Математика. Материалы курса

 

На данной лекции познакомимся еще с одним произведением векторов, которое называют векторным, а также введем понятие смешанного произведения.

Для того чтобы определить это новое произведение двух векторов, нам понадобится различать понятие правого и левого базиса. Пусть задан трехмерный базис, состоящий из векторов а, b и c. Будем называть базис правым, если три пальца правой руки располагаются по направлению этих векторов (смотреть на видео).

Можно дать более четкое определение: если мы будем смотреть из конца вектора a, то переход от вектора b к вектору c будет осуществляться против часовой стрелки.

Если же эти 3 вектора будут соответствовать левой руке, т.е. три пальца будут идти по направлению векторов a, b, c для левой руки (смотреть на видео), то базис называется левым. Тогда, глядя из конца вектора a, переход от вектора b к вектору c осуществляется по часовой стрелке.

Имеем две ориентации: правую и левую. Одну из этих ориентаций называют положительной (обычно это делается для правого базиса). И мы с вами договоримся в последующем под положительной ориентацией рассматривать именно ориентацию правого базиса.

Теперь введем требуемое понятие. Пусть даны два не коллинеарных вектора a и b, их векторным произведением называется вектор, обладающий следующими свойствами. Во-первых, этот вектор должен быть перпендикулярен как вектору a, так и вектору b, т.е. он должен располагаться вдоль указанной на слайде прямой (смотреть на видео). Во-вторых, длина этого вектора должна быть равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах. Так как эти два условия задают требуемый вектор неоднозначно, добавляем третье свойство. Требуем, чтобы ориентация векторов a, b и их векторного произведения была положительной. После этого векторное произведение становится однозначно определенным. Данные три свойства однозначно определяют новый вектор – векторное произведение исходных.

Если исходные векторы коллинеарны, то их векторное произведение считается равным 0. Любым двум векторам a и b мы сопоставили третий вектор, именно поэтому указанный объект называют векторным произведением. Ранее мы с вами познакомились с понятием скалярного произведения, когда в результате получается число.

Выведем из данного определения ряд следствий. Во-первых, из второго пункта вытекают следующие два свойства. Вспомнив, что площадь параллелограмма равна произведению длины его сторон на sin угла между ними, мы получаем, что модуль векторного произведения может быть расписан по указанной формуле (см. видео). Во-вторых, площадь треугольника, построенного на векторах a и b, равна половине площади параллелограмма, а значит, площадь такого треугольника равна половине модуля векторного произведения. Далее, два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 (см. видео). Если поменять порядок следования множителей a и b, то векторное произведение поменяет знак. Для иллюстрации можно посмотреть на картинку (см. видео). То есть поменяв местами a и b, мы изменяем ориентацию.

Далее. Если взять произвольное число r, то его можно вынести из векторного произведения по указанным равенствам (смотреть на видео).

Имеет место дистрибутивное свойство, которое позволяет умножать вектор на сумму, а точнее раскрывать скобки.

Также выполняется свойство, аналогичное свойству скалярного произведения, которое позволяет раскрыть скобки. Т.е., если вектор b умножить на сумму векторов а и b, то получиться сумма двух произведений: первого вектора на b и второго вектора на b. При этом аналогичное свойство имеет место и для случая, когда мы умножаем вектор b с другой стороны.

Теперь выведем формулу, которая позволяет находить векторное произведение через координаты. Разложим каждый из векторов по базисным векторам (см. видео), т.е. так же, как и ранее считаем, что векторы i, j и k образуют ортонормированный базис, тогда коэффициенты разложения - это координаты исходных векторов, и воспользуемся свойствами.

Вначале применим последнее свойство, позволяющие раскрыть скобки. Для этого нам потребуется каждое слагаемое первой скобки умножить на каждое слагаемое второй, тем самым мы получим 9 слагаемых (см. видео). Теперь постараемся упростить вот такую большую сумму. Так как произведение двух равных векторов это нулевой вектор, то ряд слагаемых у нас обнулится.

Во-вторых, воспользовавшись еще одним свойством, поменяв порядок векторов, мы получим векторное произведение с противоположным знаком. После этого наше выражение может быть преобразовано к указанной сумме, то есть приводим подобные слагаемые и получаем сумму 3 слагаемых. При этом, давайте подумаем, чему будет равно произведение векторов i на j. Вообще, если мы возьмем два базисных вектора в некотором порядке, то их произведение будет равно третьему вектору. То есть i на j это будет k, далее k на i будет равно вектору j, ну а j на k равняется вектору i. Умножим в таком порядке, знак минус у нас нигде не возникнет. Подставив в наше выражение указанное равенство, мы получим разложение требуемого вектора через базисные, при этом в первом слагаемом у нас будет вектор k, во втором – вектор j, в третьем – вектор i (см. видео).

Обратите внимание, что каждую разность можно представить, как определитель второго порядка, при этом во втором слагаемом возникает знак минус. Проверьте, что если мы распишем определитель, то он получит значение, противоположное тому, которое стоит во втором слагаемом.

