3/14. Итак, зная k, мы легко определим координаты неизвестного вектора, 3 на 3/14, 9/14, 2 на 3/14, 6/14 или можно на 2 сократить, получается 3/7 и, наконец, третья координата 3/14. Итак, требуемый вектор найден, он имеют указаны координаты. На этом все.