Конечно, мы получили теорему, которая позволяет находить векторное произведение через координаты, однако полученная формула достаточно трудна для восприятия. При этом нетрудно видеть, что это длинное равенство можно записать в очень удобной форме, а именно как определитель третьего порядка, где в первой строке идут базисные векторы i, j и k, а вторая и третья строки это координаты исходных векторов (смотреть на видео). Проверьте, что если мы разложим данный определитель по первой строке, то получим в точности указанную выше сумму. При этом знак минус возникает из-за того, что при подсчете алгебраического дополнения сумма его индексов будет нечетной. Именно данную формулу полезно запомнить, и при необходимости раскладывать по первой строке, и получать нужную сумму, коэффициенты которой и дают координаты векторного произведения (см. видео).

Рассмотрим интересный пример. Оказывается, знание формулы для векторного произведения позволяет получить очень простую формулу для площади параллелограмма, который построен на двух векторах. Эти векторы заданы на плоскости, то есть каждый вектор имеет две координаты (а₁, а₂) и (b₁, b₂). Оказывается, что площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, равна модулю определителя, составленного из указанных координат. Что мы сделаем? Рассмотрим эти векторы, рассмотрим плоскость и при этом добавим к базисным векторам плоскости третий вектор. Тем самым получим трехмерную систему координат, причем добавим вектор, который ортогонален векторам i и j, то есть получим прямоугольную систему координат (см. видео). В этой системе векторы a и b будут уже определяться тройкой чисел, при этом третья координата будет равна 0, тогда площадь параллелограмма будет равна модулю векторного произведения (в силу определения). Применим выведенную ранее формулу, записав в третий столбец нулевые координаты (см. видео). Вычислив данный определитель, мы получим следующую тройку: первые два коэффициента, то есть первые две координаты обнулятся, а третья координата будет равна требуемому определителю (см. видео). Таким образом, длина этого вектора равна модулю указанного определителя (см. видео).

Теперь рассмотрим ряд примеров, при этом постараемся привести примеры с физическим сюжетом.

Возьмем такую сюжетную задачу. Допустим, что в некоторый прямоугольной системе координат заданы направление мачты корабля m и направление ветра v. Требуется найти поперечное направление паруса, для того чтобы захватить ветер наилучшим образом.

Для того чтобы выбрать требуемое направлении заметим, что оно должно быть перпендикулярно как мачте корабля, так и направлению ветра, а значит, это направление p должно быть параллельно их векторному произведению. Вычислим координаты этого произведения. В силу выведенной ранее формулы, нам потребуется найти определитель (см. видео). Давайте разложим его по первой строке. Как я уже сказал, мы запоминаем не ту длинную формулу, а определитель третьего порядка. Далее раскладываем, получаем тройку координат, которые равны числам -2, -1 и 0 (см. видео). Значит, требуемое направление имеет указанные координаты.

Заметим, что очень часто среди всех векторов, имеющих одинаковое направление, требовалось найти такой, который имеет единичную длину. Таким образом, в качестве вектора p мы можем взять вот такой вектор (см. видео).

Рассмотрим ещё один пример. Допустим, у нас имеется некоторая плоскость. На этой плоскости отмечена точка. Допустим, что эта плоскость освещается некоторым источникам. Задан вектор – направление света – l, пусть он будет иметь единичную длину. Также рассмотрим вектор n, перпендикулярный данной плоскости. Этот вектор называется нормальным вектором.

Постараемся выразить через векторы n и l степень освещенности данной плоскости указанным источником света.

Зафиксируем данные векторы n и l и определим освещенность как скалярное произведение векторов n и l. Рассмотрим на плоскости базис положительной ориентации, причем сделаем его единичным (векторы e₁, e₂ имеют единичную длину, ортогональны). В этом случае вектор нормали будет равен их векторному произведению. Тогда коэффициент освещенности s можно расписать в виде такого выражения (см. видео), то есть вектор n – это векторное произведение базисных векторов, которое умножается скалярно на вектор l. Отметим, что если у нас направление света будет параллельно данной плоскости, то степень освещенности будут минимальна, скалярное произведение обратится в 0. Для максимальной освещенности мы должны сделать так, чтобы направление света было перпендикулярно данной плоскости, то есть параллельно вектору нормали. В этом случае будем иметь наибольшее значение освещенности.

Рассматривая данный пример, мы с вами получили следующее выражение, в котором присутствуют два вида произведения, как векторное, так и скалярное. Этот пример позволяет ввести еще одно произведение, которое называют смешанным (из-за того, что при его вычислении мы используем как векторное, так и скалярное произведение). Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется число, равное скалярному произведению двух векторов: первый вектор – это векторное произведение a на b, а второй вектор – это вектор c. Обратите внимание: в результате получается именно число, потому что вторым действием идет скалярное произведение.

Пусть в пространстве задано три вектора a, b, c. Посмотрим, какие значения может принимать их смешанное произведение.

Во-первых, напомним, что, перемножая векторы a на b векторно, мы получаем вектор, перпендикулярный каждому из данных, т.е. вектор перпендикулярный плоскости, которая задается векторами a и b. Если векторы a, b и c будут иметь положительную ориентацию, то угол между c и векторным произведением a на b, который используется для вычисления скалярного произведения, будет острым. А значит, смешанное произведение будет больше 0. Если же указанный угол будет прямым, то есть векторы будут лежать в одной плоскости, то скалярное произведение, а значит и смешанное произведение исходных векторов, обратится в 0. Если же векторы a, b и c будут иметь отрицательную ориентацию, то есть указанный угол будет тупым, смешанное произведение будет меньше 0.

Данные результаты можно занести вот в такую теорему (см. видео).

Теперь рассмотрим формулу, которая связывает введенное понятие смешанного произведения и объем параллелепипеда. Если нам даны три некомпланарных вектора a, b и c, то мы можем построить параллелепипед со сторонами a, b и c. Оказывается, что его объем будет равен модулю смешанного произведения этих векторов (см. видео).

Давайте сделаем иллюстрацию. Возьмем векторы, построим на них параллелепипед, одну грань будем считать основанием. В этом случае площадь параллелепипеда, как известно, находится по формуле: площадь основания умножается на высоту. Вспомним, что площадь параллелограмма – это модуль векторного произведения векторов а и b. Рассмотрим это векторное произведение, изобразим его на рисунке и выразим высоту h через угол между произведением a на b и вектором c. Из картинки видно (см. видео), как получается этот угол. В этом случае объем можно расписать по указанной формуле (см. видео). Если подставить вместо h полученное выражение, тогда получим, что векторное произведение a на b умножается на вектор скалярно. Обратите внимание, перемножаются длины указанных векторов, а результат умножается на косинус соответствующего угла. Таким образом, получаем требуемое равенство.

Во-вторых, если мы рассмотрим тетраэдр, построенный на этих векторах, то нетрудно видеть, что его объем будет в шесть раз меньше объёма соответствующего параллелепипеда. Значит, объем тетраэдра равняется 1/6 модуля смешанного произведения.

Теперь постараемся получить формулу для вычисления смешанного произведения через координаты исходных векторов. Допустим, что имеется некоторая прямоугольная система координат, в которой заданы три вектора своими координатами. Получим записанную на слайде формулу (см. видео), которая легка для запоминания. Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, надо составить определитель из их координат и найти его любым способом.

Поймем, как это формула получается. По определению распишем, что такое смешанное произведение, далее подставим вместо первого множителя разложение по базису. Вектор c разложим также по базису, учитывая, что он имеет известные координаты. Дальше перемножим 2 полученные скобки, используя свойства скалярного произведения, обращая внимание, что скобки умножается скалярно (см. видео). Учитывая, что квадраты базисных векторов равны 1, а произведения разных векторов базиса скалярно дают 0, потому что они ортогональны, мы легко можем упростить данное выражение. Поэтому вместо девяти слагаемых у нас останется три (см. видео). Те, которые соответствуют произведениям соответствующих векторов из базиса, но эти векторы ушли в силу указанного выше свойства. Оказывается, что данная сумма – это и есть определитель (см. видео). Проверьте самостоятельно: если разложить его по первой строке, то мы получим в точности данное разложение.

Здесь еще идет другой порядок строк, нежели в указанной выше формуле, однако если вспомнить свойства, говорящие о том, что при перемене местами строк определитель меняет знак. Давайте постараемся свести этим преобразованием полученный определитель к нужному. Поменяем местами первые две строки, тогда строка a уйдет на первое место, строка c будет второй, знак поменяются. Теперь снова поменяю две строки: вторую и третью. Тогда c уйдет на последнее место, а b на второе, знак снова поменяется и тем самым превратиться в первоначальный. Два раза поменяли знак, тем самым знак не поменялся, а строки располагаются в нужном порядке: a, b, а затем c.

С одной стороны, мы доказали формулу, а с другой стороны получили свойства, согласно которым мы понимаем, когда же у нас изменится знак смешанного произведения. Вот если в тройке a, b, c мы поменяем местами только два вектора, например, a и b или b и c, то у нас изменится знак, а если мы произведем, как говорят, циклическую перестановку, вот как здесь (см. видео) вместо c, a, b взяли a, b, c, то знак не поменяется.

Давайте в заключение отметим основные свойства. В качестве первого свойства укажем то, о чем я только что сказал. Если мы зафиксируем порядок записи векторов a, b и c, то, взяв эти векторы в любом порядке по указанному циклу abc, или bca, или cab, ничего не поменяется. Если же мы поменяем местами два каких-то вектора, например а и b, то знак изменится. То же самое относится к b и c, ну и также к векторам а и c.

Далее, также как для всех других произведений, скаляр r можно выносить за знак смешанного произведения из любого множителя.

Четвертый пункт говорит о том, что имеет место дистрибутивное свойство, то есть при рассмотрении смешанного произведения, если в каком-то множителе стоит сумма векторов, мы можем раскрыть это произведение и представить его как сумму смешанных произведений получаемых векторов. При этом сумма может быть, как в первом множителе, так и во втором, так и в третьем – все равенства будут верны. Лекция окончена.